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1 BCC101 – Matemática Discreta Princípio de Indução.

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1 1 BCC101 – Matemática Discreta Princípio de Indução

2 Princípio de Prova por Indução Uma prova por indução tem a seguinte estrutura: Prova: Vamos provar que P(n) vale para todo n N, n a, usando indução sobre n. Base: Devemos provar que P (a) é true. Indução: Suponha que P(k) é true, para todo inteiro a k < n. Devemos mostrar que P (n) é true. BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 2 P(a) n. ( a k < n. P(k)) P(n) _____________________________{Ind} n. P(n) Indução Base Indução Hipótese de Indução

3 Princípio de Indução não está convencido? Princípio da Boa Ordem: Todo conjunto não vazio de números naturais possui um menor elemento. Todo conjunto X de números naturais é o conjunto de contra-exemplos de alguma proposição P(n) (especificamente, da proposição n X) Então, o axioma de Indução pode ser reescrito como: Se a proposição P(n) é falsa para algum n N, então a proposição (P(1) P(2) · · · P(n 1) ¬P(n)) é true para algum n N. (1) Equivalentemente: Se uma proposição sobre números naturais tem um contra-exemplo, então ela tem um menor contra-exemplo. 3

4 Princípio de Indução não está convencido? O contrapositivo de (1) é: Se a proposição (P(1) P(2) · · · P(n 1) ¬P(n)) é falsa pata todo n N, então a proposição P(n) é true para todo n N. Finalmente, podemos reescrever a primeira metade desta proposição na seguinte forma equivalente, substituindo ¬(p ¬q) por p q. Se (P(1) P(2) · · · P(n 1)) P(n) é true para todo n N, então a proposição P(n) é true para todo n N (Axioma de Indução) 4

5 Princípio de Indução não está convencido? O Princípio de Indução decorre diretamente do Princípio da Boa Ordem: Todo conjunto não vazio de números naturais possui um menor elemento. Suponha que provamos que P(0) é verdadeiro e que também provamos P(n) P(n+1) para n arbitrário Para mostrar que P(n) vale para n arbitrário, suponha, por contradição, que P(n 0 ) é falso, para algum n 0. Então o conjunto S = {n N | P(n) é falso} é não vazio e, pelo PBO, S possui um menor elemento, digamos m. É claro que m 0, pois P(0) é verdadeiro, ou seja m>0 Como m>0, (m-1) N; e como (m-1) < m, temos que (m-1) S, ou seja P(m-1) é verdadeiro. Mas como provamos P(n) P(n+1), devemos ter que P(m) é verdadeiro, já que P(m-1) é verdadeiro: CONTRADIÇÃO! 5

6 Mais Exemplos 1 Considere a sequência de números de Fibonacci, definida por: F 0 = 0 F 1 = 1 F n+2 = F n+1 + F n Compare a sequência de Fibonacci com a sequência de potências de 2: {F n } = 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 {2 n } = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 Podemos conjecturar que F n < 2 n para todo n N. Como podemos provar isso? 6

7 Mais Exemplos 1 – solução Prova. Caso Base: (precisamos considerar os dois seguintes casos (porque?)) n = 0: F 0 = 0 < 1 = 2 0 n = 1: F 1 = 1 < 2 = 2 1 Caso Indutivo: (queremos provar F n < 2 n ) Temos: F n = F n-1 + F n-2 < 2 n n-2 pela hipótese de indução = 2·2 n n-2 = (2+1)·2 n-2 < 2 2 ·2 n-2 = 2 n Portanto, F n < 2 n  7

8 Mais exercícios Prove que para todo n N. 8

9 Erros comuns em provas Considere a seguinte prova de que, em qualquer conjunto de n 1 cavalos, todos os cavalos são da mesma cor. Caso base (n=1): Trivial Caso indutivo: Considere um conjunto de (n+1) cavalos: 1,2,3,…,n,(n+1). Pela hipótese de indução, os n primeiros cavalos são todos da mesma cor e os n últimos cavalos são todos da mesma cor. Como o conjunto dos n primeiros e dos n últimos cavalos se sobrepõem, os (n+1) cavalos são necessariamente da mesma cor. Onde está o erro nessa prova? 9

10 Mais Exemplos 2 Teorema: Todo n N, n>1, pode ser expresso como um produto de números primos. Prova: por indução sobre n Caso base (n=2): Trivial, já que 2 é primo e portanto pode ser expresso como um produto de primos consistindo apenas dele próprio. Caso indutivo: … próximo slide 10

11 Mais Exemplos 2 (continuação) Caso indutivo: Pela hipótese de indução temos que todo 1

12 Mais erros em provas Teorema Falso: Todo número de Fibonacci é par Prova: A prova é por indução forte. No caso base, verificamos que P(0) é par, pois F 0 é 0. No caso indutivo, para n 0, supomos que F 0,F 1,…,F n são pares e usamos a definição da sequência de Fibonacci para provar que F n+1 – F n-1 + F n é par Onde está o erro nessa prova? 12

13 Mais Exemplos 3 Prove que, para todo conjunto S, e todo número n N, se |S| = n então | P (S)| = 2 n 13


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