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Teoria de Conjuntos-1 Linguagem de 1ª ordem da teoria de conjuntos n Teoria de conjuntos: linguagem universal nas ciências – útil na modelização de estruturas.

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1 Teoria de Conjuntos-1 Linguagem de 1ª ordem da teoria de conjuntos n Teoria de conjuntos: linguagem universal nas ciências – útil na modelização de estruturas muito diversas n Abordagem – Partir da noção intuitiva de conjunto – identificar 2 princípios básicos que a caracterizam n axioma da extensionalidade n axioma da compreensão – explorar consequências lógicas dos axiomas – mostrar inconsistência dos axiomas – rever axiomas para os da teoria de conjuntos moderna

2 Teoria de Conjuntos-2 Teoria dos conjuntos de Cantor n Conceito intuitivo de conjunto – Conjunto: colecção de coisas (elementos) – Linguagem de 1ª ordem: 2 símbolos de relação =, n Domínio de discurso: pode ter outros objectos que não conjuntos – Set(x) predicado para a propriedade x é conjunto – 2 tipos de variáveis n a, b, c, … conjuntos n x, y, z, … quaisquer objectos do domínio Em vez de x y (Set(y) x y) escreve-se x a (x a) Georg Cantor( ) Matemático que desenvolveu a sua actividade na Alemanha Trabalha na definição dos números reais e estuda a cardinalidade dos conjuntos Desenvolve primeira teoria dos conjuntos infinitos

3 Teoria de Conjuntos-3 Axiomas de Cantor n Axioma da extensionalidade n Um conjunto é completamente determinado pelos seus elementos n Se os conjuntos a e b têm os mesmos elementos, a=b a b [ x x a x b) a=b] n Implicações – Identidade de um conjunto não depende da forma de o descrever Exemplo: n Nota – Axioma seria inaceitável numa teoria de propriedades. – 2 propriedades podem verificar-se para exactamente os mesmos objectos e serem distintas conjunto dos primos entre 6 e 12 conjunto das soluções da equação x x +77 = 0 {7,11}

4 Teoria de Conjuntos-4 Axiomas de Cantor n Axioma da compreensão – Toda a propriedade determina um conjunto – Para uma propriedade P, existe o conjunto de todos os objectos para os quais se verifica P n Propriedades: fórmulas de 1ª ordem – Para cada fórmula P(x) considera-se o axioma a x [x a P(x)] Existe um conjunto cujos elementos são exactamente os objectos que verificam P(x) – Expressão não é axioma mas esquema de axiomas: existe 1 para cada wff P(x) – P(x) pode ter variáveis z 1, … z n para além de x: quantificação implícita é universal z 1 … z n a x [x a P(x)]

5 Teoria de Conjuntos-5 Explorar axiomas n Usando a extensionalidade: infere-se versão mais forte da compreensão – Conjunto de objectos que satisfazem P(x) é único z 1 … z n a x [x a P(x)] Prova: Compreensão: existe pelo menos 1 conjunto de objectos que satisfazem P(x) Falta prova que existe no máximo 1 a e b: conjuntos que verificam P(x) x [x a P(x)] x [x b P(x)] Então x [x a x b] e pela extensionalidade a=b n Conjunto de objectos que satisfazem P(x): {x| P(x)}

6 Teoria de Conjuntos-6 Conjuntos singulares e vazio n 1 só objecto x satisfaz P(x) – Pelo axioma da compreensão: existe conjunto a cujo único elemento é x – a = {x} – distinguir objecto x de conjunto singular que contém x n Nenhum objecto satisfaz P(x) – conjunto vazio – existe 1 no máximo – notação:, {}, {x| x x},...

7 Teoria de Conjuntos-7 Subconjuntos n Definição: Para os conjuntos a e b a subconjunto de b se todo o elemento de a é elemento de b a b – abreviatura de x [x a x b] – novo símbolo de relação binária, introduzido por um axioma a b [a b x (x a x b)] Teorema 1: Para conjuntos a e b, a=b sse a b e b a a b (a b a b b a) a=b a e b são o mesmo conjunto, cada elemento de a é elemento de b e vice-versa a b e b a Extensionalidade: basta provar que a e b têm os mesmo elementos; decorre da premissa: cada elemento de a é elemento de b e vice-versa

8 Teoria de Conjuntos-8 Intersecção e união n Definições: a e b conjuntos arbitrários 1. A intersecção de a e b, a b, é o conjunto cujos elementos são exactamente os objectos que pertencem a a e a b 1. A união de a e b, a b, é o conjunto cujos elementos são exactamente os objectos que pertencem a a ou a b Poderemos provar que existem os conjuntos a b e a b? s Teorema 2: Para todo o par de conjuntos a e b, existe 1 e 1 só conjunto c cujos elementos são objectos em a e em b a b c x [x c (x a x b)] Prova: (prova condicional geral) Sejam a e b conjuntos arbitrários Compreensão: c= {x| x a x b} existe o conjunto pretendido Extensionalidade: c é único

9 Teoria de Conjuntos-9 Intersecção e união s Teorema 3: Para todo o par de conjuntos a e b, existe 1 e 1 só conjunto c cujos elementos são objectos em a ou em b a b c x [x c (x a x b)] Prova: a e b conjuntos arbitrários Compreensão: c= {x| x a x b} existe o conjunto pretendido Extensionalidade: c é único Estatuto de e na linguagem – abreviaturas de descrições a b é o conjunto cujos elementos são exactamente os objectos que são elementos de a e de b – novos símbolos de função binários: definições são novos axiomas

10 Teoria de Conjuntos-10 Conjuntos de conjuntos n Pelo axioma da compreensão: conjuntos de conjuntos podem ser formados arbitrariamente s Teorema 5: Para quaisquer objectos x e y existe 1 único conjunto a={x,y} x y a w [w a (w=x w=y)] Prova: Existência: propriedade P(z) é z=x z=y conjunto {z| P(z)} tem x e y como únicos elementos Unicidade: pelo axioma da extensionalidade s Teorema 6: Para todo o objecto x existe o conjunto singular {x} Prova: Aplicar o Teorema 5 para x=y

11 Teoria de Conjuntos-11 Representar ordenação n Conjuntos não são ordenados n O par ordenado pode ser representado pelo conjunto {{x}, {x,y}} n Representação verifica propriedade fundamental dos pares = (x=u y=v) n A partir de pares ordenados – ternos e outros tuplos > – relaçõesR(x,y) = { | x D, y D, x R y} – funções x y R(x, y)

12 Teoria de Conjuntos-12 Propriedades das relações Transitividade: x y w[(R(x, y) R(y, z)) R(x, z)] Reflexividade: xR(x, x) Irreflexividade: x ¬R(x, x) Simetria: x y(R(x, y) R(y, x)) Assimetria: x y(R(x, y) ¬R(y, x)) Antissimetria: x y[(R(x, y) R(y, x)) x = y] n Relação de equivalência: – reflexividade + simetria + transitividade

13 Teoria de Conjuntos-13 Conjunto das partes de um conjunto s Teorema 7: Para todo o conjunto b existe 1 único conjunto cujos elementos são exactamente os subconjuntos de b Prova: Compreensão: existe c= {x| x b} Extensionalidade: c é único b = {a | a b} n Exemplo b= {2,3} b = {

14 Teoria de Conjuntos-14 Propriedades de b s Teorema 8: Sendo a e b conjuntos 1. b b 2. b 3. a b sse a b n Conjunto pode ter subconjuntos que são elementos: n Ex: { Blop, {Blop}}

15 Teoria de Conjuntos-15 Propriedades de b Teorema 9: Para todo o conjunto b, não se verifica b b um conjunto não pode ter todos os seus subconjuntos como elementos Prova: b: conjunto arbitrário Constrói-se subconjunto de b que não é elemento de b c= {x| x b x x} c b pela definição de c, logo c b pela definição de b Para mostrar que c b: Supor c b Por casos: c c ou c c Se c c: pela definição, c é elemento de b que não pertence a c; então c c Se c c: c é elemento de b que verifica a condição de definição de c; então c c Por contradição: b b é falso

16 Teoria de Conjuntos-16 Conjunto de Russell s Teorema 10 (conjunto de Russell para b): Para todo o conjunto b, o conjunto {x| x b x x} é subconjunto de b mas não elemento de b. n Falha na axiomatização: pode provar-se a negação do Teorema 9 Teorema 11: Existe um conjunto c tal que c c Prova: b: conjunto arbitrário Axioma da compreensão: existe conjunto universal (V) c= {x| x x} todo o subconjunto de c é elemento de c, logo c é subconjunto de c.

17 Teoria de Conjuntos-17 Paradoxo de Russell n Onde reside a contradição? Z= {x| x V x x} conjunto de Russell para o conjunto universal Teorema 9 prova que Z é elemento de Z sse Z não é elemento de Z n É o paradoxo de Russell – Mostra que a axiomatização da noção intuitiva de conjunto é inconsistente n Problema está no Axioma da Compreensão c x [x c x x] Afirmação verdadeira que contradiz o axioma da compreensão n Intuitivamente – Alguns predicados têm extensões excessivas para serem tratadas como um objecto matemático

18 Teoria de Conjuntos-18 Nova axiomatização n Predicados com extensões excessivas – Colecção de todos os conjuntos – Colecção dos conjuntos que não se contêm como elementos n Evitar a inconsistência - regra de formação de conjuntos – de um conjunto a e uma propriedade P(x) podemos formar {x | x a P(x)} – se a não é conjunto excessivo um seu subconjunto também não n Axioma da separação a b x [x b (x a P(x))] – É restrito demais: exclui usos legítimos do axioma da compreensão n não pode provar-se a existência da união n não pode provar-se a existência do conjunto das partes

19 Teoria de Conjuntos-19 Axiomas de Zermelo-Frankel 1. Extensionalidade 2. Separação 3. Par não ordenado: para quaisquer 2 objectos existe um conjunto que os tem como elementos 4. União: Dado um conjunto a de conjuntos, a união dos elementos de a é um conjunto a b x [x b c a (x c)] 5. Conjunto das partes 6. Infinito: existe o conjunto de todos os números naturais 7. Substituição: Para todo o conjunto a e operação F que define um objecto único para cada x em a, existe o conjunto {F(x) | x a} Se x a y b P(x,y) então existe b= {y | x a P(x,y)} 8. Escolha: Seja f uma função com domínio a não vazio e para cada x a, f(x) é um conjunto não vazio, então existe uma função g com domínio a tal que g(x) f(x) 9. Regularidade Nenhum conjunto tem uma intersecção não vazia com cada um dos seus elementos b[b y b y b= )]


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