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Teoria dos Conjuntos.

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Apresentação em tema: "Teoria dos Conjuntos."— Transcrição da apresentação:

1 Teoria dos Conjuntos

2 Conjuntos – Conceitos iniciais
Na teoria dos conjuntos, consideramos como primitivos os conceitos de elemento, pertinência e conjunto. Exemplos - Conjunto O conjunto dos alunos do 1º ano do Colégio Nóbrega. O conjunto de todos os números inteiros. O conjunto de todos os números reais que é solução da equação x2 – 16 = 0. Em geral, utilizamos letras latinas maiúsculas para representar conjuntos. A, B, C, ..., Z.

3 Conjuntos – Conceitos iniciais
Na teoria dos conjuntos, consideramos como primitivos os conceitos de elemento, pertinência e conjunto. Exemplos – Elemento Pedro é um elemento do conjunto dos alunos do 1º ano do Colégio Nóbrega. 7 é um elemento do conjunto dos números inteiros. +4 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x2 – 16 = 0. Em geral, utilizamos letras latinas minúsculas para representar elementos. a, b, c, ..., z.

4 Conjuntos – Conceitos iniciais
Na teoria dos conjuntos, consideramos como primitivos os conceitos de elemento, pertinência e conjunto. Exemplos – Pertinência Pedro pertence ao conjunto dos alunos do 1º ano do Colégio Nóbrega. 7 pertence ao conjunto dos números inteiros. +4 pertence ao conjunto dos números reais que satisfaz à equação x2 – 16 = 0. Utilizamos o símbolo  “pertence” e  “não pertence” para relacionar elemento e conjunto.

5 Notações de Conjuntos Um conjunto pode ser representado:
Enumerando seus elementos entre chaves, separados por vírgulas; Indicando, entre chaves, uma propriedade que caracterize cada um de seus elementos; Por meio de uma figura fechada, dentro da qual podem-se escrever seus elementos. “Diagrama de Venn-Euler”.

6 Exemplo Representar o conjunto V das vogais. V = {a, e, i, o, u}
V = {x; x é vogal} V como no diagrama ao lado a e i o u No caso a  V, mas m  V.

7 Observação Há conjuntos com apenas:
Um único elemento, chamados conjuntos unitários; Nenhum elemento, chamados conjunto vazio; Infinitos elementos, chamados conjuntos infinitos. O conjunto vazio pode ser representado pelos símbolos { } e Ø.

8 Exemplos A = {x; x é inteiro positivo, par e primo} A = {2}
B = {x; x é inteiro, ímpar e divisível por 2} B = { } = Ø C = {a; a é número natural ímpar e primo} C = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...}

9 Observação Se dois conjuntos possuem exatamente os mesmos elementos (não importando a ordem em que eles aparecem), dizemos que eles são conjuntos iguais. A = {x; x é inteiro positivo e x < 4} B = {2, 3, 1} A = {1, 2, 3} = B. Se x  A ⇒ x  B A = B ⇔ Se x  B ⇒ x  A

10 Exemplo A = Conjunto das letras da palavra TRATOR
B = Conjunto das letras da palavra ATOR A = {t, r, a, o} B = {a, t, o, r} A = B

11 Subconjuntos Se todo elemento de um conjunto A é também elemento de um conjunto B, dizemos que: A está contido em B (símbolo: A ⊂ B); B contém A (símbolo: B ⊃ A); A é subconjunto de B; A é parte de B. B A

12 Exemplo A = {x  ℕ; x < 4} B = {x  ℝ; x(x – 1) = 0}
A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 1} Podemos afirmar que B é um subconjunto de A (B ⊂ A). A B 2 1 3

13 Observação – subconjuntos
Se um conjunto A é igual a um conjunto B (A = B), então A ⊂ B e B ⊂ A. Se A ≠ B, A ≠ Ø e A ⊂ B, dizemos que A é subconjunto próprio de B. O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto (Ø ⊂ A, para todo A) O vazio é subconjunto de qualquer conjunto; Todo conjunto é subconjunto de si mesmo.

14 Exemplo Encontrar todos os subconjuntos de A = {1, 2, 3}.
Com 0 elemento → Ø Com 1 elemento → {1}, {2}, {3} Com 2 elementos → {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} Com 3 elementos → {1, 2, 3} Dizemos que Ø e A = {1, 2, 3} são subconjuntos triviais de A. Os outros são os subconjuntos próprios de A.

15 Observação – subconjuntos
Chamamos de conjunto das partes do conjunto A e representamos por P(A), o conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A. Exemplo A = {1, 2, 3} Subconjuntos de A: Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} P(A) = {Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} n(P(A)) = 2n(A)

16 Exemplo Se um conjunto A tem n elementos e 128 subconjuntos, quantos elementos possui o conjunto A? 2n = 128 ⇒ n = 27 ⇒ n = 7 Logo, o conjunto A tem 7 elementos.

17 Operações com Conjuntos

18 Operações com Conjuntos
A partir de dois conjuntos conhecidos, A e B, podemos obter outros conjuntos, operando com os conjuntos dados. Definimos as operações a seguir: União; Interseção; Diferença;

19 União dos Conjuntos A e B (A  B)
É o conjunto dos elementos que pertencem ou a A, ou a B ou a ambos os conjuntos. A  B = {x; x  A ou x  B} A B Podemos generaliza a operação união para três ou mais conjuntos.

20 Exemplo Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5, 7} e C = {5, 6, 7, 8, 9}, vamos obter: a) A  B. b) A  B  C. a) A  B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7} b) A  B  C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} No caso de três ou mais conjuntos, podemos escrever A  B  C = (A  B)  C = A  (B  C).

21 Interseção dos Conjuntos A e B (A  B)
É o conjunto dos elementos que pertencem a A e B. A  B = {x; x  A e x  B} A B Também a operação interseção pode ser generalizada para três ou mais conjuntos.

22 Exemplo Dados os conjuntos A = {0, 1, 5}, B = {0, 2, 5, 7}, C = {4, 6, 7, 9} e D = {0, 1, 6}, vamos obter: a) A  B. b) A  C. c) A  B  D. a) A  B = {0, 5} b) A  C = Ø Logo, A e C são disjuntos c) A  B  D = {0}

23 Diferença dos Conjuntos A e B (A – B e B – A )
É o conjunto dos elementos que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo. A – B = {x; x  A e x  B} A B

24 Diferença dos Conjuntos A e B (A – B e B – A )
É o conjunto dos elementos que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo. B – A = {x; x  B e x  A} A B

25 Exemplos Dados os conjuntos
A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6}, vamos obter: a) A – B. b) B – A. a) A – B = {1, 2, 3, 4, 5} – {2, 4, 6} = {1, 3, 5} b) B – A = {2, 4, 6} – {1, 2, 3, 4, 5} = {6} Em geral A – B ≠ B – A.

26 Exemplos Se A = {x natural, menor que 10 / x é par} e
B = {x natural, menor que 10 / x é primo}. Determine A  B, A  B, A – B e B – A. A = {0, 2, 4, 6, 8} B = {2, 3, 5, 7} A  B = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A  B = {2} A B 3 A – B = {0, 4, 6, 8} 4 2 6 5 B – A = {3, 5, 7} 8 7

27 Complemento de um Conjunto
No caso em que o conjunto B está contido no conjunto A (B ⊂ A), a diferença A – B pode ser chamada, também, complementar de B em relação a A (∁AB). A B A – B B ⊂ A ⇒ A – B = ∁AB O complementar de A em relação a um dado universo pode ser representado, simplesmente por A.

28 Exemplos ∁YX = Y – X = ∁A = A = Dados os conjuntos
X = {1, 2, 4}, Y = {1, 2, 3, 4, 5}, X ⊂ Y. Obter ∁YX. ∁YX = Y – X = {1, 2, 3, 4, 5} – {1, 2, 4} = {3, 5} Se A = {x  ℝ; x > 2}, A está contido no universo ℝ. Obter ∁A. ∁A = A = {x  ℝ; x ≤ 2}

29 Exemplos ∁A = U – A = ∁A  B =
Se A = {a, b, c, d, e} e B = {d, e, f, g} estão contidos no universo U = {a, b, c, d, e, f, g, h}, determinar o conjunto ∁A  B. ∁A = U – A = {f, g, h} ∁A  B = {f, g, h}  {d, e, f, g} = {f, g}

30 Número de elementos da união de conjuntos

31 Número de elementos da união de conjuntos
Existe uma relação importante que envolve a quantidade de elementos dos seguintes conjuntos finitos: A, B, A  B e A  B. Observe: n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B) n(A) = número de elementos do conjunto A n(B) = número de elementos do conjunto B n(A  B) = número de elementos da interseção n(A  B) = número de elementos da união

32 Exemplos Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {4, 5, 6, 7, 8}, temos:
A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A  B = {4, 5, 6} Podemos comprovar que: n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B) 8 = – 3 A B 1 4 8 2 5 3 6 7

33 Exemplos O conjunto A tem 8 elementos; o conjunto B, 13 elementos; o conjunto A  B, 5 elementos. Determinar o número de elementos do conjunto A  B. A B 8 – 5 = 3 5 13 – 5 = 8 (A – B) (B – A) A  B n(A  B) = = 16

34 Exemplos Numa turma de 42 alunos, o professor perguntou: “Quem é torcedor do Grêmio?” 36 levantaram o braço. A seguir, perguntou: “Quem é nascido em Porto Alegre?” 28 levantaram o braço. Sabendo que nenhum aluno deixou de levantar o braço, vamos determinar quantos alunos são gremistas e Porto-alegrenses. G P 36 – x x 28 – x (G – P) (G – P) G  P 36 – x + x + 28 – x = 42 ⇒ 64 – x = 42 ⇒ x = 22


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