Blog de Matemática do 1° ano do E.M C.A JOÃO XXIII

Apresentação em tema: "Blog de Matemática do 1° ano do E.M C.A JOÃO XXIII"— Transcrição da apresentação:

1 Blog de Matemática do 1° ano do E.M C.A JOÃO XXIII

2 CONJUNTOS

3 Introdução Conjunto: Um conjunto é definido por qualquer coleção de objetos. Estes objetos são chamados elementos do conjunto. Se x for um elemento deste conjunto, então podemos dizer que x pertence a este conjunto. Caso contrário, se x não for um elemento deste conjunto, então diremos que x não pertence ao conjunto. Exemplos de conjuntos : Conjunto das vogais do alfabeto: seus elementos são as letras a,e,i,o,u. Conjunto dos dias da semana: seus elementos são segunda, terça, quarta , quinta, sexta, sábado e domingo.

4 Representação Usualmente, os conjuntos são representados por uma letra maiúscula e os elementos que os compõem são representados por letras minúsculas entre chaves. Portanto, sua representação será: Conjunto das vogais do alfabeto V = {a,e,i,o,u} Conjunto de figuras geometricas de quatro lados . S = {quadrado, retângulo, trapézio, losango , paralelogramo} OBSERVAÇÃO: Podemos observar que no conjunto das vogais a letra “a” pertence ao conjunto V e a letra “b” não pertence ao conjunto V, por ser uma consoante .

5 Elemento: Como já vimos, os objetos de um conjunto recebem o nome de elementos deste conjunto. A partir de então, podemos definir nosso conjunto e organizá-lo. . Algumas ciências fazem uso deste pensamento. Como exemplo, citamos a Biologia, que separa o conjunto de animais que apresentam pelos. Os objetos deste conjunto, ou seja seus elementos, são todos aqueles que apresentam pelos como os seres humanos, ursos, lobos e etc ... Existem animais que não possuem pelos, logo eles não pertencem a esse conjunto.

6 Pertinência: É a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. Podemos apresentar vários exemplos relacionados à pertinência. O planeta Terra pertence ao conjunto dos planetas do sistema solar, logo a lua não pertence a este conjunto, pois ela não é um planeta.        Representação: Se um elemento pertence a um conjunto, utilizamos o símbolo ∈ que se lê: "pertence“. Se um elemento não pertence a um conjunto, ultilizamos o simbolo ∉ que se lê “não pertence”. Logo, como já vimos: a ∈ V (“a” pertence ao conjunto V) b ∉ V (“b” não pertence ao conjunto V por ser uma consoante).

7 CONJUNTO VAZIO Podemos pensar em um conjunto que não apresenta elementos, ou seja, existe um x ∉ Ø (se x ∈ Ø teríamos o conjunto Ø com o elemento x deixando de ser vazio). Indicamos um conjunto vazio por {  } ou  ∅ , nunca por {∅} , pois assim teríamos um conjunto com o elemento Ø . CONJUNTO UNITÁRIO É todo conjunto constituído por apenas um elemento. Por exemplo: O conjunto formado pelo único mamiíero voador é um conjunto unitário, pois apresenta apenas um elemento: o morcego . CONJUNTO UNIVERSO É um conjunto importante, cuja notação é U. É o conjunto formado por todos os elementos, com os quais estamos trabalhando num determinado assunto.

8 União de Conjuntos Podemos pensar na união de conjuntos quando dois ou mais conjuntos se unem. Tomemos então os conjuntos das vogais e das consoantes. O que aconteceria ao unirmos estes dois conjuntos ? Fazendo esta união teríamos o conjunto das letras do alfabeto . Representação: Representamos a união de conjuntos pelo símbolo U . Logo teremos : V = {a,e,i,o,u} C = {b,c,d,f,...} VUC = {a,b,c,d,e,f,g,h,i,...} (V união C) Ao pegarmos o conjunto AUB e tomarmos qualquer elemento x ∈ AUB, logo teremos x ∈ A ou x ∈ B (isso quer dizer que o elemento pode pertencer ao conjunto A , pode pertencer ao conjunto B e pode pertencer também aos dois conjuntos ao mesmo tempo. Observe que este “ou” não é um “ou” excludente e sim um “ou” que inclua .

9 Interseção de conjuntos A interseção de conjuntos se define quando um ou mais elementos, de dois ou mais conjuntos relacionados, são comuns a estes conjuntos, ou seja : pegamos dois conjuntos diferentes (ou iguais) que apresentam um ou mais elementos em comum (se forem iguais apresentarão todos elementos em comum) . Representação : Representamos a interseção de dois ou mais conjuntos pelo simbolo ∩. Exemplo: P = {2,3,5,7,...} I = { ,...} I∩P = {3,5,7,...} Ao pegarmos o conjunto A ∩ B e tomemos qualquer elemento x A ∩ B então teremos x ∈ A e x ∈ B

10 Outras maneiras de se representar conjuntos Existem outras maneiras de se representar os conjuntos . Uma delas seria por diagramas, mais conhecido pelo nome diagramas de Venn-Euler ou apenas pelo nome diagramas de Venn .

11 Representação por descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades. Exemplos:      V={x| x é uma vogal} (seja o elemento x talque x seja uma vogal )    N={x| x é um número natural}    M={x | x é um mamífero} P = {x | x é um número primo } A = { α | α é uma letra do alfabeto}

12 Exercícios 1) Escreva sob forma simbólica os conjuntos: a) Conjunto dos números primos b) Conjunto dos números pares c) Conjunto dos números impares d) Conjunto dos numeros ímpares e dos numeros pares e) Represente por descrição os mesmos conjuntos representados em cada ítem anterior. 2) Represente pelo diagrama de Venn as vogais do alfabeto . 3) Sendo A = {1,3,5,7,11}, verifique quais das seguintes sentenças são verdadeiras ou falsas : a)1 ∈ A b)2 ∈ A c)4 ∉ A d)13 ∈ A e)11 ∈ A f)13 ∉ A

13 4) Dados os conjuntos A = {∂,∆,α,ↄ,2,6} B = {2, 3, 5,∆} C = { 0 } D = {1,2,7,£,€,α } faça o o que se pede: a)AUB b)BUD c)BUA d)C∩A e)A∩D f)AUD g)B∩D h)A∩B∩D i)B∩C j)(AUD)∩B Com base neste exercício: AUB=BUA será verdadeiro para quaisquer conjuntos, sempre?

14 5) Colora o diagrama de Venn que represente : a)AUB b)BUA c)A∩B d)(AUB)UC e)A∩(B∩C) f)(AUB)∩C g)(A∩C)U(A∩B) 6) Diga se a sentença é verdadeira ou falsa. Se for falsa, justifique. A = {2,4,p,δ,{a},e}. a)2 ∈ A b)5 ∈ A c) a∈ A d) p ∉ A e){a} ∈ A f)a ∉ A

15 Conjuntos Númericos Podemos pensar em um mundo no qual a contagem não exista? E se os números também não existissem? Como seria este mundo ? Na antiguidade, assim como atualmente, sempre houve uma grande necessidade de se ordenar ou contar certo número de objetos. Utilizamos os números para tal tarefa. Podemos criar conjuntos numericos para nos ajudar a contar .

16 Números Naturais O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema numérico. Representação: N = {0,1,2,3,4,5...} N* = {1,2,3,4,5,6...}; N* significa o conjunto dos números naturais sem o zero

17 Construção dos números naturais
Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado). A partir do número zero, podemos criar o conjunto somando uma unidade ao seu número antecessor. 0+1=1 1+1=2 2+1=3 N = {0,1,2,3 ...}

18 Números Inteiros Durante muito tempo só poderiamos subtrair dois números se o que viesse primeiro fosse maior do que o múmero que viesse em segundo: a-b se a > b (a maior que b) Com isso, como resolveríamos esta operação? 5-6 =? Os números negativos apareceram para explicar circunstâncias que os números naturais não davam conta de representar (registro de temperaturas, prejuízo, desaceleração...). Estes exemplos permitem compreender melhor o uso dos números negativos .

19 Representação dos Números inteiros
Representamos os números inteiros pela letra Z , ou seja : Z = {... -3,-2,-1,0,1,2,3 ,...} Ao estudarmos os números inteiros, podemos perceber a presença do simétrico (o próprio número com o sinal oposto). Pensando assim, qual número somado a um resulta em zero ? Equacionando, teremeos : 1 + x = 0 x = -1 Então podemos concluir que o número -1 é o simétrico do número 1 Z + = {0,1,2,3,4,...} Z- = {...,-2,-1, 0,1,2,...} Z* = {...,-2,-1,1,2,3,...}

20 Subconjuntos Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por A ⊂ B, se todos os elementos de A também estão em B.

21 Os números naturais como subconjuntos dos números inteiros Usando a definição de subconjuntos, o que podemos observar ao comparar o conjunto N={0,1,2,3,...} com o conjunto Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}?

22 Números Racionais O surgimento dos números racionais está associado à noção de comparação de medidas. Quantas vezes um segemento DC caberia em um segundo segmento AB ? A|-----|-----|-----|-----|-----|B D|-----|-----|C Resposta : duas vezes e meia . Podemos pensar também que DC é igual a 2/5 de AB Número racional é todo número que pode ser escrito na forma a/b , com a e b inteiros , ou seja, ( a , b ∈ Z , com b diferente de 0). Representamos os números racionais : Q = {a/b, tal que a ∈ Z e b ∈ Z * }

23 O que podemos dizer ao comparar o conjunto dos naturais, dos inteiros com o conjunto dos racionais?

24 Conjunto dos irracionais Os números irracionais são aqueles que não podem ser representados por meio de uma fração. O surgimento desses números veio de um antigo problema que Pitágoras se recusava a aceitar, que era o cálculo da diagonal de um quadrado, cujo lado mede 1 unidade, diagonal esta que mede √2. Este número deu início ao estudo de um novo conjunto, representado pelos números irracionais. 

25 Exemplos π é um número irracional Representação:
Todas as raízes quadradas de números naturais que não sejam quadrados perfeitos, isto é se a raiz quadrada de um número natural não for inteira, é irracional. Logo são irracionais  √ 2, √3,√5,√7,√8,√10,√n , com n natural e n diferente de um quadrado perfeito Números representáveis por dízimas infinitas não periódicas. São irracionais os resultados da soma, subtração, multiplicação e divisão de um número irracional com um número racional. Ex: 1 + √3, (1 +  √5) /2, (√8 – 1)/2 π é um número irracional Representação: Seu conjunto é representado pela letra I

26 Conjuntos dos números reais
Podemos pensar no conjunto dos números reais como a união de Q U I. Ou seja, R=Q U I

27 Todo o material desta aula estará disponível no site : www. mat1ano
Todo o material desta aula estará disponível no site :