MATEMÁTICA Prof. Carlos Alexandre.

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1 MATEMÁTICA Prof. Carlos Alexandre

2 Álgebra Em matemática, álgebra é o ramo que estuda a manipulação formal de equações, operações matemáticas, polinômios e estruturas algébricas. A álgebra é um dos principais ramos da matemática pura, juntamente com a geometria, topologia, análise combinatória, e Teoria dos números.

3 Álgebra Para representar os problemas da vida real em linguagem matemática, muitas vezes utilizamos letras que substituem incógnitas (os valores que você não conhece, e quer descobrir). É aí que entram os famosos x, y,z, etc. O ramo da matemática que utiliza símbolos (normalmente letras do nosso alfabeto latino e do grego) para a resolução de problemas é chamado álgebra.

4 Álgebra A álgebra elementar, que frequentemente faz parte do currículo no ensino secundário, introduz o conceito de variável representativa de números. Expressões usando estas variáveis são manipuladas usando as regras de operação aplicáveis a números, como a adição, subtração, multiplicação e radiciação. Estes conceitos podem ser usados, por exemplo, na Resolução de equações.

5 Álgebra A álgebra elementar é a forma mais básica de álgebra. É ensinada a quem presume-se ter pouco ou nenhum conhecimento formal de matemática além da aritmética. Em aritmética, temos apenas números e suas operações aritméticas, como +, −, × e ÷. Em álgebra, os números são frequentemente denotados por símbolos, como a, x, y ou z. Isso é útil porque:

6 Álgebra 1. Permite a formulação geral das leis aritméticas (tais como a + b = b + a para quaisquer a e b) e, portanto, é o primeiro passo para uma exploração sistemática das propriedades do sistema dos números reais.

7 Álgebra 2. Permite a referência a números "desconhecidos", a formulação de equações e o estudo das formas para as resolver. (Por exemplo, "encontrar um número x tal que 3x + 1 = 10" ou, indo um pouco mais longe, "encontrar um número x tal que ax+b=c"). Este passo leva à conclusão de que não é a natureza dos números específicos que permitem resolver a equação, mas sim a natureza das operações envolvidas.

8 Álgebra 3.Permite a formulação de relações funcionais. Por exemplo, "se vender x bilhetes, terá um lucro de 3x menos 10, ou seja: f(x) = 3x − 10, onde f é a função, e x é o número ao qual a função é aplicada.

9 Igualdade Vamos pensar na seguinte situação: fomos ao supermercado para comprar uma lata de óleo que custa R$ 2,50 e quatro latas de extrato de tomate, que custam R$ 0,60 cada. Quanto pagamos ao todo? Para resolver esta questão, podemos expressar esta situação a partir de uma sentença matemática: 2,50 + 0,60 · 4 = 4,90. Nesta expressão aparece o sinal =. Aqui diremos que se trata de uma igualdade.

10 Igualdade Assim, identidade pode referir-se a uma igualdade que permanece verdadeira quaisquer que sejam os valores das variáveis que nela apareçam, ao contrário de uma equação, que pode ser verdadeira apenas sob condições mais particulares.

11 Equação A palavra equação vem da palavra igual. Exemplo: Observemos a seguinte sentença matemática: 2x + 3 = 13 Adotando alguns valores para x, observe que a igualdade só se verificou para x = 5.

12 Produtos Notáveis Produtos notáveis são produtos de expressões algébricas que possuem uma forma geral para sua resolução. Utilizando os produtos notáveis, certamente aceleraremos o cálculo, permitindo o progresso em temas posteriores da matemática.

13 Produtos Notáveis A propriedade distributiva da multiplicação foi determinante para se chegar ao desenvolvimento dos produtos levando-os a sua fase reduzida. Jamais deveremos deixar de buscar conhecimentos mais profundos, como demonstrações de teoremas a fim de compreendermos melhor os caminhos trilhados para se chegar às pequenas fórmulas, tão úteis, como as conhecemos hoje.

14 Produtos Notáveis Todo o produto notável é uma identidade, já que a igualdade sempre se verificará para quaisquer valores atribuídos as variáveis. Por isso sempre será utilizado o sinal de identidade.

15 1. O quadrado da soma de dois termos
Verifiquem a representação e utilização da propriedade da potenciação em seu desenvolvimento. (a + b)2 = (a + b) . (a + b) Onde a é o primeiro termo e b é o segundo. Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, teremos:

16 1. O quadrado da soma de dois termos
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

17 2. O quadrado da diferença de dois termos
Seguindo o critério do item anterior, temos: (a - b)2 = (a - b) . (a - b) Onde a é o primeiro termo e b é o segundo.  Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, teremos:

18 2. O quadrado da diferença de dois termos
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

19 3. O produto da soma pela diferença de dois termos
Se tivermos o produto da soma pela diferença de dois termos, poderemos transformá-lo numa diferença de quadrados. O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.

20 4. O cubo da diferença de dois termos
Acompanhem o caso seguinte: (a – b)3 = (a - b).(a – b)2 → potência de mesma base.  (a – b).(a2 – 2ab + b2) → (a - b)2 Aplicando a propriedade distributiva como nos casos anteriores, teremos: (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

21 4. O cubo da diferença de dois termos
O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo.

22 5. O cubo da soma de dois termos
Temos que a expressão (a + b)³ pode ser escrita da seguinte forma: (a + b)² * (a + b). A decomposição permite aplicarmos o quadrado da soma na expressão (a + b)², multiplicando o resultado pela expressão (a + b). Veja: (a + b)² = a² + 2ab + b² → (a² + 2ab + b²) * (a + b) = a²*a + a²*b + 2ab*a + 2ab*b + b²*a + b²*b a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³ → a³ + 3a²b + 3ab² + b³

23 5. O cubo da soma de dois termos
Regra Prática “O cubo do primeiro termo mais três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo mais o cubo do segundo termo.”

24 6. Quadrado da soma de três termos
É igual ao quadrado do primeiro termo, mais o quadrado do segundo termo, mais o quadrado do terceiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo terceiro termo, mais duas vezes o produto do segundo termo pelo terceiro termo. Exemplo: (a + b + 3)2 = a2 + b ab +6a +6b

25 EXERCÍCIOS