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Unidade de Ensino Superior Dom Bosco Curso de Sistemas de Informação Disciplina de Lógica Matemática e Computacional Semestre 2013.21º Período A Lógica.

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1 Unidade de Ensino Superior Dom Bosco Curso de Sistemas de Informação Disciplina de Lógica Matemática e Computacional Semestre º Período A Lógica das Sentenças Abertas Profa. Ana Florencia Aula 9

2 Roteiro 1.Sentenças abertas com uma variável 2.Conjunto- verdade de uma sentença aberta 3.Sentenças com N variáveis e seu conjunto verdade 4.Conjunção sobre sentenças abertas 5.Disjunção sobre sentenças abertas 6.Negação sobre sentenças abertas 7.Demais operadores 1.O operador Condicional 2.O operador Bicondicional 8.Equivalências tautológicas 9.Exercício sobre sentenças abertas 2 Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

3 Sentenças abertas com uma variável Definição: – Uma sentença aberta com uma variável num conjunto A; – Ou uma sentença em A; P(x) tal que p(a) é verdadeira (V) ou falsa (F) para todo elemento a pertencente ao conjunto A,ou seja, Para todo a A; O conjunto A também é chamado de domínio da variável x. 3 Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

4 Em outras palavras: – uma sentença aberta em A é uma frase que contém espaços em brancos (as variáveis) que devem ser preenchidos com valores retirados do conjunto A. Quando um elemento é retirado deste conjunto e encaixado na sentença aberta, então esta sentença deixa de ser aberta; e passa a se comportar como uma proposição simples: – tendo um valor lógico possível: ou ela é uma sentença que afirma algo verdadeiro (proposição verdadeira) ou uma sentença que afirma algo falso (uma proposição falsa). Diz-se que a sentença é fechada quando isto ocorre. 4 Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

5 Construir sentenças abertas, definindo domínios apropriados para suas variáveis, é similar a jogar um jogo de montar frases ou versos, onde uma frase ou texto mais complexo é formado a partir de trechos sugeridos pelos participantes. 5 Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

6 No caso do jogo de montar sentenças abertas da lógica: – é necessário escolher primeiro qual será o domínio das variáveis, ou seja, de onde serão retirados os elementos que se encaixarão na frase aberta. Isto ocorre também nos jogos de montar frases ou palavras. 6 Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

7 Exemplo Sabendo qual é o domínio então pode-se começar a montar as sentenças. No exemplo, poderíamos ter frases como: – (a.1) A minha mesa não está firme. – (b.1) Esta é a cadeira que faltava. – (c.1) A cadeira que falta aqui é a cadeira que está sobrando lá no canto. Vamos supor o conjunto de móveis que podem pertencer a uma sala de aula: estantes, mesas, cadeiras, quadro, computadores (e seus componentes), etc. 7 Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

8 Estes exemplos apresentam proposições simples, que são sentenças fechadas, sem variáveis. Porém as variáveis poderiam aparecer como espaços: – (a.2) A minha _ _ _ _ não está firme. – (b.2) Esta é a _ _ _ _ que faltava. – (c.2) A _ _ _ _ que falta aqui é a _ _ _ _ que está sobrando lá no canto. – Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

9 Um problema: – espaço em branco é um espaço em branco igual aos outros; – Quando existe um só espaço em branco na frase, então não há ambiguidade; Porém, quando ela aparece em vários lugares é necessário indicar claramente quem é quem em termos de espaços em branco. 9 Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

10 Solução é dar nome aos espaços em branco, que deixam de ser espaços e passam a ser variáveis: – (a.3) A minha x não está firme. – (b.3) Esta é a x que faltava. – (c.3) A x que falta aqui é a x que está sobrando lá no canto. – Para os x pertencentes aos móveis da sala de aula. – Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

11 Para completar o processo de formalização, ou seja, deixar as claro somente a forma das sentenças e não se preocupar com seu conteúdo (seu significado), são atribuídos símbolos para as afirmações abertas: – (a.4) P(x) = A minha x não está firme. – (b.4) Q(x) Esta é a x que faltava. – (c.4) R(x) = A x que falta aqui é a x que está sobrando lá no canto. Que são válidas para o domínio A que é o conjunto de móveis da sala de aula. Dessa forma as sentenças são expressas simplesmente como: » P(x), Q(x) e R(x) para x A. 11 Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

12 Em termos da língua portuguesa, uma sentença simples é formada basicamente por dois elementos: o sujeito e seu predicado. Já as sentenças abertas formais: – são normalmente construídas, considerando-se que o sujeito da frase é substituído por uma variável; – é definido um domínio para esta variável, dizendo quem são os objetos, pessoas, entidades, coisas, etc. – O predicado restante passa a ser então a afirmação que está sendo feita sobre algum sujeito do domínio. – Definição: sentenças abertas também são denominadas simplesmente de PREDICADOS. 12 Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

13 Outros exemplos: São sentenças abertas em N= {1, 2, 3,...,n,...} as seguintes expressões: (d) x+1>8 (f) x2 - 5x + 6 = 0 (e) x é primo (g) x é divisor de 10 para os x N. 13 Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

14 Conjunto- Verdade de uma Sentença Aberta 14 Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

15 Definição: – chama-se conjunto- verdade de uma sentença aberta P(x) num domínio A, o conjunto de todos os elementos a A tais que P(a) é uma proposição verdadeira. Formalmente o conjunto- verdade pode ser definido como: VP = {x | x A P(x)=V} ou, mais simplesmente como: VP = {x A | P(x)} 15 Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

16 Exemplos (a) O conjunto- verdade de P(x) = x+1 > 8 em N={1, 2, 3,...} (conjunto dos números naturais) é dado por: VP = {x N | P(x)} = {x N | x+1 > 8}= {8, 9, 10,... } N 16 Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

17 Exemplos (b) O conjunto- verdade de P(x) = x+7 < 8 em N={1, 2, 3,...} (conjunto dos números naturais) é dado por: VP = {x N | x+7 < 5}= N 17 Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

18 Exemplos (c) O conjunto- verdade de P(x) = x é divisor de 10 em N={1, 2, 3,...} (conjunto dos números naturais) é dado por: VP = {x N | x é divisor de 10}= {1, 2, 4, 10} N 18 Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

19 Exemplos (d) O conjunto- verdade de P(x) = x+5 > 3 em N={1, 2, 3,...} (conjunto dos números naturais) é dado por: VP = {x N | x+5 > 3}= {1, 2, 3, 4,...} = N N 19 Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

20 Importante (I)Se P(x) é uma sentença aberta em A, então três casos podem ocorrer: – P(x) é verdadeira para todo x A. Neste caso o conjunto- verdade de P(x) é igual ao próprio domínio A. Quando isto ocorre se diz que P(x) exprime uma condição universal ou propriedade universal no conjunto A; 20 Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

21 – (II) P(x) é verdadeira para alguns x A. Neste caso o conjunto- verdade de P(x) é um subconjunto próprio do domínio A. Quando isto ocorre se diz que P(x) exprime uma condição possível ou propriedade possível no conjunto A. – P(x) não é verdadeira para nenhum x A. Neste caso o conjunto- verdade de P(x) é vazio (V P = ). Quando isto ocorre se diz que P(x) exprime uma condição impossível ou propriedade impossível no conjunto A. 21 Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

22 Sentenças com N variáveis e seu Conjunto- Verdade Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 22

23 Supondo n conjuntos primitivos A1, A2,..., An que serão usados como domínios individuais de cada variável da sentença. conjunto de todas as variáveis como o conjunto resultante do produto cartesiano destes conjuntos primitivos: A1×A2×...×An Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 23

24 O produto cartesiano de 2 conjuntos: – A1×A2 é o conjunto formado por todos as duplas ordenadas (a1, a2) onde, a1 A1 e a2 A2. Definição: – uma sentença aberta com n variáveis num conjunto A 1 ×A 2 ×...×A n, ou simplesmente – uma sentença aberta em A 1 ×A 2 ×...×A n, é uma expressão P(x 1, x 2,..., x n ) – tal que p(a 1, a 2,..., a n ) é verdadeira (V) ou falsa (F) para todo ênupla (a 1, a 2,..., a n ) A 1 ×A 2 ×...×A n. Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 24

25 Então!! O conjunto-verdade de uma sentença aberta P(x1, x2,..., xn) no domínio A1×A2×...×An é – o conjunto de todas as ênuplas – (a1, a2,..., an) A1×A2×...×An – tais que P(a1, a2,..., an) é uma proposição verdadeira. – Formalmente este conjunto- verdade pode ser definido como: VP = {(x1, x2,..., xn) A1×A2×...×An | P(x1, x2,..., xn)} Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 25

26 Exercício Determinar o conjunto- verdade em N (conjunto dos números naturais) de cada uma das sentenças abertas a seguir: (a) 2x = 6 (b) x-1<4 (c) x2 - 5x + 6 = 0 (d) x2 - x + 2 = 0 (e) x2 - 5x = 0 (f) x - 5 N Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 26

27 Conjunção sobre Sentenças Abertas ( ) Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 27

28 A conjunção lógica (a operação E lógico, representada pelo símbolo ) pode ser aplicada sobre sentenças abertas ou predicados.... Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 28

29 Vamos começar a análise da conjunção de sentenças abertas, supondo 2 sentenças abertas bastante simples: – x é médico, x é professor – podem ser aplicadas sobre o domínio (conjunto) das pessoas vivas atualmente. Agora se conectarmos ambas afirmações pelo conectivo E lógico ( ) fica-se com a expressão: – x é médico x é professor – que somente pode ser verdadeira (satisfeita) para as pessoas (os x) que são ambos médico(a) e professor(a). Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 29

30 Em todas as conjunções de sentenças abertas onde os domínios são finitos pode-se teoricamente montar uma tabela similar a vista acima e verificar, usando as regras da lógica proposicional, qual o valor-verdade da conjunção. Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 30

31 Porém o que se pode fazer quando os domínios são infinitos? Que tipo de significado se poderia atribuir para a conjunção de sentenças abertas sobre domínios infinitos? Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 31

32 A solução para este problema é? usando-se a Teoria Elementar dos Conjuntos para definir o significado da operação de conjunção lógica sobre duas sentenças abertas.... Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 32

33 Vamos supor as duas sentenças já vistas anteriormente: Deste desenho deve ficar claro que somente a intersecção das duas áreas (e portanto dos dois conjuntos) é que corresponde as pessoas que são ambas médicos e professores. Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 33

34 Graficamente isto pode ser mostrado pelo seguinte diagrama: Ou seja o conjunto- verdade correspondente a conjunção de duas sentenças abertas é dado pela intersecção dos conjuntos- verdade de ambas sentenças. Formalmente, este conjunto- verdade é definido como: VP Q = VP VQ = {x A | P(x)} {x A | Q(x)} Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 34

35 Exemplo Sejam as seguintes sentenças abertas em Z (conjunto dos número inteiros): P(x) = x2 + x -2 = 0 Q(x) = x2 - 4 = 0 Tem-se que: VP Q = {x Z | P(x)} {x A | Q(x)} = {x Z | x2 + x -2 = 0} {x A | x2 - 4 = 0} = {-2, 1} {-2, 2} = {-2} Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 35

36 Disjunção sobre Sentenças Abertas ( ) Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 36


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