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UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Árvores. UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Árvores Grafo Acíclico: não possui ciclos.

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1 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Árvores

2 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Árvores Grafo Acíclico: não possui ciclos

3 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Árvores Grafo Acíclico: não possui ciclos Uma árvore é um grafo conexo acíclico

4 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Árvores Grafo Acíclico: não possui ciclos Uma árvore é um grafo conexo acíclico Todas as árvores com 6 vértices

5 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Floresta Um grafo acíclico é também chamado de floresta.

6 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Teorema: Um grafo T é uma árvore sss existir um único caminho entre cada par de vértices de T

7 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Prova ( ) Por contradição!!! –T é uma árvore v e w dois vértices quaisquer de T –não existe caminho entre v e w ou –P1e P2: dois caminhos-(u,v) distintos »Existem necessariamente dois vértices t1 e t2 P1 e P2 tais que entre t1 e t2, P1 e P2 são distintos

8 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Prova ( ) Também por contradição!!! –existe um único caminho entre cada par de vértices: T é conexo –Sup. T não é acíclico: existe um ciclo C em T seja {v,w} uma aresta de C: –Dois caminhos entre v e w em T (contradição)

9 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Teorema: Se T é uma árvore então m=n-1 Prova: Por indução em n!!!!

10 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Folha de uma árvore Uma folha de uma árvore é um vértice v tal que d(v) = 1

11 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Teorema Toda árvore possui pelo menos duas folhas, n > 1.

12 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Teorema: Um grafo conexo é uma árvore sss toda aresta é uma ponte

13 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Teorema: O centro de uma árvore possui um ou dois vértices.

14 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Árvore enraizada Uma árvore no qual um vértice é destacado dos outros (raíz) é chamada de árvore com raíz ou enraizada. Nível de uma árvore enraizada: um vértice v i é dito estar no nível i da árvore se v i está a uma distância i da raiz. Altura: nível máximo da árvore

15 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Teorema: Toda árvore é um grafo bipartido. Exercício!!!

16 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Árvore binária Uma árvore estritamente binária é uma classe especial de árvore enraizada Cada vértice possui exatamente 2 filhos, ou seja, existe apenas um vértice com grau 2 (raíz) e os outros vértices possuem grau 1 ou 3

17 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Árvore binária Propriedades: – a) o número de vértices é ímpar – b) o número de folhas é (n+1)/2 – c) a altura mínima de uma árvore estritamente binária com n vértices é log 2 (n+1) - 1

18 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Subgrafo gerador Relembrando: um grafo H é subgrafo de G se V(H) V(G) e E(H) E(G). Se V(H) = V(G) então H é subgrafo gerador ou de espalhamento de G.

19 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Árvore Geradora Uma árvore geradora é um subgrafo gerador de G que é uma árvore. Uma árvore geradora em um grafo G é um subgrafo minimal que conecta todos os vértices de G;

20 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Teorema: Todo grafo conexo possui uma árvore geradora

21 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Corolário: Se G é conexo, então m n-1

22 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Teorema: Seja T uma árvore geradora de um grafo conexo G e seja a uma aresta de G, a T. Então T+ a contém um único ciclo.

23 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Prova: Como T é acíclico, cada ciclo de T+a contém a. C é um ciclo de T+e sse C-e é um caminho em T ligando os extremos de e. Pelo teorema, T tem um único caminho desse tipo, logo T+e contém um único ciclo.

24 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Exercício Seja G um grafo conexo e seja e uma aresta de G. A aresta e pertence a toda árvore geradora de G se e somente se e é ponte em G

25 UFES Teoria dos Grafos Algoritmos Para construção de uma árvore geradora; Para construção de uma árvore geradora mínima. CC/EC/Mestrado

26 UFES Teoria dos Grafos Exemplo CC/EC/Mestrado

27 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Busca em Profundidade entrada: G = (V,E), Lista de Adjacência de G: A(v), v V 1. i 1; 2. F ; 3. para-todo v V faça 4.indice(v) 0; 5. fim-para-todo 6. enquanto existir u, indice(u) = 0 faça 7. PBP(u); 8. fim-enquanto saída: F PBP(v) { 1. indice(v) i; 2. i i+1; 3. para-todo v´ A(v) faça 4. se indice(v´) = 0 então 5. F F U {{v,v´}}; 6. PBP(v´); 7. fim-se 8. fim-para-todo }

28 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Complexidade Para cada v V, PBP(v) é chamado apenas uma vez quando o vértice ainda não foi visitado (indice(v) = 0) Tempo gasto por PBP(v): proporcional a d(v) Tempo gasto por todas as chamadas de PBP(v): proporcional a m Linhas 3 – 8: O(n) Construção de F: O(m) Complexidade: O(max {n,m})

29 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Árvores geradoras em um grafo valorado O peso de uma árvore geradora T de G é definido como a soma dos valores de todas as arestas de T. Diferentes árvores geradoras de T podem ter diferentes pesos. Árvore Geradora mínima: a árvore geradora de G de menor peso.

30 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Árvore geradora mínima Aplicações: – Em problemas de interligação (comunicação, redes de luz, esgotos, etc.) – Em problemas de construção de redes de menor custo (malhas rodoviárias, redes de computadores)

31 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Exemplo Suponha que n cidades devem ser conectadas por uma rede de estradas. Existe um custo cij associado à construção de uma estrada entre as cidades i e j. O problema então se resume em determinar a rede com menor custo que conecte todas as cidades. Essa rede será uma árvore geradora, caso contrário, é sempre possível retirar uma aresta e obter um caminho mais barato entre duas cidades

32 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Uma árvore geradora T de um grafo conexo valorado G é mínima sss não existe qualquer outra árvore geradora de G, a uma distância 1 de T, cujo peso é menor que o peso de T. Distância entre T i e T j de G: número de arestas de G presentes em T i mas não presentes em T j.

33 UFES Teoria dos Grafos Exemplo CC/EC/Mestrado

34 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Algoritmo de Prim entrada: G = (V,E), Lista de Adjacência de G: A(v), v V, matriz de pesos 1. T ; 2. V´ {u}; 3. para-todo v V – V´ faça 4. L(v) peso ({u,v}); 5.fim-para-todo 6.enquanto V´ V faça 7. ache um vértice w tal que L(w) = min {L(v)| v V-V´}; 8. u = o vértice de V´, ligado a w, representando a aresta com o menor custo; 9. e = {u,w}; 10. T T U {e}; 11. V´ V´ U {w}; 12. para-todo v V – V´ faça 13. se peso({v,w}) < L(v) então 14. L(v) p({v,w}); 15. fim-se 16. fim-para-todo 17. fim-enquanto saída: T

35 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Complexidade Linhas : n-1 vezes Linhas 7- 8: n-1 vezes Linhas 11 – 15: n-1 vezes Complexidade: O(n 2 )

36 UFES Exemplo de aplicação

37 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Teorema: O algoritmo de Prim acha uma árvore geradora mínima de um grafo conexo G não orientado.

38 UFES Ideia A árvore geradora mínima é construída iterativamente e é mínima para cada conjunto V'. Cada nova aresta selecionada é a de menor valor, com um dos extremos em V' e o outro em V – V'.

39 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Algoritmo de Kruskal entrada: G = (V,E), Lista de Adjacência de G: A(v), v V, matriz de pesos 1. ordenar as arestas e de G pelo valor de seus pesos 2. T ; 3.para-todo i = 1,..., |E| faça 4. se T U {e} é acíclico então 5. T T U {e}; 6. fim-se 7. fim-para-todo; saída: T

40 UFES CC/EC/MestradoTeoria dos Grafos Complexidade Os custos relevantes neste algoritmo são o custo da ordenação das arestas (passo 1) e a verificação se a aresta forma um ciclo (passo 4) Iterativamente o algoritmo forma componentes conexas acíclicas. Então, computar a linha 4 significa verificar se a próxima aresta não liga vértices de um mesmo conjunto.

41 UFES CC/EC/MestradoTeoria dos Grafos Complexidade Para a implementação da linha 4 podem ser usadas estruturas de dados para conjuntos disjuntos Usando essa forma de implementação, o algoritmo fica limitado pela complexidade de ordenar a lista de arestas, pois a operação de verificar se é acíclico fica mais barata. Assim teremos O(m*log m). Se |E| < |V| 2, teremos O(m*log n)

42 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos O algoritmo de Kruskal acha uma árvore geradora mínima de um grafo conexo G não orientado.

43 UFES Ideia Seja G = (V,E) o grafo conexo processado pelo algoritmo. Como G é conexo, G possui uma árvore geradora. Inicialmente T é vazio => T é mínimo Tendo T k arestas, o algoritmo seleciona a aresta de menor peso no conjunto de arestas não visitadas. Seja ak+1 essa aresta. Há quatro casos: a) T já contém n-1 arestas. Nesse caso, a solução T que por indução é uma árvore mínima, é retornada. b) A aresta ak+1 liga dois vértices de T que são no mesmo componente. Nesse caso, ak+1 é rejeitada e T não muda. c) Um dos dois vértices ligados por ak+1 não pertence a T. d) A aresta ak+1 liga dois vértices de T. Nesse caso, são dois vértices de componentes diferentes.

44 UFES Exercícios 1) Prove que uma aresta pendente (isto é, uma aresta que liga um vértice de grau 1) em um grafo conexo G é contida em toda árvore geradora de G. 2) Prove que duas cores são suficientes para colorir os vértices de uma árvore de tal maneira que nenhum vértice seja adjacente a um vértice da mesma cor. 3) Um grafo pode ter várias árvores geradoras diferentes. Onde essa possibilidade aparece no algoritmos de Kruskal e Prim? 4) aplique o algoritmo de Kruskal no grafo do slide 36. A árvore obtida é a mesma?

45 UFES Exercícios Indique se é Verdadeiro ou Falso: a)Os algoritmos de Kruskal e Prim sempre retornam a mesma árvore geradora de um grafo conexo onde todas as arestas têm pesos diferentes. b) Supondo que um grafo possui exatamente duas arestas com o mesmo peso. O algoritmo de Prim retorna a mesma árvore geradora independentemente de qual aresta foi selecionada?


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