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Teoria dos Grafos – Aula 2 Profª.: Loana T. Nogueira.

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Apresentação em tema: "Teoria dos Grafos – Aula 2 Profª.: Loana T. Nogueira."— Transcrição da apresentação:

1 Teoria dos Grafos – Aula 2 Profª.: Loana T. Nogueira

2 Matriz de Incidência (v x e)

3 M G =[m ij ] m ij é o número de vezes que v i e e j são incidentes

4 Matriz de Incidência (v x e) M G =[m ij ] m ij é o número de vezes que v i e e j são incidentes e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 e5e5 e6e6 e7e7 v1v1 v2v2 v3v3 v4v4

5 Matriz de Incidência (v x e) M G =[m ij ] m ij é o número de vezes que v i e e j são incidentes e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 e5e5 e6e6 e7e7 v1v1 v2v2 v3v3 v4v4 e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 v1v2v3v4v1v2v3v4

6 M G =[m ij ] m ij é o número de vezes que v i e e j são incidentes e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 e5e5 e6e6 e7e7 v1v1 v2v2 v3v3 v4v4 e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 v1v2v3v4v1v2v3v Matriz de Incidência (v x e)

7 M G =[m ij ] m ij é o número de vezes que v i e e j são incidentes e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 e5e5 e6e6 e7e7 v1v1 v2v2 v3v3 v4v4 e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 v1v2v3v4v1v2v3v Matriz de Incidência (v x e)

8 M G =[m ij ] m ij é o número de vezes que v i e e j são incidentes e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 e5e5 e6e6 e7e7 v1v1 v2v2 v3v3 v4v4 e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 v1v2v3v4v1v2v3v Matriz de Incidência (v x e)

9 M G =[m ij ] m ij é o número de vezes que v i e e j são incidentes e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 e5e5 e6e6 e7e7 v1v1 v2v2 v3v3 v4v4 e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 v1v2v3v4v1v2v3v Matriz de Incidência (v x e)

10 Matriz de Adjacência (v x v)

11 A G =[a ij ] a ij é o número de arestas ligando v i e v j Matriz de Adjacência (v x v)

12 A G =[a ij ] a ij é o número de arestas ligando v i e v j e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 e5e5 e6e6 e7e7 v1v1 v2v2 v3v3 v4v4 v 1 v 2 v 3 v 4 v1v2v3v4v1v2v3v4 Matriz de Adjacência (v x v)

13 A G =[a ij ] a ij é o número de arestas ligando v i e v j e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 e5e5 e6e6 e7e7 v1v1 v2v2 v3v3 v4v4 v 1 v 2 v 3 v 4 v1v2v3v4v1v2v3v4 Matriz de Adjacência (v x v)

14 A G =[a ij ] a ij é o número de arestas ligando v i e v j e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 e5e5 e6e6 e7e7 v1v1 v2v2 v3v3 v4v4 v 1 v 2 v 3 v 4 v1v2v3v4v1v2v3v4 Matriz de Adjacência (v x v)

15 A G =[a ij ] a ij é o número de arestas ligando v i e v j e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 e5e5 e6e6 e7e7 v1v1 v2v2 v3v3 v4v4 v 1 v 2 v 3 v 4 v1v2v3v4v1v2v3v4 Matriz de Adjacência (v x v)

16 A G =[a ij ] a ij é o número de arestas ligando v i e v j e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 e5e5 e6e6 e7e7 v1v1 v2v2 v3v3 v4v4 v 1 v 2 v 3 v 4 v1v2v3v4v1v2v3v4 Matriz de Adjacência (v x v)

17 Subgrafos

18 Um grafo H é um subgrafo de G (H G) se V(H) V(G) e E(H) E(G)

19 Subgrafos Um grafo H é um subgrafo de G (H G) se V(H) V(G) e E(H) E(G) Quando H G e H G, denotamos H G e dizemos que H é subgrafo próprio de G

20 Subgrafos Um grafo H é um subgrafo de G (H G) se V(H) V(G) e E(H) E(G) Quando H G e H G, denotamos H G e dizemos que H é subgrafo próprio de G Se H é um subgrafo de G então G é um supergrafo de H

21 Subgrafos Um grafo H é um subgrafo de G (H G) se V(H) V(G) e E(H) E(G) Quando H G e H G, denotamos H G e dizemos que H é subgrafo próprio de G Se H é um subgrafo de G então G é um supergrafo de H Um subgrafo gerador de G é um subgrafo H com V(H) = V(G)

22 Subgrafo Induzido

23 Seja V´ um subconjunto não vazio de V. O subgrafo de G cujo conjunto de vértices é V´ e o conjunto de arestas é o conjunto de todas as arestas de G com ambos extremos em V´ é chamado de subgrafo de G induzido por V.

24 Subgrafo Induzido Seja V´ um subconjunto não vazio de V. O subgrafo de G cujo conjunto de vértices é V´ e o conjunto de arestas é o conjunto de todas as arestas de G com ambos extremos em V´ é chamado de subgrafo de G induzido por V. G[V]: é um subgrafo induzido de G.

25 G[v\v´], denotado por G-V É o subgrafo obtido a partir de G pela remoção dos vértices em V´ e suas arestas incidentes Se V´={v}, escrevemos G-v ao invés de G-{v}

26 Subgrafo induzido (por aresta) Seja E´um subconjunto não vazio de arestas de E. O subgrafo de G cujo conjunto de vértices é o conjunto dos extremos das arestas em E, cujo conjunto de arestas é E´ é chamado de subgrafo de induzido por arestas

27 Subgrafo induzido (por aresta) Seja E´um subconjunto não vazio de arestas de E. O subgrafo de G cujo conjunto de vértices é o conjunto dos extremos das arestas em E, cujo conjunto de arestas é E´ é chamado de subgrafo de induzido por arestas

28 Subgrafo induzido (por aresta) G- E´: subgrafo gerador de G com conjunto de arestas E\E´

29 Subgrafo induzido (por aresta) G- E´: subgrafo gerador de G com conjunto de arestas E\E´ G+E´: grafo obtido a partir de G adicionando um conjunto de arestas E

30 Exemplo u v y wx ea b c d f g h

31 u v y wx ea b c d f g h Um subgrafo gerador de G

32 Exemplo u v y wx ea b c d f g h Um subgrafo gerador de G u y wx e b c d g v

33 Exemplo u v y wx ea b c d f g h G – {u,w}

34 Exemplo G – {u,w} wx b c d f g h y v u v y wx ea b c d f g h

35 Exemplo u v y wx ea b c d f g h G – {u,w} d f g h y x v

36 Exemplo G-{a, b, f} u y x ea c d f g h v w

37 Exemplo G-{a, b, f} y x e c d f g h v w u

38 Exemplo G-{a, b, f} y x e c d f g h v w u

39 Exemplo G-{a, b, f} y x e c d g h v w u

40 Exemplo O subgrafo induzido G[u, v, x] u v y wx ea b c d f g h

41 Exemplo O subgrafo induzido G[u, v, x] u v y wx ea b c d f g h u v x

42 Exemplo O subgrafo induzido G[u, v, x] u v y wx ea b c d f g h u v x

43 Exemplo O subgrafo induzido G[a, d, e, g] por aresta u v y wx ea b c d f g h

44 Exemplo O subgrafo induzido G[a, d, e, g] por aresta u v y wx ea b c d f g h u y ea d g x v

45 Subgrafos Disjuntos Sejam G 1, G 2 G

46 Subgrafos Disjuntos Sejam G 1, G 2 G G 1 e G 2 são disjutos se V(G 1 ) V(G 2 ) =

47 Subgrafos Disjuntos em aresta

48 Sejam G 1, G 2 G

49 Subgrafos Disjuntos em aresta Sejam G 1, G 2 G G 1 e G 2 são disjutos em aresta se E(G 1 ) E(G 2 ) =

50 União de Grafos

51 G 1 G 2 : é o subgrafo com conjunto de vértice V(G 1 ) V(G 2 ) e conjunto de aresta E(G 1 ) E(G 2 )

52 União de Grafos G 1 G 2 : é o subgrafo com conjunto de vértice V(G 1 ) V(G 2 ) e conjunto de aresta E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 + G 2 se G 1 e G 2 são disjuntos

53 Interseção Similar, mas neste casa G 1 e G 2 devem ter ao menos um vértice em comum

54 Grau dos vértices

55 O grau d G (v) de um vértice v em G é o número de arestas de G incidentes a v Cada loop conta como duas arestas

56 Grau dos vértices O grau d G (v) de um vértice v em G é o número de arestas de G incidentes a v Cada loop conta como duas arestas (G): grau mínimo de G (G): grau máximo de G

57 Teorema: d(v) =2m v V

58 Teorema: d(v) =2m v V Prova por indução em n!!!

59 Corolário: Em qualquer grafo, o número de vértices de grau ímpar é par.

60 V 1 : conjunto do vértices de G com grau par V 2 : conjunto dos vértices de G com grau ímpar

61 Corolário: Em qualquer grafo, o número de vértices de grau ímpar é par. V 1 : conjunto do vértices de G com grau par V 2 : conjunto dos vértices de G com grau ímpar d(v) + d(v) = d(v) v V 1 v V 2 v V

62 Grafo k-regular G é k-regular se d(v) = k, v V

63 Grafo k-regular G é k-regular se d(v) = k, v V Um grafo G é regular se é k-regular para algum k.

64 Caminhos Um passeio em G é uma sequência não-nula W=v 0 e 1 v 1 e 2 v 2...e k v k, cujos termos são alternadamente vértices e arestas, tais que, 1 i k, os extremos de e i são v i-1 e v i.

65 Caminhos Um passeio em G é uma sequência não-nula W=v 0 e 1 v 1 e 2 v 2...e k v k, cujos termos são alternadamente vértices e arestas, tais que, 1 i k, os extremos de e i são v i-1 e v i. W é um passeio de v 0 a v k.

66 Caminhos Um passeio em G é uma sequência não-nula W=v 0 e 1 v 1 e 2 v 2...e k v k, cujos termos são alternadamente vértices e arestas, tais que, 1 i k, os extremos de e i são v i-1 e v i. W é um passeio de v 0 a v k. v 0 : início do passeio v k : término do passeio

67 Caminhos Um passeio em G é uma sequência não-nula W=v 0 e 1 v 1 e 2 v 2...e k v k, cujos termos são alternadamente vértices e arestas, tais que, 1 i k, os extremos de e i são v i-1 e v i. W é um passeio de v 0 a v k. v 0 : início do passeio v k : término do passeio K: comprimento do caminho

68 Trilha Não pode repetir arestas

69 Caminho Não pode repetir vértices (nem arestas)

70 Grafo Conexo u e v são ditos conectados se existir um caminho entre u e v em G. Notação: caminho-(u,v)

71 Grafo Conexo u e v são ditos conectados se existir um caminho entre u e v em G Notação: caminho-(u,v) G é dito conexo se existir caminho entre quaisquer dois vértices de G

72 Grafo Conexo u e v são ditos conectados se existir um caminho entre u e v em G Notação: caminho-(u,v) G é dito conexo se existir caminho entre quaisquer dois vértices de G Relação de Equivalência definida pela conexão entre os vértices

73 Reflexiva Equivalência

74 Caminho-(u, u) Equivalência

75 Caminho-(u, u) Simétrica Equivalência

76 Caminho-(u, u) Se existe caminho-(u,v) então existe caminho-(v,u) Equivalência

77 Caminho-(u, u) Se existe caminho-(u,v) então existe caminho-(v,u) Transitiva Equivalência

78 Caminho-(u, u) Se existe caminho-(u,v) então existe caminho-(v,u) Se existem os caminhos-(u,v) e –(v,w) então existe caminho-(u,w) Equivalência

79 Componentes Conexas

80 É possível particionar G em classes de equivalência: V 1, V 2,..., V p tal que dois vértices são conectados se e somente se pertence a um mesmo V i

81 Componentes Conexas É possível particionar G em classes de equivalência: V 1, V 2,..., V p tal que dois vértices são conectados se e somente se pertence a um mesmo V i Os subgrafos G[V 1 ],..., G[V p ] são chamados de componentes conexas de G.

82 Maximal (Minimal) G´ G é maximal em relação a uma propriedade se não houver G G´tal que G tem a propriedade.

83 Maximal (Minimal) G´ G é maximal em relação a uma propriedade se não houver G G´tal que G tem a propriedade. Componentes conexas: são todos os subgrafos conexos maximais de G.

84 Exemplo G

85 G é Conexo G

86 Exemplo G G é Conexo H

87 Exemplo G G é Conexo H H é desconexo

88 Exemplo G G é Conexo H H é desconexo

89 Exemplo G G é Conexo H H é desconexo

90 Exemplo G G é Conexo H H é desconexo

91 Exemplo G G é Conexo H H é desconexo

92 Exemplo G G é Conexo H H é desconexo (G)= número de componentes conexas de G

93 Ciclo Uma sequência v 1, v 2,..., v p, v 1 é um ciclo em G se v 1, v 2,..., v p é um caminho em G.

94 Ciclo Uma sequência v 1, v 2,..., v p, v 1 é um ciclo em G se v 1, v 2,..., v p é um caminho em G. k-ciclo : um ciclo de tamanho k

95 Ciclo Uma sequência v 1, v 2,..., v p, v 1 é um ciclo em G se v 1, v 2,..., v p é um caminho em G. k-ciclo : um ciclo de tamanho k 3-ciclo: triângulo

96 Teorema: Um grafo G é bipartido se e somente se não contém ciclo ímpar

97 ( ) u v

98 u v P

99 u v w P

100 u v w P Q

101 u v w u1u1 P Q

102 u v w u1u1 P Q P1P1

103 u v w u1u1 P Q P1P1 Q1Q1

104 u v w u1u1 P Q

105 u v w u1u1 P Q


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