A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Árvores.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Árvores."— Transcrição da apresentação:

1 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Árvores

2 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Árvores Grafo Acíclico: não possui ciclos

3 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Árvores Grafo Acíclico: não possui ciclos Uma árvore é um grafo conexo acíclico

4 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Árvores Grafo Acíclico: não possui ciclos Uma árvore é um grafo conexo acíclico Todas as árvores com 6 vértices

5 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Floresta Um grafo acíclico é também chamado de floresta.

6 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Teorema: Um grafo T é uma árvore sss existir um único caminho entre cada par de vértices de T

7 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Prova ( ) Por contradição!!! –T é uma árvore v e w dois vértices quaisquer de T –não existe caminho entre v e w ou –P 1 e P 2 : dois caminhos-(u,v) distintos »Existem necessariamente dois vértices t1 e t2 P 1 e P 2 tais que entre t1 e t2, P 1 e P 2 são distintos

8 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Prova ( ) Também por contradição!!! –existe um único caminho entre cada par de vértices: T é conexo –Sup. T não é acíclico: existe um ciclo C em T seja {v,w} uma aresta de C: –dois caminhos entre v e w em T (contradição!)

9 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Teorema: Se T é uma árvore então m=n-1 Prova: Por indução em n!!!!

10 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Folha de uma árvore Uma folha de uma árvore é um vértice v tal que d(v) = 1

11 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Teorema Toda árvore possui pelo menos duas folhas, n > 1.

12 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Teorema: Um grafo conexo é uma árvore sss toda aresta é uma ponte

13 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Distância Conceitos útil para se medir a localização relativa entre diferentes vértices de uma árvore ou de um grafo Distância d(v,w): – na árvore: número de arestas do caminho que liga v a w – em um grafo conexo: número de arestas do menor caminho que liga v a w.

14 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Excentricidade de um vértice em um grafo Excentricidade de um vértice E(v): o valor da maior distância entre v e qualquer outro vértice de G. E(v) = max d(v,v i ), v V v i V

15 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Centro O conjunto de vértices com excentricidade mínima em um grafo é denotado centro do grafo

16 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Diâmetro e vértice periférico Diâmetro de um grafo G é a maior das excentricidades existentes em G. Vértice periférico de um grafo G é um vértice cuja excentricidade é igual ao diâmetro

17 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Qual o centro, o diâmetro e os vértices periféricos? e G a b c d

18 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Teorema: As propriedades seguintes são equivalentes: a) G é um grafo conexo e acíclico; b) G é acíclico e tem n-1 arestas; c) G é conexo e tem n-1 arestas; d) G é sem ciclos e por adição de uma aresta se cria um único ciclo; e) G é conexo mas G' = G – e é desconexo, e E; f) todo par de vértices de G é unido por um e só um caminho simples.

19 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Prova a) b) c) d) e) f) a) Exercício!!!

20 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Teorema: Toda árvore é um grafo bipartido. Exercício!!!

21 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Teorema: O centro de uma árvore possui um ou dois vértices. Exercício!!!

22 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Subgrafo gerador Relembrando: um grafo H é subgrafo de G se V(H) V(G) e E(H) E(G). Se V(H) = V(G) então H é subgrafo gerador ou de espalhamento de G.

23 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Árvore Geradora Uma árvore geradora é um subgrafo gerador de G que é uma árvore. Uma árvore geradora em um grafo G é um subgrafo minimal que conecta todos os vértices de G;

24 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Teorema: Todo grafo conexo possui uma árvore geradora

25 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Corolário: Se G é conexo, então m n-1

26 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Teorema: Seja T uma árvore geradora de um grafo conexo G e seja a uma aresta de G, a T. Então T+ a contém um único ciclo.

27 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Prova: Como T é acíclico, cada ciclo de T+a contém a. C é um ciclo de T+e sse C-e é um caminho em T ligando os extremos de e. Pelo teorema, T tem um único caminho desse tipo, logo T+e contém um único ciclo.

28 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Como T é acíclico, cada ciclo de T+a contém a. C é um ciclo de T+a sss C-a é um caminho em T ligando os extremos de a. Pelo teorema, T tem um único caminho desse tipo, logo T+e contém um único ciclo.

29 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Como T é acíclico, cada ciclo de T+a contém a. C é um ciclo de T+a sss C-a é um caminho em T ligando os extremos de a. Pelo teorema, T tem um único caminho desse tipo, logo T+a contém um único ciclo.

30 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Algoritmos Para construção de uma árvore geradora; Para construção de uma árvore geradora mínima.

31 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Busca em Profundidade entrada: G = (V,E), Lista de Adjacência de G: A(v), v V 1. i 1; 2. F ; 3. para-todo v V faça 1.indice(v) 0; 5. fim-para-todo 6. enquanto existir u, indice(u) = 0 faça 1.PBP(u); 8. fim-enquanto saída: F PBP(v) { 1. indice(v) i; 2. i i+1; 3. para-todo v´ A(v) faça 4. se indice(v´) = 0 então 5. F F U {{v,v´}}; 6. PBP(v´); 7. fim-se 8. fim-para-todo }

32 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Complexidade Para cada v V, PBP(v) é chamado apenas uma vez quando o vértice ainda não foi visitado (indice(v) = 0) Tempo gasto por PBP(v): proporcional a d(v) Tempo gasto por todas as chamadas de PBP(v): proporcional a |E| Linhas 3 – 8: O(n) Construção de F: O(|E|) Complexidade: O(max {n,|E|})

33 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Árvores geradoras em um grafo valorado O peso de uma árvore geradora T de G é definido como a soma dos valores de todas as arestas de T. Diferentes árvores geradoras de T podem ter diferentes pesos. Árvore Geradora mínima: a árvore geradora de G de menor peso.

34 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Árvore geradora mínima Aplicações: –Em problemas de interligação (comunicação, redes de luz, esgotos, etc.) –Em problemas de construção de redes de menor custo (malhas rodoviárias, redes de computadores)

35 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Teorema: Uma árvore geradora T de um grafo conexo valorado G é mínima sss não existe qualquer outra árvore geradora de G, a uma distância 1 de T, cujo peso é menor que o peso de T. Distância entre T i e T j de G: número de arestas de G presentes em T i mas não presentes em T j.

36 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Algoritmo de Prim entrada: G = (V,E), Lista de Adjacência de G: A(v), v V, matriz de pesos 1. T ; 2. V´ {u}; 3. para-todo v V – V´ faça 4. L(v) peso ({u,v}); 5.fim-para-todo 6.enquanto V´ V faça 7. ache um vértice w tal que L(w) = min {L(v)| v V-V´}; 8. u = o vértice de V´, ligado a w, representando a aresta com o menor custo; 9. e = {u,w}; 10. T T U {e}; 11. V´ V´ U {w}; 12. para-todo v V – V´ faça 13. se peso({v,w}) < L(v) então 14. L(v) p({v,w}); 15. fim-se 16. fim-para-todo 17. fim-enquanto saída: T

37 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Complexidade Linhas : n-1 vezes Linhas 7- 8: n-1 vezes Linhas 11 – 15: n-1 vezes Complexidade: O(n 2 )

38 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Teorema: O algoritmo de Prim acha uma árvore geradora mínima de um grafo conexo G não orientado.

39 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Algoritmo de Kruskal entrada: G = (V,E), Lista de Adjacência de G: A(v), v V, matriz de pesos 1. se peso (e i ) > peso (e j ) então 2. i > j; 3. fim-se // ordenar as arestas pelos pesos 4. T ; 5.para-todo i = 1,..., |E| faça 6. se T U {e i } é acíclico então 7. T T U {e i }; 8. fim-se 9. fim-para-todo; saída: T

40 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Complexidade Exercício!!


Carregar ppt "CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Árvores."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google