Teoria dos Grafos Loana Tito Nogueira.

Apresentação em tema: "Teoria dos Grafos Loana Tito Nogueira."— Transcrição da apresentação:

1 Teoria dos Grafos Loana Tito Nogueira

2 Corte por Aresta Para subconjuntos S e S’ de V, denotamos por [S, S´] o conjunto de arestas com um extremo em S e outro em S´

3 Corte por Aresta Para subconjuntos S e S’ de V, denotamos por [S, S´] o conjunto de arestas com um extremo em S e outro em S´ Um corte por aresta é um subconjunto de E da forma[S, S´], onde S é um subconjunto não vazio e próprio de V e S´=V\S

4 Bond Um corte por aresta minimal de G é chamado bond.

5 Bond Um corte por aresta minimal de G é chamado bond.
Se G é conexo, então um bond B de G é um subconjunto minimal de E tal que G-B é desconexo.

6 Exemplo: G

7 Exemplo: G a b

8 Exemplo: G a É um corte por aresta! b

9 Exemplo: G a Mas não é minimal!!! b

10 Exemplo: G a b

11 Exemplo: G a Também não é minimal!!! b

12 Exemplo: G a É um bond b

13 Vértice de Corte

14 Vértice de Corte Um vértice de G é um vértice de corte se E pode ser particionado em 2 subconjuntos não vazios E1 e E2 tais que G[E1], e G[E2] possuem um vértice em comum.

15 Vértice de Corte Um vértice de G é um vértice de corte se E pode ser particionado em 2 subconjuntos não vazios E1 e E2 tais que G[E1], e G[E2] possuem um vértice em comum. Ex.:

16 Vértice de Corte Um vértice de G é um vértice de corte se E pode ser particionado em 2 subconjuntos não vazios E1 e E2 tais que G[E1], e G[E2] possuem um vértice em comum. Ex.:

17 Vértice de Corte Um vértice de G é um vértice de corte se E pode ser particionado em 2 subconjuntos não vazios E1 e E2 tais que G[E1], e G[E2] possuem um vértice em comum. Ex.:

18 Vértice de Corte Um vértice de G é um vértice de corte se E pode ser particionado em 2 subconjuntos não vazios E1 e E2 tais que G[E1], e G[E2] possuem um vértice em comum. Ex.:

19 Vértice de Corte Um vértice de G é um vértice de corte se E pode ser particionado em 2 subconjuntos não vazios E1 e E2 tais que G[E1], e G[E2] possuem um vértice em comum. Ex.:

20 Vértice de Corte Um vértice de G é um vértice de corte se E pode ser particionado em 2 subconjuntos não vazios E1 e E2 tais que G[E1], e G[E2] possuem um vértice em comum. Ex.:

21 Vértice de Corte Um vértice de G é um vértice de corte se E pode ser particionado em 2 subconjuntos não vazios E1 e E2 tais que G[E1], e G[E2] possuem um vértice em comum. Ex.:

22 Vértice de Corte Um vértice de G é um vértice de corte se E pode ser particionado em 2 subconjuntos não vazios E1 e E2 tais que G[E1], e G[E2] possuem um vértice em comum. Ex.:

23 Vértice de Corte Um vértice de G é um vértice de corte se E pode ser particionado em 2 subconjuntos não vazios E1 e E2 tais que G[E1], e G[E2] possuem um vértice em comum. Se G não possui loops e é um grafo não trivial, então v é um vértice de corte se e somente se w(G-v) > w(G).

24 Vértice de Corte Um vértice de G é um vértice de corte se E pode ser particionado em 2 subconjuntos não vazios E1 e E2 tais que G[E1], e G[E2] possuem um vértice em comum. Se G não possui loops e é um grafo não trivial, então v é um vértice de corte se e somente se w(G-v) > w(G).

25 Teorema: Um vértice v de uma árvore G é um vértice de corte se e somente se d(v) > 1

26 Teorema: Um vértice v de uma árvore G é um vértice de corte se e somente se d(v) > 1
() Contradição!

27 Teorema: Um vértice v de uma árvore G é um vértice de corte se e somente se d(v) > 1
() Contradição! d(v)=0

28 () Contradição! d(v)=0 , G  K1
Teorema: Um vértice v de uma árvore G é um vértice de corte se e somente se d(v) > 1 () Contradição! d(v)=0 , G  K1

29 d(v)=0 , G  K1, v não é vértice de corte.
Teorema: Um vértice v de uma árvore G é um vértice de corte se e somente se d(v) > 1 () Contradição! d(v)=0 , G  K1, v não é vértice de corte.

30 d(v)=0 , G  K1, v não é vértice de corte.
Teorema: Um vértice v de uma árvore G é um vértice de corte se e somente se d(v) > 1 () Contradição! d(v)=0 , G  K1, v não é vértice de corte. d(v)=1

31 d(v)=0 , G  K1, v não é vértice de corte.
Teorema: Um vértice v de uma árvore G é um vértice de corte se e somente se d(v) > 1 () Contradição! d(v)=0 , G  K1, v não é vértice de corte. d(v)=1, G-v é um grafo acíclico com n(G-v)-1 arestas

32 d(v)=0 , G  K1, v não é vértice de corte.
Teorema: Um vértice v de uma árvore G é um vértice de corte se e somente se d(v) > 1 () Contradição! d(v)=0 , G  K1, v não é vértice de corte. d(v)=1, G-v é um grafo acíclico com n(G-v)-1 arestas, e logo uma árvore. Portanto w(G-v)=w(G) e v não é vértice de corte de G.

33 d(v)=0 , G  K1, v não é vértice de corte.
Teorema: Um vértice v de uma árvore G é um vértice de corte se e somente se d(v) > 1 () Contradição! d(v)=0 , G  K1, v não é vértice de corte. d(v)=1, G-v é um grafo acíclico com n(G-v)-1 arestas, e logo uma árvore.

34 d(v)=0 , G  K1, v não é vértice de corte.
Teorema: Um vértice v de uma árvore G é um vértice de corte se e somente se d(v) > 1 () Contradição! d(v)=0 , G  K1, v não é vértice de corte. d(v)=1, G-v é um grafo acíclico com n(G-v)-1 arestas, e logo uma árvore. Portanto w(G-v)=w(G)

35 d(v)=0 , G  K1, v não é vértice de corte.
Teorema: Um vértice v de uma árvore G é um vértice de corte se e somente se d(v) > 1 () Contradição! d(v)=0 , G  K1, v não é vértice de corte. d(v)=1, G-v é um grafo acíclico com n(G-v)-1 arestas, e logo uma árvore. Portanto w(G-v)=w(G) e v não é vértice de corte de G.

36 () Contradição! () d(v) >1,
Teorema: Um vértice v de uma árvore G é um vértice de corte se e somente se d(v) > 1 () Contradição! () d(v) >1, w u v

37 uvw é o único caminho-(u,v) em G,
Teorema: Um vértice v de uma árvore G é um vértice de corte se e somente se d(v) > 1 () Contradição! () d(v) >1, uvw é o único caminho-(u,v) em G, w u v

38 uvw é o único caminho-(u,v) em G, logo w(G-v) >w(G)=1.
Teorema: Um vértice v de uma árvore G é um vértice de corte se e somente se d(v) > 1 () Contradição! () d(v) >1, uvw é o único caminho-(u,v) em G, logo w(G-v) >w(G)=1. w u v

39 uvw é o único caminho-(u,v) em G,
Teorema: Um vértice v de uma árvore G é um vértice de corte se e somente se d(v) > 1 () Contradição! () d(v) >1, uvw é o único caminho-(u,v) em G, logo w(G-v) >w(G)=1. Então, v é um vértice de corte de G w u v

40 Corolário: Todo grafo conexo sem loop e não trivial tem pelo menos 2 vértices que não são vértices de corte

41 G contém uma árvore geradora T.
Corolário: Todo grafo conexo sem loop e não trivial tem pelo menos 2 vértices que não são vértices de corte G contém uma árvore geradora T. T contém pelo menos dois vérties de grau 1 (e que não são vértices de corte) Seja v qualquer um desses vértices w(T-v)=1 Como T é uma árvore geradora de G, T-v é um subgrafo gerador de G-v e portanto w(G-v)  w(T-v). Logo, w(G-v)=1, e que v não é um vértice de corte de G

42 G contém uma árvore geradora T.
Corolário: Todo grafo conexo sem loop e não trivial tem pelo menos 2 vértices que não são vértices de corte G contém uma árvore geradora T. T contém pelo menos dois vérties de grau 1 (e que não são vértices de corte) eja v qualquer um desses vértices w(T-v)=1 Como T é uma árvore geradora de G, T-v é um subgrafo gerador de G-v e portanto w(G-v)  w(T-v). Logo, w(G-v)=1, e que v não é um vértice de corte de G

43 G contém uma árvore geradora T.
Corolário: Todo grafo conexo sem loop e não trivial tem pelo menos 2 vértices que não são vértices de corte G contém uma árvore geradora T. T contém pelo menos dois vérties de grau 1 (e que não são vértices de corte) Seja v qualquer um desses vértices w(T-v)=1 Como T é uma árvore geradora de G, T-v é um subgrafo gerador de G-v e portanto w(G-v)  w(T-v). Logo, w(G-v)=1, e que v não é um vértice de corte de G

44 G contém uma árvore geradora T.
Corolário: Todo grafo conexo sem loop e não trivial tem pelo menos 2 vértices que não são vértices de corte G contém uma árvore geradora T. T contém pelo menos dois vérties de grau 1 (e que não são vértices de corte) Seja v qualquer um desses vértices w(T-v)=1 Como T é uma árvore geradora de G, T-v é um subgrafo gerador de G-v e portanto w(G-v)  w(T-v). Logo, w(G-v)=1, e que v não é um vértice de corte de G

45 G contém uma árvore geradora T.
Corolário: Todo grafo conexo sem loop e não trivial tem pelo menos 2 vértices que não são vértices de corte G contém uma árvore geradora T. T contém pelo menos dois vérties de grau 1 (e que não são vértices de corte) Seja v qualquer um desses vértices w(T-v)=1 Como T é uma árvore geradora de G, T-v é um subgrafo gerador de G-v e portanto w(G-v)  w(T-v). Logo, w(G-v)=1, e que v não é um vértice de corte de G

46 G contém uma árvore geradora T.
Corolário: Todo grafo conexo sem loop e não trivial tem pelo menos 2 vértices que não são vértices de corte G contém uma árvore geradora T. T contém pelo menos dois vérties de grau 1 (e que não são vértices de corte) Seja v qualquer um desses vértices w(T-v)=1 Como T é uma árvore geradora de G, T-v é um subgrafo gerador de G-v e portanto w(G-v)  w(T-v). Logo, w(G-v)=1, e que v não é um vértice de corte de G

47 G contém uma árvore geradora T.
Corolário: Todo grafo conexo sem loop e não trivial tem pelo menos 2 vértices que não são vértices de corte G contém uma árvore geradora T. T contém pelo menos dois vérties de grau 1 (e que não são vértices de corte) Seja v qualquer um desses vértices w(T-v)=1 Como T é uma árvore geradora de G, T-v é um subgrafo gerador de G-v e portanto w(G-v)  w(T-v). Logo, w(G-v)=1, e v não é um vértice de corte de G

48 Fórmula de Cayley

49 Fórmula de Cayley # de árvores geradoras de um grafo

50 Fórmula de Cayley # de árvores geradoras de um grafo
Contração de arestas

51 Fórmula de Cayley # de árvores geradoras de um grafo
Contração de arestas Uma aresta de G é dita contraída se é apagada do grafo e seus extremos são identificados; o grafo resultante é denotado por G.e

52 Fórmula de Cayley # de árvores geradoras de um grafo
Contração de arestas Uma aresta de G é dita contraída se é apagada do grafo e seus extremos são identificados; o grafo resultante é denotado por G.e G b c e a d

53 Fórmula de Cayley # de árvores geradoras de um grafo
Contração de arestas Uma aresta de G é dita contraída se é apagada do grafo e seus extremos são identificados; o grafo resultante é denotado por G.e G b c e G.e a d

54 Fórmula de Cayley # de árvores geradoras de um grafo
Contração de arestas Uma aresta de G é dita contraída se é apagada do grafo e seus extremos são identificados; o grafo resultante é denotado por G.e G.e G b c c e a d a d

55 Fórmula de Cayley # de árvores geradoras de um grafo
Contração de arestas Uma aresta de G é dita contraída se é apagada do grafo e seus extremos são identificados; o grafo resultante é denotado por G.e Se e é um link n(G.e) =n(G)-1 m(G.e)= m(G) W(G.e)=w(G) G.e G b c c e a d a d

56 Fórmula de Cayley # de árvores geradoras de um grafo
Contração de arestas Uma aresta de G é dita contraída se é apagada do grafo e seus extremos são identificados; o grafo resultante é denotado por G.e Se e é um link n(G.e) =n(G)-1 m(G.e)= m(G) W(G.e)=w(G) G.e G b c c e a d a d

57 Fórmula de Cayley # de árvores geradoras de um grafo
Contração de arestas Uma aresta de G é dita contraída se é apagada do grafo e seus extremos são identificados; o grafo resultante é denotado por G.e Se e é um link n(G.e) =n(G)-1 m(G.e)= m(G) G.e G b c c e a d a d

58 Fórmula de Cayley # de árvores geradoras de um grafo
Contração de arestas Uma aresta de G é dita contraída se é apagada do grafo e seus extremos são identificados; o grafo resultante é denotado por G.e Se e é um link n(G.e) =n(G)-1 m(G.e)= m(G) w(G.e)=w(G) G.e G b c c e a d a d

59 Fórmula de Cayley # de árvores geradoras de um grafo
Contração de arestas Uma aresta de G é dita contraída se é apagada do grafo e seus extremos são identificados; o grafo resultante é denotado por G.e Se T é uma árvore T.e é uma árvore G.e G b c c e a d a d

60 Teorema: Se e é um link de G, então (G)= (G-e) + (G.e)

61 Teorema: Se e é um link de G, então (G)= (G-e) + (G.e)
(G): o número de árvores geradoras de G

62 Teorema: Se e é um link de G, então (G)= (G-e) + (G.e)
(G): o número de árvores geradoras de G Idéia: # de árvore geradoras contendo e # de árvores geradoras sem e

63 Cálculo recursivo de (G)
b c e a d

64 Cálculo recursivo de (G)
b c b c e = a a d d

65 Cálculo recursivo de (G)
b c b c c e = + = a a a b=d d d

66 Cálculo recursivo de (G)
b c b c c e = + = a a a b=d d d b=c b c + a a d d

67 Cálculo recursivo de (G)
b a c d e = + b=c b=d b=d=c

68 Teorema: (Kn)= nn-2

69 Teorema: (Kn)= nn-2 Seja N={1,2,..., n}=V(Kn)

70 Teorema: (Kn)= nn-2 Seja N={1,2,..., n}=V(Kn)
nn-2 é o número de sequências de comprimento n-2 que podem ser formadas a partir de N

71 Teorema: (Kn)= nn-2 Seja N={1,2,..., n}=V(Kn)
nn-2 é o número de sequências de comprimento n-2 que podem ser formadas a partir de N É suficiente mostrar que existe uma correspondência de um para um entre o conjunto de árvores geradoras de Kn e este conjunto de sequências.

72 Teorema: (Kn)= nn-2 A cada árvore geradora T de Kn, associamos uma sequência única (t1, t2,...,tn-2) como segue: Ordene N, seja s1 o 1º vértice de grau 1 em T; o vértice adjacente a s1 é tomado como t1; Apague s1 de T; Denote por s2 o 1º vértice de grau 1 em T-s1; o vértice adjacente a s2 é t2; Repita esta operação até determinar tn-2 e até que o grafo resultante seja uma aresta.

73 Teorema: (Kn)= nn-2 A cada árvore geradora T de Kn, associamos uma sequência única (t1, t2,...,tn-2) como segue: Ordene N, seja s1 o 1º vértice de grau 1 em T; o vértice adjacente a s1 é tomado como t1; pague s1 de T; Denote por s2 o 1º vértice de grau 1 em T-s1; o vértice adjacente a s2 é t2; Repita esta operação até determinar tn-2 e até que o grafo resultante seja uma aresta.

74 Teorema: (Kn)= nn-2 A cada árvore geradora T de Kn, associamos uma sequência única (t1, t2,...,tn-2) como segue: Ordene N, seja s1 o 1º vértice de grau 1 em T; o vértice adjacente a s1 é tomado como t1; Apague s1 de T; Denote por s2 o 1º vértice de grau 1 em T-s1; o vértice adjacente a s2 é t2; Repita esta operação até determinar tn-2 e até que o grafo resultante seja uma aresta.

75 Teorema: (Kn)= nn-2 A cada árvore geradora T de Kn, associamos uma sequência única (t1, t2,...,tn-2) como segue: Ordene N, seja s1 o 1º vértice de grau 1 em T; o vértice adjacente a s1 é tomado como t1; Apague s1 de T; Denote por s2 o 1º vértice de grau 1 em T-s1; o vértice adjacente a s2 é t2; epita esta operação até determinar tn-2 e até que o grafo resultante seja uma aresta.

76 Teorema: (Kn)= nn-2 A cada árvore geradora T de Kn, associamos uma sequência única (t1, t2,...,tn-2) como segue: Ordene N, seja s1 o 1º vértice de grau 1 em T; o vértice adjacente a s1 é tomado como t1; Apague s1 de T; Denote por s2 o 1º vértice de grau 1 em T-s1; o vértice adjacente a s2 é t2; Repita esta operação até determinar tn-2 e até que o grafo resultante seja uma árvore com dois vértices

77 Teorema: (Kn)= nn-2 1 5 (4,3,5,3,4,5) 2 3 4 6 7 8

78 Teorema: (Kn)= nn-2 (4,3,5,3,4,5) Diferentes árvores geradoras de Kn
1 5 (4,3,5,3,4,5) 2 3 4 6 7 8 Diferentes árvores geradoras de Kn geram diferentes sequências

79 Teorema: (Kn)= nn-2 Qualquer vértice v de T ocorre dT(v)-1 vezes em (t1,...,tn-2) Os vértices de grau 1 são aqueles que não aparecem nesta sequência Seja s1 o 1º vértice de N  (t1,...,tn-2) Una s1 a t1 Seja s2 o 1º vértice de N\{s1}  (t2,...,tn-2) Una s2 a t2 Continua até obter um grafo com n-2 arestas Adicione a aresta unindo os 2 vértices de N\{s1, ...,sn-2} Diferentes sequências produzem diferentes árvores!!

80 Teorema: (Kn)= nn-2 Qualquer vértice v de T ocorre dT(v)-1 vezes em (t1,...,tn-2) Os vértices de grau 1 são aqueles que não aparecem nesta sequência Seja s1 o 1º vértice de N  (t1,...,tn-2) Una s1 a t1 Seja s2 o 1º vértice de N\{s1}  (t2,...,tn-2) Una s2 a t2 Continua até obter um grafo com n-2 arestas Adicione a aresta unindo os 2 vértices de N\{s1, ...,sn-2} Diferentes sequências produzem diferentes árvores!!

81 Teorema: (Kn)= nn-2 Qualquer vértice v de T ocorre dT(v)-1 vezes em (t1,...,tn-2) Os vértices de grau 1 são aqueles que não aparecem nesta sequência Seja s1 o 1º vértice de N  (t1,...,tn-2) Una s1 a t1 Seja s2 o 1º vértice de N\{s1}  (t2,...,tn-2) Una s2 a t2 Continua até obter um grafo com n-2 arestas Adicione a aresta unindo os 2 vértices de N\{s1, ...,sn-2} Diferentes sequências produzem diferentes árvores!!

82 Teorema: (Kn)= nn-2 Qualquer vértice v de T ocorre dT(v)-1 vezes em (t1,...,tn-2) Os vértices de grau 1 são aqueles que não aparecem nesta sequência Seja s1 o 1º vértice de N  (t1,...,tn-2) Una s1 a t1 Seja s2 o 1º vértice de N\{s1}  (t2,...,tn-2) Una s2 a t2 Continua até obter um grafo com n-2 arestas Adicione a aresta unindo os 2 vértices de N\{s1, ...,sn-2} Diferentes sequências produzem diferentes árvores!!

83 Teorema: (Kn)= nn-2 Qualquer vértice v de T ocorre dT(v)-1 vezes em (t1,...,tn-2) Os vértices de grau 1 são aqueles que não aparecem nesta sequência Seja s1 o 1º vértice de N  (t1,...,tn-2) Una s1 a t1 Seja s2 o 1º vértice de N\{s1}  (t2,...,tn-2) Una s2 a t2 Continua até obter um grafo com n-2 arestas Adicione a aresta unindo os 2 vértices de N\{s1, ...,sn-2} Diferentes sequências produzem diferentes árvores!!

84 Teorema: (Kn)= nn-2 Qualquer vértice v de T ocorre dT(v)-1 vezes em (t1,...,tn-2) Os vértices de grau 1 são aqueles que não aparecem nesta sequência Seja s1 o 1º vértice de N  (t1,...,tn-2) Una s1 a t1 Seja s2 o 1º vértice de N\{s1}  (t2,...,tn-2) Una s2 a t2 Continua até obter um grafo com n-2 arestas Adicione a aresta unindo os 2 vértices de N\{s1, ...,sn-2} Diferentes sequências produzem diferentes árvores!!

85 Teorema: (Kn)= nn-2 Qualquer vértice v de T ocorre dT(v)-1 vezes em (t1,...,tn-2) Os vértices de grau 1 são aqueles que não aparecem nesta sequência Seja s1 o 1º vértice de N  (t1,...,tn-2) Una s1 a t1 Seja s2 o 1º vértice de N\{s1}  (t2,...,tn-2) Una s2 a t2 Continua até obter um grafo com n-2 arestas Adicione a aresta unindo os 2 vértices de N\{s1, ...,sn-2} Diferentes sequências produzem diferentes árvores!!

86 Teorema: (Kn)= nn-2 Qualquer vértice v de T ocorre dT(v)-1 vezes em (t1,...,tn-2) Os vértices de grau 1 são aqueles que não aparecem nesta sequência Seja s1 o 1º vértice de N  (t1,...,tn-2) Una s1 a t1 Seja s2 o 1º vértice de N\{s1}  (t2,...,tn-2) Una s2 a t2 Continua até obter um grafo com n-2 arestas Adicione a aresta unindo os 2 vértices de N\{s1, ...,sn-2} Diferentes sequências produzem diferentes árvores!!

87 Teorema: (Kn)= nn-2 Qualquer vértice v de T ocorre dT(v)-1 vezes em (t1,...,tn-2) Os vértices de grau 1 são aqueles que não aparecem nesta sequência Seja s1 o 1º vértice de N  (t1,...,tn-2) Una s1 a t1 Seja s2 o 1º vértice de N\{s1}  (t2,...,tn-2) Una s2 a t2 Continua até obter um grafo com n-2 arestas Adicione a aresta unindo os 2 vértices de N\{s1, ...,sn-2} Diferentes sequências produzem diferentes árvores!!

88 Usando a fórmula do teorema, calcule o número de árvores geradoras em K3,3