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Teoria dos Grafos Loana Tito Nogueira. Corte por Aresta Para subconjuntos S e S de V, denotamos por [S, S´] o conjunto de arestas com um extremo em S.

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1 Teoria dos Grafos Loana Tito Nogueira

2 Corte por Aresta Para subconjuntos S e S de V, denotamos por [S, S´] o conjunto de arestas com um extremo em S e outro em S´

3 Corte por Aresta Para subconjuntos S e S de V, denotamos por [S, S´] o conjunto de arestas com um extremo em S e outro em S´ Um corte por aresta é um subconjunto de E da forma[S, S´], onde S é um subconjunto não vazio e próprio de V e S´=V\S

4 Bond Um corte por aresta minimal de G é chamado bond.

5 Bond Um corte por aresta minimal de G é chamado bond. Se G é conexo, então um bond B de G é um subconjunto minimal de E tal que G-B é desconexo.

6 Exemplo: G

7 G b a

8 G b a É um corte por aresta!

9 Exemplo: G b a Mas não é minimal!!!

10 Exemplo: G b a

11 G b a Também não é minimal!!!

12 Exemplo: G b a É um bond

13 Vértice de Corte

14 Um vértice de G é um vértice de corte se E pode ser particionado em 2 subconjuntos não vazios E 1 e E 2 tais que G[E 1 ], e G[E 2 ] possuem um vértice em comum.

15 Vértice de Corte Um vértice de G é um vértice de corte se E pode ser particionado em 2 subconjuntos não vazios E 1 e E 2 tais que G[E 1 ], e G[E 2 ] possuem um vértice em comum. Ex.:

16 Vértice de Corte Um vértice de G é um vértice de corte se E pode ser particionado em 2 subconjuntos não vazios E 1 e E 2 tais que G[E 1 ], e G[E 2 ] possuem um vértice em comum. Ex.:

17 Vértice de Corte Um vértice de G é um vértice de corte se E pode ser particionado em 2 subconjuntos não vazios E 1 e E 2 tais que G[E 1 ], e G[E 2 ] possuem um vértice em comum. Ex.:

18 Vértice de Corte Um vértice de G é um vértice de corte se E pode ser particionado em 2 subconjuntos não vazios E 1 e E 2 tais que G[E 1 ], e G[E 2 ] possuem um vértice em comum. Ex.:

19 Vértice de Corte Um vértice de G é um vértice de corte se E pode ser particionado em 2 subconjuntos não vazios E 1 e E 2 tais que G[E 1 ], e G[E 2 ] possuem um vértice em comum. Ex.:

20 Vértice de Corte Um vértice de G é um vértice de corte se E pode ser particionado em 2 subconjuntos não vazios E 1 e E 2 tais que G[E 1 ], e G[E 2 ] possuem um vértice em comum. Ex.:

21 Vértice de Corte Um vértice de G é um vértice de corte se E pode ser particionado em 2 subconjuntos não vazios E 1 e E 2 tais que G[E 1 ], e G[E 2 ] possuem um vértice em comum. Ex.:

22 Vértice de Corte Um vértice de G é um vértice de corte se E pode ser particionado em 2 subconjuntos não vazios E 1 e E 2 tais que G[E 1 ], e G[E 2 ] possuem um vértice em comum. Ex.:

23 Vértice de Corte Um vértice de G é um vértice de corte se E pode ser particionado em 2 subconjuntos não vazios E 1 e E 2 tais que G[E 1 ], e G[E 2 ] possuem um vértice em comum. Se G não possui loops e é um grafo não trivial, então v é um vértice de corte se e somente se w(G-v) > w(G).

24 Vértice de Corte Um vértice de G é um vértice de corte se E pode ser particionado em 2 subconjuntos não vazios E 1 e E 2 tais que G[E 1 ], e G[E 2 ] possuem um vértice em comum. Se G não possui loops e é um grafo não trivial, então v é um vértice de corte se e somente se w(G-v) > w(G).

25 Teorema: Um vértice v de uma árvore G é um vértice de corte se e somente se d(v) > 1

26 ( ) Contradição!

27 Teorema: Um vértice v de uma árvore G é um vértice de corte se e somente se d(v) > 1 ( ) Contradição! d(v)=0

28 Teorema: Um vértice v de uma árvore G é um vértice de corte se e somente se d(v) > 1 ( ) Contradição! d(v)=0, G K 1

29 Teorema: Um vértice v de uma árvore G é um vértice de corte se e somente se d(v) > 1 ( ) Contradição! d(v)=0, G K 1, v não é vértice de corte.

30 Teorema: Um vértice v de uma árvore G é um vértice de corte se e somente se d(v) > 1 ( ) Contradição! d(v)=0, G K 1, v não é vértice de corte. d(v)=1

31 Teorema: Um vértice v de uma árvore G é um vértice de corte se e somente se d(v) > 1 ( ) Contradição! d(v)=0, G K 1, v não é vértice de corte. d(v)=1, G-v é um grafo acíclico com n(G-v)-1 arestas

32 Teorema: Um vértice v de uma árvore G é um vértice de corte se e somente se d(v) > 1 ( ) Contradição! d(v)=0, G K 1, v não é vértice de corte. d(v)=1, G-v é um grafo acíclico com n(G-v)-1 arestas, e logo uma árvore. Portanto w(G-v)=w(G) e v não é vértice de corte de G.

33 Teorema: Um vértice v de uma árvore G é um vértice de corte se e somente se d(v) > 1 ( ) Contradição! d(v)=0, G K 1, v não é vértice de corte. d(v)=1, G-v é um grafo acíclico com n(G-v)-1 arestas, e logo uma árvore.

34 Teorema: Um vértice v de uma árvore G é um vértice de corte se e somente se d(v) > 1 ( ) Contradição! d(v)=0, G K 1, v não é vértice de corte. d(v)=1, G-v é um grafo acíclico com n(G-v)-1 arestas, e logo uma árvore. Portanto w(G-v)=w(G)

35 Teorema: Um vértice v de uma árvore G é um vértice de corte se e somente se d(v) > 1 ( ) Contradição! d(v)=0, G K 1, v não é vértice de corte. d(v)=1, G-v é um grafo acíclico com n(G-v)-1 arestas, e logo uma árvore. Portanto w(G-v)=w(G) e v não é vértice de corte de G.

36 Teorema: Um vértice v de uma árvore G é um vértice de corte se e somente se d(v) > 1 ( ) Contradição! ( ) d(v) >1, v w u

37 Teorema: Um vértice v de uma árvore G é um vértice de corte se e somente se d(v) > 1 ( ) Contradição! ( ) d(v) >1, uvw é o único caminho-(u,v) em G, v w u

38 Teorema: Um vértice v de uma árvore G é um vértice de corte se e somente se d(v) > 1 ( ) Contradição! ( ) d(v) >1, uvw é o único caminho-(u,v) em G, logo w(G-v) >w(G)=1. v w u

39 Teorema: Um vértice v de uma árvore G é um vértice de corte se e somente se d(v) > 1 ( ) Contradição! ( ) d(v) >1, uvw é o único caminho-(u,v) em G, logo w(G-v) >w(G)=1. Então, v é um vértice de corte de G v w u

40 Corolário: Todo grafo conexo sem loop e não trivial tem pelo menos 2 vértices que não são vértices de corte

41 G contém uma árvore geradora T. T contém pelo menos dois vérties de grau 1 (e que não são vértices de corte) Seja v qualquer um desses vértices w(T-v)=1 Como T é uma árvore geradora de G, T-v é um subgrafo gerador de G-v e portanto w(G-v) w(T-v). Logo, w(G-v)=1, e que v não é um vértice de corte de G

42 Corolário: Todo grafo conexo sem loop e não trivial tem pelo menos 2 vértices que não são vértices de corte G contém uma árvore geradora T. T contém pelo menos dois vérties de grau 1 (e que não são vértices de corte) eja v qualquer um desses vértices w(T-v)=1 Como T é uma árvore geradora de G, T-v é um subgrafo gerador de G-v e portanto w(G-v) w(T-v). Logo, w(G-v)=1, e que v não é um vértice de corte de G

43 Corolário: Todo grafo conexo sem loop e não trivial tem pelo menos 2 vértices que não são vértices de corte G contém uma árvore geradora T. T contém pelo menos dois vérties de grau 1 (e que não são vértices de corte) Seja v qualquer um desses vértices w(T-v)=1 Como T é uma árvore geradora de G, T-v é um subgrafo gerador de G-v e portanto w(G-v) w(T-v). Logo, w(G-v)=1, e que v não é um vértice de corte de G

44 Corolário: Todo grafo conexo sem loop e não trivial tem pelo menos 2 vértices que não são vértices de corte G contém uma árvore geradora T. T contém pelo menos dois vérties de grau 1 (e que não são vértices de corte) Seja v qualquer um desses vértices w(T-v)=1 Como T é uma árvore geradora de G, T-v é um subgrafo gerador de G-v e portanto w(G-v) w(T-v). Logo, w(G-v)=1, e que v não é um vértice de corte de G

45 Corolário: Todo grafo conexo sem loop e não trivial tem pelo menos 2 vértices que não são vértices de corte G contém uma árvore geradora T. T contém pelo menos dois vérties de grau 1 (e que não são vértices de corte) Seja v qualquer um desses vértices w(T-v)=1 Como T é uma árvore geradora de G, T-v é um subgrafo gerador de G-v e portanto w(G-v) w(T-v). Logo, w(G-v)=1, e que v não é um vértice de corte de G

46 Corolário: Todo grafo conexo sem loop e não trivial tem pelo menos 2 vértices que não são vértices de corte G contém uma árvore geradora T. T contém pelo menos dois vérties de grau 1 (e que não são vértices de corte) Seja v qualquer um desses vértices w(T-v)=1 Como T é uma árvore geradora de G, T-v é um subgrafo gerador de G-v e portanto w(G-v) w(T-v). Logo, w(G-v)=1, e que v não é um vértice de corte de G

47 Corolário: Todo grafo conexo sem loop e não trivial tem pelo menos 2 vértices que não são vértices de corte G contém uma árvore geradora T. T contém pelo menos dois vérties de grau 1 (e que não são vértices de corte) Seja v qualquer um desses vértices w(T-v)=1 Como T é uma árvore geradora de G, T-v é um subgrafo gerador de G-v e portanto w(G-v) w(T-v). Logo, w(G-v)=1, e v não é um vértice de corte de G

48 Fórmula de Cayley

49 # de árvores geradoras de um grafo

50 Fórmula de Cayley # de árvores geradoras de um grafo Contração de arestas

51 Fórmula de Cayley # de árvores geradoras de um grafo Contração de arestas Uma aresta de G é dita contraída se é apagada do grafo e seus extremos são identificados; o grafo resultante é denotado por G.e

52 Fórmula de Cayley # de árvores geradoras de um grafo Contração de arestas Uma aresta de G é dita contraída se é apagada do grafo e seus extremos são identificados; o grafo resultante é denotado por G.e G b a c d e

53 Fórmula de Cayley # de árvores geradoras de um grafo Contração de arestas Uma aresta de G é dita contraída se é apagada do grafo e seus extremos são identificados; o grafo resultante é denotado por G.e G b a c d e G.e

54 Fórmula de Cayley # de árvores geradoras de um grafo Contração de arestas Uma aresta de G é dita contraída se é apagada do grafo e seus extremos são identificados; o grafo resultante é denotado por G.e G b a c d e G.e a c d

55 Fórmula de Cayley # de árvores geradoras de um grafo Contração de arestas Uma aresta de G é dita contraída se é apagada do grafo e seus extremos são identificados; o grafo resultante é denotado por G.e G b a c d e G.e a c d Se e é um link n(G.e) =n(G)-1 m(G.e)= m(G) W(G.e)=w(G)

56 Fórmula de Cayley # de árvores geradoras de um grafo Contração de arestas Uma aresta de G é dita contraída se é apagada do grafo e seus extremos são identificados; o grafo resultante é denotado por G.e G b a c d e G.e a c d Se e é um link n(G.e) =n(G)-1 m(G.e)= m(G) W(G.e)=w(G)

57 Fórmula de Cayley # de árvores geradoras de um grafo Contração de arestas Uma aresta de G é dita contraída se é apagada do grafo e seus extremos são identificados; o grafo resultante é denotado por G.e G b a c d e G.e a c d Se e é um link n(G.e) =n(G)-1 m(G.e)= m(G)

58 Fórmula de Cayley # de árvores geradoras de um grafo Contração de arestas Uma aresta de G é dita contraída se é apagada do grafo e seus extremos são identificados; o grafo resultante é denotado por G.e G b a c d e G.e a c d Se e é um link n(G.e) =n(G)-1 m(G.e)= m(G) w(G.e)=w(G)

59 Fórmula de Cayley # de árvores geradoras de um grafo Contração de arestas Uma aresta de G é dita contraída se é apagada do grafo e seus extremos são identificados; o grafo resultante é denotado por G.e G b a c d e G.e a c d Se T é uma árvore T.e é uma árvore

60 Teorema: Se e é um link de G, então (G)= (G-e) + (G.e)

61 (G): o número de árvores geradoras de G

62 Teorema: Se e é um link de G, então (G)= (G-e) + (G.e) (G): o número de árvores geradoras de G Idéia: # de árvore geradoras contendo e # de árvores geradoras sem e

63 Cálculo recursivo de (G) b a c d e

64 b a c d e = b a c d

65 b a c d e = b a c d + a = c b=d

66 Cálculo recursivo de (G) b a c d e = b a c d + a = b a c d + a d b=c c b=d

67 Cálculo recursivo de (G) b a c d e = b a c d + a = b a c d + a d b=c + a c b=d c + a b=d=c

68 Teorema: (K n )= n n-2

69 Seja N={1,2,..., n}=V(K n ) Teorema: (K n )= n n-2

70 Seja N={1,2,..., n}=V(K n ) n n-2 é o número de sequências de comprimento n-2 que podem ser formadas a partir de N Teorema: (K n )= n n-2

71 Seja N={1,2,..., n}=V(K n ) n n-2 é o número de sequências de comprimento n-2 que podem ser formadas a partir de N É suficiente mostrar que existe uma correspondência de um para um entre o conjunto de árvores geradoras de K n e este conjunto de sequências. Teorema: (K n )= n n-2

72 A cada árvore geradora T de K n, associamos uma sequência única (t 1, t 2,...,t n-2 ) como segue: Ordene N, seja s 1 o 1º vértice de grau 1 em T; o vértice adjacente a s 1 é tomado como t 1; Apague s 1 de T; Denote por s 2 o 1º vértice de grau 1 em T-s 1 ; o vértice adjacente a s 2 é t 2 ; Repita esta operação até determinar t n-2 e até que o grafo resultante seja uma aresta. Teorema: (K n )= n n-2

73 A cada árvore geradora T de K n, associamos uma sequência única (t 1, t 2,...,t n-2 ) como segue: Ordene N, seja s 1 o 1º vértice de grau 1 em T; o vértice adjacente a s 1 é tomado como t 1; pague s 1 de T; Denote por s 2 o 1º vértice de grau 1 em T-s 1 ; o vértice adjacente a s 2 é t 2 ; Repita esta operação até determinar t n-2 e até que o grafo resultante seja uma aresta. Teorema: (K n )= n n-2

74 A cada árvore geradora T de K n, associamos uma sequência única (t 1, t 2,...,t n-2 ) como segue: Ordene N, seja s 1 o 1º vértice de grau 1 em T; o vértice adjacente a s 1 é tomado como t 1; Apague s 1 de T; Denote por s 2 o 1º vértice de grau 1 em T-s 1 ; o vértice adjacente a s 2 é t 2 ; Repita esta operação até determinar t n-2 e até que o grafo resultante seja uma aresta. Teorema: (K n )= n n-2

75 A cada árvore geradora T de K n, associamos uma sequência única (t 1, t 2,...,t n-2 ) como segue: Ordene N, seja s 1 o 1º vértice de grau 1 em T; o vértice adjacente a s 1 é tomado como t 1; Apague s 1 de T; Denote por s 2 o 1º vértice de grau 1 em T-s 1 ; o vértice adjacente a s 2 é t 2 ; epita esta operação até determinar t n-2 e até que o grafo resultante seja uma aresta. Teorema: (K n )= n n-2

76 A cada árvore geradora T de K n, associamos uma sequência única (t 1, t 2,...,t n-2 ) como segue: Ordene N, seja s 1 o 1º vértice de grau 1 em T; o vértice adjacente a s 1 é tomado como t 1; Apague s 1 de T; Denote por s 2 o 1º vértice de grau 1 em T-s 1 ; o vértice adjacente a s 2 é t 2 ; Repita esta operação até determinar t n-2 e até que o grafo resultante seja uma árvore com dois vértices Teorema: (K n )= n n-2

77 (4,3,5,3,4,5) 5

78 8 Teorema: (K n )= n n (4,3,5,3,4,5) Diferentes árvores geradoras de K n geram diferentes sequências 5

79 Teorema: (K n )= n n-2 Qualquer vértice v de T ocorre d T (v)-1 vezes em (t 1,...,t n-2 ) Os vértices de grau 1 são aqueles que não aparecem nesta sequência Seja s 1 o 1º vértice de N (t 1,...,t n-2 ) Una s 1 a t 1 Seja s 2 o 1º vértice de N\{s 1 } (t 2,...,t n-2 ) Una s 2 a t 2 Continua até obter um grafo com n-2 arestas Adicione a aresta unindo os 2 vértices de N\{s 1,...,s n-2 } Diferentes sequências produzem diferentes árvores!!

80 Teorema: (K n )= n n-2 Qualquer vértice v de T ocorre d T (v)-1 vezes em (t 1,...,t n-2 ) Os vértices de grau 1 são aqueles que não aparecem nesta sequência Seja s 1 o 1º vértice de N (t 1,...,t n-2 ) Una s 1 a t 1 Seja s 2 o 1º vértice de N\{s 1 } (t 2,...,t n-2 ) Una s 2 a t 2 Continua até obter um grafo com n-2 arestas Adicione a aresta unindo os 2 vértices de N\{s 1,...,s n-2 } Diferentes sequências produzem diferentes árvores!!

81 Teorema: (K n )= n n-2 Qualquer vértice v de T ocorre d T (v)-1 vezes em (t 1,...,t n-2 ) Os vértices de grau 1 são aqueles que não aparecem nesta sequência Seja s 1 o 1º vértice de N (t 1,...,t n-2 ) Una s 1 a t 1 Seja s 2 o 1º vértice de N\{s 1 } (t 2,...,t n-2 ) Una s 2 a t 2 Continua até obter um grafo com n-2 arestas Adicione a aresta unindo os 2 vértices de N\{s 1,...,s n-2 } Diferentes sequências produzem diferentes árvores!!

82 Teorema: (K n )= n n-2 Qualquer vértice v de T ocorre d T (v)-1 vezes em (t 1,...,t n-2 ) Os vértices de grau 1 são aqueles que não aparecem nesta sequência Seja s 1 o 1º vértice de N (t 1,...,t n-2 ) Una s 1 a t 1 Seja s 2 o 1º vértice de N\{s 1 } (t 2,...,t n-2 ) Una s 2 a t 2 Continua até obter um grafo com n-2 arestas Adicione a aresta unindo os 2 vértices de N\{s 1,...,s n-2 } Diferentes sequências produzem diferentes árvores!!

83 Teorema: (K n )= n n-2 Qualquer vértice v de T ocorre d T (v)-1 vezes em (t 1,...,t n-2 ) Os vértices de grau 1 são aqueles que não aparecem nesta sequência Seja s 1 o 1º vértice de N (t 1,...,t n-2 ) Una s 1 a t 1 Seja s 2 o 1º vértice de N\{s 1 } (t 2,...,t n-2 ) Una s 2 a t 2 Continua até obter um grafo com n-2 arestas Adicione a aresta unindo os 2 vértices de N\{s 1,...,s n-2 } Diferentes sequências produzem diferentes árvores!!

84 Teorema: (K n )= n n-2 Qualquer vértice v de T ocorre d T (v)-1 vezes em (t 1,...,t n-2 ) Os vértices de grau 1 são aqueles que não aparecem nesta sequência Seja s 1 o 1º vértice de N (t 1,...,t n-2 ) Una s 1 a t 1 Seja s 2 o 1º vértice de N\{s 1 } (t 2,...,t n-2 ) Una s 2 a t 2 Continua até obter um grafo com n-2 arestas Adicione a aresta unindo os 2 vértices de N\{s 1,...,s n-2 } Diferentes sequências produzem diferentes árvores!!

85 Teorema: (K n )= n n-2 Qualquer vértice v de T ocorre d T (v)-1 vezes em (t 1,...,t n-2 ) Os vértices de grau 1 são aqueles que não aparecem nesta sequência Seja s 1 o 1º vértice de N (t 1,...,t n-2 ) Una s 1 a t 1 Seja s 2 o 1º vértice de N\{s 1 } (t 2,...,t n-2 ) Una s 2 a t 2 Continua até obter um grafo com n-2 arestas Adicione a aresta unindo os 2 vértices de N\{s 1,...,s n-2 } Diferentes sequências produzem diferentes árvores!!

86 Teorema: (K n )= n n-2 Qualquer vértice v de T ocorre d T (v)-1 vezes em (t 1,...,t n-2 ) Os vértices de grau 1 são aqueles que não aparecem nesta sequência Seja s 1 o 1º vértice de N (t 1,...,t n-2 ) Una s 1 a t 1 Seja s 2 o 1º vértice de N\{s 1 } (t 2,...,t n-2 ) Una s 2 a t 2 Continua até obter um grafo com n-2 arestas Adicione a aresta unindo os 2 vértices de N\{s 1,...,s n-2 } Diferentes sequências produzem diferentes árvores!!

87 Teorema: (K n )= n n-2 Qualquer vértice v de T ocorre d T (v)-1 vezes em (t 1,...,t n-2 ) Os vértices de grau 1 são aqueles que não aparecem nesta sequência Seja s 1 o 1º vértice de N (t 1,...,t n-2 ) Una s 1 a t 1 Seja s 2 o 1º vértice de N\{s 1 } (t 2,...,t n-2 ) Una s 2 a t 2 Continua até obter um grafo com n-2 arestas Adicione a aresta unindo os 2 vértices de N\{s 1,...,s n-2 } Diferentes sequências produzem diferentes árvores!!

88 Usando a fórmula do teorema, calcule o número de árvores geradoras em K 3,3


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