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Grafos eulerianos. Linha de Euler Em que tipo de grafo é possível achar um ciclo que passe por cada aresta exatamente uma vez? Esse ciclo linha de Euler.

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1 Grafos eulerianos

2 Linha de Euler Em que tipo de grafo é possível achar um ciclo que passe por cada aresta exatamente uma vez? Esse ciclo linha de Euler O grafo que consiste nesta linha: grafo euleriano Um grafo euleriano é sempre conexo, a menos de vértices isolados.

3 Teorema Um grafo conexo G é um grafo euleriano sss todos os vértices de G são de grau par

4 Teorema Um grafo conexo G é um grafo euleriano sss ele pode ser decomposto em ciclos

5 Pontes Seja (G) o número de componentes conexas de G. Uma ponte é uma aresta a tal que (G - a) > (G)

6 CC/EC/MestradoTeoria dos Grafos Ciclos Eulerianos entrada: grafo euleriano G = (V,E) 1. EC [w]; 2. CV w; 3. E´ ; 4. enquanto | (w)| > 0 faça 5. se | (CV)| > 1 então 6. encontrar v (CV), {CV,v} não é ponte de G-E´ 7. senão 8. v = o vértice em (CV) 9. fim-se 10. retirar v de (CV) e CV de (v) 11. E´ E´ U {{CV,v}} 12. CV v; 13. adicionar CV no final de EC 14. fim-enquanto saída: EC CV: vértice que está sendo visitado E´: conjunto de arestas já traçadas EC: lista de vértices ordenada pela seqüência de visitas (v):conjunto de vizinhos de v em G- E´

7 CC/EC/MestradoTeoria dos Grafos Exemplo a b c d e g f a b g c d f e e Exercício: Executar o algoritmo para o grafo descrevendo os principais passos e a idéia do seu funcionamento.

8 CC/EC/MestradoTeoria dos Grafos Grafos Hamiltonianos

9 CC/EC/MestradoTeoria dos Grafos Ciclo Hamiltoniano Um caminho que contém todos os vértices de G é dito um caminho hamiltoniano

10 CC/EC/MestradoTeoria dos Grafos Caminho e Ciclo Hamiltoniano Um caminho que contém todos os vértices de G é dito um caminho hamiltoniano Um ciclo hamiltoniano é um ciclo que contém todos os vértices de G Nem todo grafo conexo possui um ciclo hamiltoniano

11 CC/EC/MestradoTeoria dos Grafos Questão Existe uma condição necessária e suficiente para um grafo conexo possuir um ciclo hamiltoniano?

12 CC/EC/MestradoTeoria dos Grafos Teorema Se G é hamiltoniano então, para todo subconjunto não-vazio e próprio S de V, (G-S) |S|

13 CC/EC/MestradoTeoria dos Grafos Exemplo n = 9 S = {s 1, s 2, s 3 } s1s1 s1s1 s1s1 s1s1 s1s1 s2s2 s3s3

14 CC/EC/MestradoTeoria dos Grafos Grafo de Petersen

15 CC/EC/MestradoTeoria dos Grafos Teorema Se G é um grafo simples com n 3 e n/2, então G é hamiltoniano a d c b

16 CC/EC/MestradoTeoria dos Grafos Prova Seja G um grafo simples e maximal, com n 3 e n/2 e não hamiltoniano. Ou seja, não existe nenhum outro grafo com mais arestas do que ele que não seja hamiltoniano Sejam u e v vértices não adjacentes em G Como G é maximal, G + {u,v} é hamiltoniano A aresta {u,v} pode ser adicionada a G pois sabemos que G não é completo, pois por suposição, n 3 e G é não hamiltoniano (todo grafo completo possui um ciclo hamiltoniano) Como G é não hamiltoniano, todo ciclo hamiltoniano de G+{u,v} contém a aresta {u,v}

17 CC/EC/MestradoTeoria dos Grafos Prova Logo existe o caminho hamiltoniano em G descrito por u = v 1 v 2 v 3...v n-1 v n = v O grafo G pode conter mais arestas do que aquelas pertencentes ao caminho (pois n/2) Sejam S = {v i | uv i+1 E} e T = {v i | v i v E} v n S e v n T v n S T |S T| < n (I) Além disso, |S T| = 0 (senão haveria um ciclo hamiltoniano em G) (II) De (I) e (II): d(u) + d(v) = |S|+|T| = |S T| + |S T| < n+0 = n Daí, existe algum vértice em G cujo grau é menor que n/2 (contradição) Logo G é hamiltoniano

18 CC/EC/MestradoTeoria dos Grafos Teorema Número de ciclos hamiltonianos com arestas disjuntas em um grafo: em aberto! Em um grafo completo esse número pode ser determinado Em um grafo completo com n vértices, existem (n-1)/2 ciclos hamiltonianos com arestas disjuntas, se n é ímpar e n 3.

19 CC/EC/MestradoTeoria dos Grafos Exercício Exiba um grafo euleriano e hamiltoniano Exiba um grafo euleriano e não hamiltoniano Exiba um grafo não euleriano e hamiltoniano Exiba um grafo não euleriano e não hamiltoniano

20 CC/EC/MestradoTeoria dos Grafos Exercícios 1. Mostre que |E(K p,q )| = p*q 2. Seja G = (V,E) um grafo com |V| = n e |E| = m. Mostre que se G é um grafo bipartido então m n 2 /4. 3. Sejam a, b e c três vértices distintos em um grafo. Existe um caminho entre a e b e também existe um caminho entre b e c. Prove que existe um caminho entre a e c.


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