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CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cortes (cut-sets)

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1 CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cortes (cut-sets)

2 CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) Corte por arestas Em um grafo conexo G, um corte de arestas é um conjunto de arestas cuja remoção de G torna G desconexo, desde que nenhum subconjunto próprio desse conjunto também desconecte G

3 CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) Corte por arestas rank de um grafo: r = n - (G) Subconjunto minimal de arestas de maneira a garantir a conexidade de cada componente do grafo corte de arestas: subconjunto minimal de arestas cuja remoção reduz o rank de um grafo de uma unidade.

4 CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) Corte por arestas corte de arestas: subconjunto minimal de arestas cuja remoção acarreta uma partição no grafo.

5 CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) Propriedades Todo corte de arestas de um grafo conexo G deve conter pelo menos uma aresta de toda árvore geradora de G; Em um grafo conexo G, qualquer conjunto minimal de arestas contendo pelo menos uma aresta de qualquer árvore geradora de G é um corte de arestas; Todo ciclo possui um número par de arestas em comum com qualquer corte de arestas

6 CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) Corte por Aresta (Bondy & Murty) Para subconjuntos S e S de V, denotamos por [S, S´] o conjunto de arestas com um extremo em S e outro em S´

7 CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) Corte por Aresta (Bondy & Murty) Para subconjuntos S e S de V, denotamos por [S, S´] o conjunto de arestas com um extremo em S e outro em S´ Seja C um subconjunto de E da forma [S, S´], onde S é um subconjunto não vazio e próprio de V e S´=V-S

8 CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) Bond Se C é minimal, então C é um corte de arestas de G. Em alguns livros o corte de arestas é denominado bond. Se G é conexo, então um bond B de G é um subconjunto minimal de E tal que G-B é desconexo.

9 CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) Exemplo: G

10 CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) Exemplo: G b a

11 CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) Exemplo: G b a Conjunto de arestas que desconecta o grafo!

12 CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) Exemplo: G b a Mas não é minimal!!!

13 CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) Exemplo: G b a É um corte de arestas (bond)!!

14 CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) Cotree Se H é um subgrafo de G, o complemento de H em G, denotado por H é o subgrafo G-E(H). Se G é conexo, e T é uma árvore geradora de G, então T é dita cotree de G

15 CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) Teorema: Seja T uma árvore geradora de um grafo conexo G e seja a uma aresta de T. Então: a)a cotree T não contém corte de aresta de G; T + a contem um único corte de arestas de G.

16 CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) Prova Exercício!!!!!!!!!!

17 CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) Conectividade e Separabilidade

18 CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) Conectividade de arestas Em um grafo conexo G, o número de arestas do menor corte de arestas de G é definido como conectividade de arestas de G (K´ (G)) K´ (G): número mínimo de arestas cuja remoção reduz o rank de G em uma unidade. K´(T) = ????, onde T é uma árvore.

19 CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) Corte de vértices Subconjunto minimal de vértices V´ V, cuja remoção de G o desconecta ou o transforma em um grafo nulo. G – V´: desconexo ou nulo e subconjunto próprio V´´ V´, G – V´´ é conexo e não nulo.

20 CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) Conectividade de vértices O número mínimo de vértices que desconecta o grafo G ou o reduz a um único vértice é definido como conectividade de vértices de G (K (G)) K(T) = ????, onde T é uma árvore. Conectividade de vértices tem sentido apenas para grafos conexos com mais de três vértices e não completos.

21 CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) Conectividade de vértices K´(G) = K(G) = 0, G desconexo K(G) n – 2, G K n

22 CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) Grafo separável Um grafo G é dito separável quando K(G) = 1. Neste caso, G pode ser decomposto em subgrafos G1 e G2 tal que G1 e G2 tem apenas um vértice em comum.

23 CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) Articulação Vértice cuja remoção desconecta o grafo.

24 CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) Teorema Seja G (V,E) um grafo conexo, |V| > 2. Então: Um vértice v de V é articulação sss existem dois vértices x e y em G, x, y v, tais que todo caminho entre x e y passa por v; a)Uma aresta {p,q} de E é ponte sss {p, q} for o único caminho entre p e q em G.

25 CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) Exemplo Suponha que são dadas n estações que devem ser conectadas por e linhas, e n-1. Qual é a melhor maneira de conectá-las, de maneira a evitar sua destruição devido à destruição de estações individuais e/ou linhas individuais? Maior conectividade de vértices e arestas

26 CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) Teorema A conectividade de arestas de um grafo G não pode exceder o grau do vértice com o menor grau de G

27 CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) Prova Seja w o vértice de grau mínimo de G ( ) É possível desconectar G, removendo-se as arestas incidentes a w. K´(G)

28 CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) Teorema A conectividade de vértices de um grafo G não pode exceder a conectividade de arestas de G

29 CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) Questão Sejam G = (V,E) um grafo e E´ um corte de arestas de G. É sempre possível encontrar um corte de vértices V´ tal que |V´| |E´|?

30 CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) G, K(G) K´(G)

31 CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) Corolário Todo corte de arestas em um grafo não separável com mais de dois vértices contém pelo menos duas arestas


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