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CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Conceitos Básicos.

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1 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Conceitos Básicos

2 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Algumas classes especiais de grafo Um hipergrafo simples H = (V, P(V) – Ø) é formado por arestas definidas como subconjuntos de V

3 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Algumas classes especiais de grafo Grafo direcionado ou digrafo possui arestas direcionadas. a e b c d fonte sumidouro

4 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Algumas classes especiais de grafo k - Regular: v V, d(v) = k a e b c d 2 - regular d c a b 3 - regular

5 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Grafo altamente irregular Um grafo é altamente irregular se cada um de seus vértices é adjacente a vértices de graus diferentes entre si. d c a b e f

6 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Algumas classes especiais de grafo Um grafo G = (V,E) é dito nulo se V Ø e E = Ø –Um grafo deve ter pelo menos um vértice. a e b c d

7 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Algumas classes especiais de grafo Rotulado ou valorado em vértices ou arestas: a cada vértice ou a cada aresta é atribuído um rótulo. d c a b

8 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Algumas classes especiais de grafo completo: existe uma aresta ligando cada par de vértices. K1K1 K2K2 K3K3 K4K4

9 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Algumas classes especiais de grafo k – partido: existe uma partição P = {Y i | i = 1,..., k, Y i Y j = Ø, i j} do seu conjunto de vértices, tal que não existam ligações entre elementos de um mesmo Y i X Y X YZ bipartido 3 - partido

10 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Algumas classes especiais de grafo Grafo Bipartido Completo: é um grafo bipartido com bipartição (X, Y) em que cada vértice de X é adjacente a cada vértice de Y. –Se |X|=p e |Y|=q, então denotamos tal grafo por K p,q q

11 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Grafo Complementar Seja G um grafo. O grafo complementar G é o grafo que contém as ligações que não estão em G. a b c d G a b c d G

12 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Representação de Grafos

13 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Representação de Grafos Por diagrama: mais usual e mais fácil de visualização de aspectos topológicos –Percursos em grafos, adjacências, etc. Percepção de propriedades pode ser facilitada ou dificultada de acordo com o aspecto visual de um grafo –Isomorfismos, planaridade Representação visual: não adequada para o computador –Como armazenar a estrutura de um grafo?

14 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Representações mais usuais Lista de adjacência ou dicionário –Simples –Lista de listas de vértices –Cada lista: formada por um vértice e seus adjacentes –Adequada na representação de grafos esparsos –Ineficiente na busca de uma aresta no grafo

15 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Lista de adjacência - exemplo

16 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Lista de adjacência A lista associada a um vértice pode ser vazia. Em grafos não orientados, pode-se evitar a repetição na representação de arestas adotando-se algum critério de ordenação.

17 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Matriz de Adjacência Seja G = (V,E) A = (a ij ), 1 i,j n a ij = 1, quando {i,j} E 0, caso contrário

18 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Matriz de Adjacência a e b c d abcd e a b c e d

19 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Matriz de Adjacência Diagonal principal nula: Matriz simétrica: Número de 1´s na matriz = Valores nulos: ausência de arestas Valores não nulos: presença de arestas ou arcos grafos sem laços grafo não orientado 2m

20 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Matriz de Incidência Seja G = (V,E) B = (b kl ), 1 k n, 1 l m b kl = 1, quando o vértice k é incidente à aresta l 0, caso contrário

21 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Matriz de Incidência a e b c d {a,b}{a,c}{a,e} {b,c} {b,d} {c,d}{c,e} e a b c d

22 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Matriz de Incidência Matriz esparsa de dimensão nxm Exige muito espaço de armazenamento Número de 1´s na matriz = 2m Representa exatamente um grafo Cada linha corresponde a um vértice Cada coluna corresponde a uma aresta Mais utilizada para representação de hipergrafos e programação inteira envolvendo estruturas de grafos

23 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Questão Qual das representações computacionais de um grafo é a mais adequada?

24 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exercícios Os turistas John, Leuzinger, Dufois e Medeiros se encontram em um bar em Paris e começam a conversar. As línguas disponíveis são o inglês, o francês, o português e o alemão. John fala todas as línguas, Leuzinger não fala o português, Dufois fala francês e alemão e Medeiros fala inglês e português. Represente por meio de um grafo todas as possibilidades de um deles dirigir-se a outro, sendo compreendido.

25 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exercícios Represente por meio de um hipergrafo H = (X,U), as capacidades lingüísticas do grupo. Qual é o significado das interseções U i U j, onde U k U? Mostre que |E(K p,q )| = p*q

26 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exercícios Considere o grafo G: – Construa: a lista de adjacência de G a matriz A de adjacência de G a matriz B de incidência de G – Calcule: O produto A 2. O que significam os números na diagonal? O produto B.B t.O que significam os números na diagonal? E fora da diagonal? a b c d

27 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exercícios Mostre que existe 10 grafos não triviais com 4 vértices Mostre que não existem grafos (2k-1)-regulares com 2r-1 vértices (k,r N-{0}) Mostre que não existem grafos de 10 vértices e 24 arestas com d(v) {1,5} v de V.

28 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Subgrafos

29 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Subgrafos Um grafo H é um subgrafo de G (H G) se V(H) V(G) e E(H) E(G) Quando H G e H G, denotamos H G e dizemos que H é subgrafo próprio de G Se H é um subgrafo de G então G é um supergrafo de H Um subgrafo gerador de G é um subgrafo H com V(H) = V(G)

30 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Subgrafos Seja V´ um subconjunto não vazio de V. O subgrafo de G cujo conjunto de vértices é V´ e o conjunto de arestas é o conjunto de todas as arestas de G com ambos extremos em V´ é chamado de subgrafo de G induzido por V. –G[V]: é um subgrafo induzido de G por V´.

31 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) G[V\V´], denotado por G-V É o subgrafo obtido a partir de G pela remoção dos vértices em V´ e suas arestas incidentes Se V´={v}, escrevemos G-v ao invés de G-{v}

32 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Subgrafo induzido (por aresta) Seja E´um subconjunto não vazio de arestas de E. O subgrafo de G cujo conjunto de vértices é o conjunto dos extremos das arestas em E´ é chamado de subgrafo de G induzido por arestas

33 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Subgrafo induzido (por aresta) G- E´: subgrafo gerador de G com conjunto de arestas E\E´ G+E´: grafo obtido a partir de G adicionando um conjunto de arestas E´

34 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo u v y wx ea b c d f g h

35 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo u v y wx ea b c d f g h Um subgrafo gerador de G

36 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo u v y wx ea b c d f g h Um subgrafo gerador de G u y wx e b c d g v

37 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo G – {u} wx b c d f g h y v u v y wx ea b c d f g h

38 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo u v y wx ea b c d f g h G – {u,w} d f g h y x v

39 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo G-{a, b, f} u y x ea c d f g h v w b

40 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo G-{a, b, f} y x e c d f g h v w u b

41 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo G-{a, b, f} y x e c d f g h v w u

42 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo G-{a, b, f} y x e c d g h v w u

43 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo O subgrafo induzido G[u, v, x] u v y wx ea b c d f g h

44 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo O subgrafo induzido G[u, v, x] u v y wx ea b c d f g h u v x

45 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo O subgrafo induzido G[u, v, x] u v y wx ea b c d f g h u v x

46 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo O subgrafo induzido G[a, d, e, g] por aresta u v y wx ea b c d f g h

47 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo O subgrafo induzido G[a, d, e, g] por aresta u v y wx ea b c d f g h u y ea d g x v

48 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Subgrafos Disjuntos Sejam G 1, G 2 G

49 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Subgrafos Disjuntos Sejam G 1, G 2 G G 1 e G 2 são disjuntos se V(G 1 ) V(G 2 ) =

50 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Subgrafos Disjuntos em aresta

51 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Subgrafos Disjuntos em aresta Sejam G 1, G 2 G

52 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Subgrafos Disjuntos em aresta Sejam G 1, G 2 G G 1 e G 2 são disjuntos em aresta se E(G 1 ) E(G 2 ) =


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