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CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Percursos em um grafo.

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1 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Percursos em um grafo

2 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Definição Um percurso ou cadeia é uma seqüência de arestas sucessivamente adjacentes, cada uma tendo uma extremidade adjacente à anterior e a outra a subsequente (à exceção da primeira e da última) –Percurso fechado: a última aresta da sucessão é adjacente a primeira; –Percurso aberto: caso contrário

3 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Notação A sucessão é indicada por: –Vértices –Arestas –Vértices e arestas alternados

4 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo e G a b c d

5 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Comprimento de um percurso Número de arestas por ele utilizado (incluindo repetições) O que é o comprimento de um percurso em um grafo valorado?

6 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Tipos de percurso Simples: não repete arestas Elementar: não repete vértices nem arestas (caminho) Ciclo: percurso simples e fechado Ciclo elementar: só há repetição do último vértice Uma corda é uma aresta que une dois vértices não consecutivos de um ciclo

7 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Percurso abrangente Um percurso é abrangente a um dos conjuntos do grafo quando utiliza todos os elementos desse conjunto ao menos uma vez Euleriano Hamiltoniano

8 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Conexidade

9 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Grafo Conexo u e v são ditos conectados se existir um caminho entre u e v em G.

10 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Grafo Conexo u e v são ditos conectados se existir um caminho entre u e v em G –Notação: caminho-(u,v) G é dito conexo se existir caminho entre quaisquer dois vértices de G

11 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Grafo Conexo u e v são ditos conectados se existir um caminho entre u e v em G –Notação: caminho-(u,v) G é dito conexo se existir caminho entre quaisquer dois vértices de G Relação de Equivalência definida pela conexão entre os vértices

12 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Reflexiva Equivalência

13 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Caminho-(u, u) Equivalência

14 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Caminho-(u, u) Simétrica Equivalência

15 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Caminho-(u, u) Se existe caminho-(u,v) então existe caminho-(v,u) Equivalência

16 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Caminho-(u, u) Se existe caminho-(u,v) então existe caminho-(v,u) Transitiva Equivalência

17 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Caminho-(u, u) Se existe caminho-(u,v) então existe caminho-(v,u) Se existem os caminhos-(u,v) e –(v,w) então existe caminho-(u,w) Equivalência

18 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Componentes Conexas

19 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Componentes Conexas É possível particionar G em classes de equivalência: V 1, V 2,..., V p tal que dois vértices são conectados se e somente se pertence a um mesmo V i

20 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Componentes Conexas É possível particionar G em classes de equivalência: V 1, V 2,..., V p tal que dois vértices são conectados se e somente se pertence a um mesmo V i Os subgrafos G(V 1 ),..., G(V p ) são chamados de componentes conexas de G.

21 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Maximalidade (Minimalidade) Seja S um conjunto e S' S. Diz-se que S' é maximal em relação a uma certa propriedade quando S' satisfaz a propriedade e não existe subconjunto S'' S e S' S'' que também satisfaz. Isto é, S' não está contido propriamente em nenhum subconjunto de S que satisfaz.

22 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Maximal (Minimal) G´ G é maximal em relação a uma propriedade se não houver G G´tal que G tem a propriedade. –Componentes conexas: são todos os subgrafos conexos maximais de G.

23 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo G

24 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo G é Conexo G

25 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo G G é Conexo H

26 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo G G é Conexo H H é desconexo

27 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo G G é Conexo H H é desconexo

28 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo G G é Conexo H H é desconexo

29 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo G G é Conexo H H é desconexo

30 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo G G é Conexo H H é desconexo

31 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo G G é Conexo H H é desconexo (G)= número de componentes conexas de G

32 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Decomposição por Conexidade Conex (s 0 V) entrada: G = (V,E) 1. v s 0 ; 2. R(v) {v}; 3. Y ; 4. enquanto (R(v)) – R(v) faça 5.Y (R(v)) – R(v); 6.R(v) R(v) U Y; 7. fim-enquanto 8. Y R(v); 9. V V – Y; 10. se V então 11. Conex (s V) 12. fim-se-então saída: componentes conexos de G

33 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo a b c d f g h e j i G a b c d f v a Y, {b,c}, {d} R(v) {a}, {a,b,c},{a,b,c,d}

34 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Decomposição por Conexidade Adaptação para grafos não orientados do Algoritmo de Malgrange Se baseia na determinação de vizinhanças dos vértices Complexidade: O(n 2 ) Outros algoritmos disponíveis (Trémaux, Tarjan, Gondran e Minoux, Szwarcfiter)

35 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Teorema Um grafo G é desconexo sss V pode ser particionado em dois subconjuntos V 1 e V 2 de maneira que não existe aresta em G com um dos vértices extremos em V 1 e o outro em V 2

36 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Teorema Se um grafo (conexo ou desconexo) tem exatamente dois vértices de grau ímpar, então existe um caminho que liga esses dois vértices

37 CC/EC/PPGI/UFES Exercícios Indique percursos simples e não simples em G 1 Indique percursos não elementares em G 2 Todo percurso elementar é simples. Todo percurso simples é elementar? Explique. Construa dois grafos de 5 vértices e 8 arestas que não sejam isomorfos. 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) a b G1G1 a b c d e ca b d e G2G2

38 CC/EC/PPGI/UFES Exercícios Aplique a adaptação do algoritmo de Malgrange no grafo G abaixo e indique o resultado. 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) a b G a b c d e ca b d e

39 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Teorema Um grafo G é bipartido se e somente se não contém ciclo ímpar

40 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) ( ) u v

41 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF ( ) u v P

42 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) ( ) u v w P

43 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) ( ) u v w P Q

44 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) ( ) u v w u1u1 P Q

45 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) ( ) u v w u1u1 P Q P1P1

46 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) ( ) u v w u1u1 P Q P1P1 Q1Q1

47 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) ( ) u v w u1u1 P Q

48 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) ( ) u v w u1u1 P Q

49 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Teorema Um grafo simples G com n vértices e k componentes conexas pode ter no máximo (n-k)(n-k+1)/2 arestas

50 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Prova Idéia: –k = 1: (n-1)(n-1+1)/2 (n-1)n/2 –k = 2: (n-2)(n-2+1)/2 (n-2)(n-1)/2 –...

51 CC/EC/PPGI/UFES 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Prova Idéia: n 1 + n n k = n e n i 1, 1 i k Desigualdade algébrica utilizada: i=1,k n i 2 n 2 – (k-1)(2n-k)


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