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Exemplos de Indução Matemática Matemática Discreta.

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Apresentação em tema: "Exemplos de Indução Matemática Matemática Discreta."— Transcrição da apresentação:

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2 Exemplos de Indução Matemática Matemática Discreta

3 Exemplo1: Provar por indução que P(n) : n < 2 n a) P(1) é a proposição 1 < 2 1, que certamente é verdade. b) Supondo (hipótese de indução) agora P(k): k < 2 k, tentamos concluir que P(k + 1): k + 1 < 2 k + 1. Lembrando que 2 k + 1 = 2 k.2 Usando a hipótese da indução k < 2 k E multiplicando os dois membros dessa desigualdade por 2, Obtemos: 2. k < 2. 2 k Tem-se que: 2. k = k + k e 2. 2 k = 2 k + 2 k Logo, k + k = 2 k + 2 k = 2 k+1 Como k + 1 < k + k então, k + 1 < 2 k + 1

4 Exemplo 2 : Prove que a equação (2n-1) = n 2 (1) É verdadeira para qualquer inteiro positivo n. a) P(1): 1 = 1 2 b) P(k): (2k-1) = k 2 (2) P(k+1): [(2(k+1)–1] = (k+1) 2 (3) A chave de uma demonstração por indução é encontrar um modo de relacionar o que queremos saber (3) e o que supusemos(2). O lado esquerdo de (3) pode ser reescrito mostrando-se a penúltima parcela: (2k-1) +[(2(k+1) -1] está equação contém o termo a esquerda do sinal de igualdade da equação (2).

5 Como estamos supondo que P(k) é válida, então: [2(k+1) -1]= (2k-1) + [2(k+1) – 1] = k 2 + [2(k + 1)- 1] = k 2 + (2k +2 -1) = K 2 + 2K + 1 = (k + 1) 2 Portanto, [2(k + 1) – 1] = (k + 1) 2


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