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1 BCC101 – Matemática Discreta Demonstração de Teoremas.

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1 1 BCC101 – Matemática Discreta Demonstração de Teoremas

2 Demonstração de Teoremas – Ex1 Teorema: Sejam a,b R. Se 0 a < b então a 2 < b 2 O que queremos provar é: a,b R. 0a

3 Receita de bolo Para demonstrar um teorema: Entenda o enunciado, identifique as hipóteses e a conclusão Expresse o teorema como uma fórmula da Lógica de Predicados Construa a prova passo a passo, usando as regras de Dedução Natural que vimos anteriormente. CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 3

4 Demonstração de Teoremas Teorema: Sejam a,b R. Se 0 a < b então a 2 < b 2 Prova: Sejam a e b números reais arbitrários e suponha 0a

5 Demonstração de Teoremas Teorema: Sejam a,b R. Se 0 a < b então a 2 < b 2 OBS: Note que 0 5 < < 7 2 é uma instância do teorema acima. Provar que uma, ou várias instâncias são verdadeiras não significa ter provado o teorema! CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 5

6 Demonstração de Teoremas Teroema: Sejam x,y R tais que x>3 e y 5. Quais são as hipóteses e a conclusão do teorema? Apresente algumas instências do terorema Construa uma prova para esse teorema. CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 6

7 Demonstração de Teoremas Conjectura: Sejam x,y R tais que x>3. Então x 2 – 2y > 5. A conjectura é falsa ou verdadeira? Apresente um contra-exemplo que mostra que essa conjectura é falsa. x = 4, y = 6 pois então temos 4 2 – 2.6 = 2 < 5 CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 7

8 Não se esqueça Para mostrar que uma conjectura é verdadeira (é um teorema) devemos construir uma prova da mesma. Para mostrar que uma conjectura é falsa, basta apresentar um contra- exemplo para a mesma. CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 8

9 Estratégias de Prova - Direta A partir do exemplo anterior, podemos deduzir nossa 1 a. estratégia de prova de teoremas: Prova Direta: Para provar uma asserção da p q, suponha p e prove q CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 9 [p] q p q

10 Exercícios Prove que, para todo n N, se n é impar então 3n+9 é par. Prove que se a e b são números racionais, então a-b é racional Prove que se n é par então n 2 é par CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 10

11 Prova direta – mais um exemplo Teorema: Sejam A,B e C conjuntos. Se A C B e a A, então a A\B. Hipóteses: A C B a A Conclusão: a A\B a A\B = ¬(a A\B) = ¬(a A a B) = ¬a A ¬ a B = ¬a A a B = a A a B CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 11

12 Prova direta – mais um exemplo Trocamos a demonstração de a A\B por uma demonstração envolvendo a A a B, que é mais simples. Agora é só usar uma das estratégias que envolvem o conectivo Como você concluiria a prova? CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 12

13 Prova por contrapositivo Teorema: Para todo n Z, se n 2 é par, então n é par. Queremos provar: n Z. par(n 2 ) par(n) Mais precisamente: n Z.( k Z.n 2 =2k) ( k Z.n=2k) Infelizmente, a estratégia de prova direta não nos ajuda neste caso… CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 13

14 Estratégias de Prova - Contrapositivo Prova por contrapositivo: Para provar uma asserção da p q, podemos provar a asserção equivalente ¬q ¬p, ou seja, supomos ¬q e provamos ¬p CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 14

15 Prova por contrapositivo Teorema: Para todo n Z, se n 2 é par, então n é par. Ao invés de provar par(n 2 ) par(n) Vamos provar o contrapositivo ¬par(n) ¬par(n 2 ), isto é, seja impar(n) impar(n 2 ), ou seja: ( k Z.n=2k+1) ( k Z.n 2 =2k+1) CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 15

16 Prova por contrapositivo Teorema: Para todo n Z, se n 2 é par, então n é par. Prova: Por contrapositivo. Seja n Z arbitrário e suponha n impar, isto é, n=2k+1, para algum k Z. Então n 2 = (2k+1) (2k+1) = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 +2k) + 1 ou seja, n 2 é impar Portanto, se n 2 é par, então n é par CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 16

17 Exercícios Sejam a,b,c R e a > b. Prove que, se ac bc, então c 0. Prove que, se x é um número irracional, então x é um número irracional. CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 17

18 Mais estratégias de prova Se a e b são números inteiros, então a 2 – 4b 2. Quais são as hipóteses? Qual é a conclusão? Que estratégia podemos usar para provar o teorema? CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 18

19 Prova por contradição Suponha que queremos provar uma conclusão C. A idéia de uma prova por contradição é supor que a conclusão a ser provada é falsa, isto é, supor ¬C, e mostrar que essa suposição nos leva a uma contradição. CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 19

20 Prova por contradição Teorema: se a,b Z então a 2 -4b2 Prova: Suponha, por contradição, que a 2 -4b=2 Então a 2 = 2+4b = 2(1+2b), ou seja a 2 é par e, portanto, a é par. Ou seja, a = 2c, para algum inteiro c. Substituindo a por 2c na equação acima obtemos: (2c) 2 = 2(1+2b) => 4c 2 = 2 (1+2b) Dividindo ambos os lados por 2: 2c 2 = 1+2b => 1 = 2b – 2c 2 = 2(b-c 2 ) Como b,c Z, isso significa que 1 é par, o que é um absurdo! Portanto a 2 -4b2. CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 20

21 Mais estratégias de prova Um número real x é racional se x=a/b, para algum número a Z e algum número b Z, b0. E x é irracional, se ele não é racional. Teorema: 2 é um número irracional Quais são as hipóteses? Qual é a conclusão? Que estratégia podemos usar para provar o teorema? CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 21

22 Prova por contradição Teorema: 2 é um número irracional Prova: Suponha, por contradição, que 2 é racional, isto é, 2 =a/b, para a,b Z, b0. Podemos supor, sem perda de generalidade, que a e b são primos entre si -- mdc(a,b)=1. Então (a/b) 2 =(2) 2 =2 a 2 =2b 2, ou seja a 2 é par e, portanto, a é par, i.e., a=2k, para algum k Z. Então b 2 =a 2 /2=(2k) 2 /2=2k 2, ou seja, b 2 é par e, portanto, b é par. Mas isso constraiz o fato de que a e b são primos entre si. Portanto, concluimos que 2 é irracional CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 22

23 Prova por contradição – mais exemplos Teorema: O conjunto dos números primos é infinito. Quais são as hipóteses? Qual é a conclusão? Como pode ser expressa a negação dessa conclusão? Como podemos obter uma contradição, a partir da negação da conclusão? CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 23

24 Exercícios Prove que a soma de um número racional e um número irracional é um número irracional Prove que o conjunto dos números pares é infinito Sejam a e b inteiros. Então a 2 -4b2 CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 24

25 Provas envolvendo quantificadores Para provar uma afirmativa da forma x. f(x), devemos provar que f(x) é verdadeira, para x arbitrário. Exemplo: Prove que, para quaisquer inteiros a,b,c, se a|b e b|c então a|c. CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 25

26 Provas envolvendo quantificadores Para provar uma afirmativa da forma x.f(x), devemos mostrar um valor para x, digamos a, tal que f(a) seja verdadeira. Exemplo: Prove que, para todo número real x>0, existe um número real y tal que y(y+1)=x CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 26

27 Erros em provas Considere a seguinte afirmação incorreta: x R. y R. (xy 2 =y-x) O que está errado com a seguinte prova desta afirmação: Prova: Seja x = y/(y 2 +1). Então y-x = y- y/(y 2 +1) = y 3 /(y 2 +1) = (y/(y 2 +1)) y 2 = xy 2 CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 27

28 Prova de existência - construtiva Prove que existe um número inteiro que pode ser escrito como a soma de dois cubos de diferentes maneiras CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page = =

29 Prova de existência - não construtiva Prove que existem números irracionais x e y tais que x y é racional. Prova: Considere 2 2. Temos 2 possíveis casos: 1)2 2 é racional, o que conclui a prova 2)2 2 é irracional, e então, tomando x = 2 2 e y = 2, temos x y = (2 2 ) 2 = 2 2 = 2 CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 29

30 Existência e Unicidade A prova de uma afirmativa da forma ! x. f(x) tem duas partes: Prova de existência: ! x. f(x) Prova de unicidade: ( y.f(y) y=x) Exemplo: Prove que, para todo número real x>0, existe um único número real y tal que y(y+1)=x CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 30


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