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1 BCC101 – Matemática Discreta Demonstração de Teoremas Prova Direta e Prova por contrapositivo.

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1 1 BCC101 – Matemática Discreta Demonstração de Teoremas Prova Direta e Prova por contrapositivo

2 Demonstração de Teoremas – Ex1 Teorema: Sejam a,b R. Se 0 a < b então a 2 < b 2 O que queremos provar é: a,b R. 0a

3 Receita de bolo Para demonstrar um teorema: Entenda o enunciado, identifique as hipóteses e a conclusão Expresse o teorema como uma fórmula da Lógica de Predicados Construa a prova passo a passo, usando as regras de Dedução Natural que vimos anteriormente. CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 3

4 Demonstração de Teoremas Teorema: Sejam a,b R. Se 0 a < b então a 2 < b 2 Prova: Sejam a e b números reais arbitrários e suponha 0a

5 Demonstração de Teoremas Teorema: Sejam a,b R. Se 0 a < b então a 2 < b 2 OBS: Note que 0 5 < < 7 2 é uma instância do teorema acima. Provar que uma, ou várias instâncias, são verdadeiras não significa ter provado o teorema! CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 5

6 Demonstração de Teoremas Teorema: Sejam x,y R tais que x>3 e y 5. Quais são as hipóteses e a conclusão do teorema? Apresente algumas instâncias do terorema Construa uma prova para esse teorema. CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 6

7 Demonstração de Teoremas Conjectura: Sejam x,y R tais que x>3. Então x 2 – 2y > 5. A conjectura é falsa ou verdadeira? Apresente um contra-exemplo que mostra que essa conjectura é falsa. x = 4, y = 6 pois então temos 4 2 – 2.6 = 2 < 5 CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 7

8 Não se esqueça Para mostrar que uma conjectura é verdadeira (é um teorema) devemos construir uma prova da mesma. Para mostrar que uma conjectura é falsa, basta apresentar um contra- exemplo para a mesma. CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 8

9 Estratégias de Prova - Direta A partir do exemplo anterior, podemos deduzir nossa 1 a. estratégia de prova de teoremas: Prova Direta: Para provar uma asserção da p q, suponha p e prove q CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 9 [p] q p q

10 Exercícios Prove que, para todo n N, se n é impar então 3n+9 é par. Prove que se a e b são números racionais, então a-b é racional Prove que se n é par então n 2 é par CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 10

11 Prova direta – mais um exemplo Teorema: Sejam A,B e C conjuntos. Se A C B e a A, então a A\B. Hipóteses: A C B a A Conclusão: a A\B a A\B = ¬(a A\B) = ¬(a A a B) = ¬a A ¬ a B = ¬a A a B = a A a B CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 11

12 Prova direta – mais um exemplo Trocamos a demonstração de a A\B por uma demonstração envolvendo a A a B, que é mais simples. Agora é só usar uma das estratégias que envolvem o conectivo Como você concluiria a prova? CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 12

13 Prova por contrapositivo Teorema: Para todo n Z, se n 2 é par, então n é par. Queremos provar: n Z. par(n 2 ) par(n) Mais precisamente: n Z.( k Z.n 2 =2k) ( k Z.n=2k) Infelizmente, a estratégia de prova direta não nos ajuda neste caso… CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 13

14 Estratégias de Prova - Contrapositivo Prova por contrapositivo: Para provar uma asserção da p q, podemos provar a asserção equivalente ¬q ¬p, ou seja, supomos ¬q e provamos ¬p CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 14

15 Prova por contrapositivo Teorema: Para todo n Z, se n 2 é par, então n é par. Ao invés de provar par(n 2 ) par(n) Vamos provar o contrapositivo ¬par(n) ¬par(n 2 ), isto é, seja impar(n) impar(n 2 ), ou seja: ( k Z.n=2k+1) ( k Z.n 2 =2k+1) CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 15

16 Prova por contrapositivo Teorema: Para todo n Z, se n 2 é par, então n é par. Prova: Por contrapositivo. Seja n Z arbitrário e suponha n impar, isto é, n=2k+1, para algum k Z. Então n 2 = (2k+1) (2k+1) = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 +2k) + 1 ou seja, n 2 é impar Portanto, se n 2 é par, então n é par CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 16

17 Exercícios Sejam a,b,c R e a > b. Prove que, se ac bc, então c 0. Prove que, se x é um número irracional, então x é um número irracional. CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 17

18 Mais estratégias de prova Se a e b são números inteiros, então a 2 – 4b 2. Quais são as hipóteses? Qual é a conclusão? Que estratégia podemos usar para provar o teorema? CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 18


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