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1 BCC 101 –Matemática Discreta Regras de Inferência BCC101 - Matemática Discreta I.

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1 1 BCC 101 –Matemática Discreta Regras de Inferência BCC101 - Matemática Discreta I

2 2 Inferência Formal (lógica matemática) Linguagem – notação para enunciar teoremas (premissas e conclusões): fórmulas da linguagem Regras de Inferência – regras para concluir novas fórmulas a partir de fórmulas já provadas ou hipóteses Inferência Formal (Prova) – um conjunto de hipóteses juntamente com uma sequência de aplicações de regras de inferência para obter uma conclusão Inferência Lógica BCC101 - Matemática Discreta I

3 Inferência – exemplo 1 A soma de 2 números pare é um número par 10 é par 14 é par Portanto, a soma é um número par ( x y. par(x) par(y) par(x+y)), par(10), par(14) par(10+14) 3 BCC101 - Matemática Discreta I hipótesesconclusãosímbolo de sequente Quais são as regras de inferência usadas?

4 Inferência – exemplo 1 4 BCC101 - Matemática Discreta I par(14)par(10) par(10+14) par(10) par(14) x y. par(x) par(y) par(x+y) y. par(10) par(y) par(10+y) par(10) par(14) par(10+14) hipóteses conclusão a a b { E} b x. p(x) { E} p(t) a b { I} a b

5 5 Algumas Regras de Inferência a b { I} a b E Introdução a b { E L } a E Eliminação Esq a b { E R } b E Eliminação Dir Como as regras funcionam: Se temos provas das proposições acima da linha (ou se elas são premissas do sequente a ser provado), podemos inferir a proposição abaixo da linha. Implica Eliminação a a b { E} b Nome em Latin: Modus Ponens BCC101 - Matemática Discreta I

6 6 Exemplo 2 a b, b -> c |– a c a b { E R } b a b { E L } a { I} a c prova de a dado a b hipótese prova de b dado a b Pode-se reusar uma hipótese do teorema BCC101 - Matemática Discreta I prova de c dado a b e b -> c { E} b c c hipótese

7 7 Outro Teorema e sua Prova Teorema a b, a c, b d |– c d Prova a b { E R } b a b { E L } a { I} c d { E} a c { E} b d cd a a b { E} b E rule Modus Ponens BCC101 - Matemática Discreta I

8 Regras de Inferência BCC101 - Matemática Discreta I 8

9 9 Introdução da Implicação uma regra um pouco diferente Implica Introdução [a] |– b { I} a b Se existe um prova da proposição b supondo a proposição a Então podemos inferir a proposição a b O que é diferente? A proposição suposta, a, não precisa ser uma premissa do teorema Suposição Temporária A suposição de a é admitida temporariamente na prova Mais tarde, quando usamos a regra I, a hipótese a é descartada O que! Posso supor o que quiser? Qual é a lógica nisso? O parte de cima da regra não requer que a seja verdadeiro, nem b Ela requer apenas que, se a for verdadeiro, então se pode provar b Também não precisa ser provada a partir das premissas BCC101 - Matemática Discreta I

10 10 Como a Introdução da Implicação é usada |– P Q Q Prova P Q { E R } Q { I} P Q Q Isso prova o sequente P Q |– Q Nesse ponto a prova adimite, temporariamente, a hipótese extra P Q Implica Introdução [a] |– b { I} a b Aplicando a regra I com a = P Q e b = Q Temos P Q |– Q e podemos inferir P Q Q Aplicando I descarrega-se hipótese extra BCC101 - Matemática Discreta I

11 11 Transitividade da Implicação Paciência... – provas, provas, e mais provas Teorema (Transitividade da Implicação) a b, b c |– a c Suponha que podemos provar o sequente a |– c Então a regra I levaria à conclusão a c Estratégia da prova Suponha a Prove a |– c Conclua a c (pela aplicação da regra I) prova b c { E} c a a b { E} b { I} a c hipótese adimitida temporariamente descartada demais hipóteses por I conclusão BCC101 - Matemática Discreta I

12 12 Descarga de hipóteses Quando se usa uma das seguintes regras Idescarrega a 1 hipótese Edescarrega as 2 hipóteses PBCdescarrega a 1 hipótese Porque isso ocorre nessas regras? Essas regras têm sequentes como premissas Nenhuma outra regra descarrega hipóteses BCC101 - Matemática Discreta I

13 13 Descarga de hipóteses a |– b { I} a b Origina 1 descarga Ao final, as folhas restantes são premissas do teorema { I L } a b { E} { I} a a Falso Falso (a b) Falso descarrga BCC101 - Matemática Discreta I

14 14 Como encontrar a hipótese a descarregar Implica Introdução [a] |– b { I} a b a b [a] |– c [b] |– c { E} c Ou Eliminaçãohipótese descarregada na subárvore a |– b deve ser idêntica à fórmula correspondente a a em a b [ a] |– False {PBC} a Redução ao Absurdo hipótese descarregada na subárvore a |– c deve ser idêntica à fórmula correspondente a a em a b de modo análogo em b |– c, mas casando b em a b hipótese descarregada na subárvore a |– False deve ser idêntica a a, onde a é a fórmula abaixo da linha BCC101 - Matemática Discreta I

15 Um exemplo mais complicado a b, c a, b d |– c d 15 { modus tollens } c c aa c d a b { E } d b db { I L } c d { I R } c d BCC101 - Matemática Discreta I hipóteses descarregardas a b a |– c b |– c { E} c

16 hipóteses restantes a { E } que hipóteses descarregar? { E} {ID} b a b b b { E} b a a b a |– c b |– c { E} c Plano Derive b de a Derive b de b Use E a b, a |– b (silogismo disjuntivo) BCC101 - Matemática Discreta I Uma Prova Usando Contradição 16 { E} a

17 17 a ( a) Redução ao Absurdo ( a) |– a [ a] |– {PBC} a Plano Derive Falso de a, dado ( a) Conclua a (usando PBC) { E } {PBC} a hipótese restante Que hipótese descartar? ( a) { F } a Negação Dupla Dir Qual a regra para isso? BCC101 - Matemática Discreta I

18 18 (( a) a) Lei do Terceiro Excluído |– ( a) a { ( )E R } a (( a) a) { ( )E L } ( a) {PBC} ( a) a { E} [ a] |– {PBC} a o que descarregar? que hipóteses restam? conclusão (a b) { ( )E R } b o que mais? Plano Derive Falso de (( a) a) Conclua ( a) a, usando PBC BCC101 - Matemática Discreta I

19 19 Lei de DeMorgan Direto (a b) |– ( a) ( b) ( a) ( b) Plano Derive a b de (( a) ( b)) Note o conflito com a hipótese Conclua ( a) ( b), usando PBC (a b) {DeM F } ( a) ( b) DeMorgan E Direto (( a) ( b)) { ( )E L } ( a) { F } a (( a) ( b)) { ( )E R } ( b) { F } b { I} a b (a b) {PBC} { E } Descarregar? BCC101 - Matemática Discreta I


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