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1 BCC 101 – Matemática Discreta I Indução / Recursão BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP.

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1 1 BCC 101 – Matemática Discreta I Indução / Recursão BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

2 Introdução Como podemos calcular de …+n, dado o valor de n? BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 2

3 Proque precisamos de uma prova? … + n Alguns resultados são mostrados na tabela: Será que podemos garantir que, para qualquer n N … + n = n (n+1)/2 ? BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 3

4 Indução Combina raciocínio indutivo e dedutivo buscar um padrão a partir de observações formular esse padrão como uma conjectura testar se a conjectura pode ser deduzida (provada) a partir de leis já conhecidas O último passo é necessário porque é muito frequente que se façam conjecturas falsas. BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 4

5 Porque precisamos de uma prova? Se uma afirmação é verdadeira para todos os valores que testamos, será que podemos concluir que ela é verdadeira sempre? Considere a seguinte proposição: Proposição 3. Se p é primo, 2 p 1 também é primo. Testando alguns casos: Entretanto… = 2047 = 23×89. A proposição 3 é falsa! BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 5

6 Prova por Indução Uma prova por indução tem a seguinte estrutura: Prova: Vamos provar que P(n) vale para todo n N, n a, usando indução sobre n. Base: Devemos provar que P (a) é true. Indução: Suponha que P(k) é true, para todo inteiro a k < n. Devemos mostrar que P (n) é true. BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 6 P(a) n. ( a k < n. P(k)) P(n) _____________________________{Ind} n. P(n) Indução Base Indução Hipótese de Indução

7 Exemplo 1 Proposição1. Base: Se n = 1, a soma é 1 = 1(1+1)/2. Indução: Hipótese Indução: ···+k = k(k+1)/2, p/ 1k

8 Exemplo 2 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 8 polígono convexopolígono não convexo Proposição 2. Em um polígono convexo com n vértices, o maior número de diagonais que podem ser traçadas é n(n3)/2, para n 4.

9 Exemplo 2 (continuação) Base: Se n = 4, o polígono é um quadrilátero, que tem 2 diagonais; e n(n 3)/2=(4)(1)/2 = 2. Indução: Hipótese de indução: o no. de diagonais de um polígono de 4k

10 Exemplo 2 (continuação) A resposta é adicione mais um vértice. Quantas diagonais podem ser traçadas agora? Quando adicionamos 1 vértice, todas as diagonais do polígono original são ainda diagonais do novo polígono, mas há ainda outras diagonais. BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 10 poligono com k véricespoligono com k+1 vérices

11 Exemplo 2 (continuação) A hipótese de indução nos dá que o no. de diagonais do polígono original é k(k-3)/2. Novas diagonais podem ser traçadas, do vértice extra P k+1 a cada um dos outros vértices não adjacentes (P 1 e P k ), dando (k2) diagonais extras. Isso dá um total de k(k3)/2+(k2) diagonais. Mas, k(k3)/2+(k2) = [k(k3)+2k2]/2 = (k+1)((k+1)-3)/2 Isso completa o passo indutivo (já que n=k+1). Portanto, a proposição é true para todo n 4. BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 11

12 Exercícios Prove que a soma dos n primeiros números inteiros positivos ímpares é n 2. Prove que para todo n N. Prove que n! 1. Prove que n 3 – n é divisível por 3, para todo n0. Prove que (1+x) m > 1 + mx, para todo inteiro m2. BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 12

13 Triominós Considere um tabuleiro com tamanho 2 n x 2 n no qual exatamente um quadrado está coberto. BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 13 um triominó de formato L é feito de 3 quadrados: Mostre que é possível cobrir os quadrados restantes com triominós de formato L, sem que triominós se sobreponham. Quantos triominós são necessários?

14 Triominós - solução para 2 3 x 2 3 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 14

15 Triominós Caso base (n=0): O tabuleiro tem dimensão 2 0 x2 0 = 1x1, isto é, exatamente 1 quadrado, que já está coberto. Portanto, são necessários 0 triominós para cobrir os quadrados restantes. Passo indutivo: Considere um tabuleiro de dimensões 2 n+1 x2 n+1 Suponha que é possível cobrir qq tabuleiro de dimensões 2 n x2 n com triominós HI Devemos mostrar como explorar essa hipótese para obter a solução para o caso 2 n+1 x2 n+1 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 15

16 Triominós Um tabuleiro 2 n+1 x2 n+1 pode ser subdividido em 4 tabuleiros 2 n x2 n, traçando-se uma linha horizontal e uma vertical que se cruzam no meio. Em uma desses 4 tabuleiros, há um quadrado que já está coberto. Pela hipótese de indução, os demais quadrados desse tabuleiro podem ser combertos com triominós. Nenhum dos 3 outros tabuleiros 2 n x2 n tem um quadrado coberto. Como aplicar a hipótese de indução aos 3 outros tabuleiros? A idéia é colocar um triominó na junção desses 3 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 16

17 Triominós BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 17 Agora a hipótese de indução pode ser aplicada para cobrir os quadrados restantes de cada uma dos 3 outros sub-tabuleiros, completando o processo.

18 Indução matemática Combina raciocínio indutivo e dedutivo buscar um padrão a partir de observações formular esse padrão como uma conjectura testar se a conjectura pode ser deduzida (provada) a partir de leis já conhecidas O último passo é necessário porque é muito frequente que se façam conjecturas falsas. BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 18


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