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Indução-1 Indução Métodos de prova já vistos o relacionam-se directamente com as propriedades das conectivas e quantificadores Excepções o Prova por contradição:

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1 Indução-1 Indução Métodos de prova já vistos o relacionam-se directamente com as propriedades das conectivas e quantificadores Excepções o Prova por contradição: usa-se para qualquer tipo de fórmula o Provas para afirmações numéricas Provar afirmações da forma x [P(x) Q(x)] o Prova condicional geral já usada para este efeito o Indução necessária quando P(x) tem definição indutiva

2 Indução-2 Métodos indutivos e indução matemática No raciocínio científico: o indução usada para retirar uma conclusão geral a partir de um número finito de observações em termos lógicos: inferência não é justificada novas observações podem invalidar a conclusão Indução matemática o Conclusão geral, válida para um número infinito de instâncias, é justificada com uma prova finita Aplicação mais usual: o Domínio dos inteiros o indução aplicável porque a definição dos inteiros é naturalmente indutiva Uso não restrito a este domínio

3 Indução-3 Imagem para a indução Cadeia de dominós o quando se derruba o primeiro: todos caem Arranjo dos dominós -- definição indutiva Fazer cair todos -- provar teorema por indução Requisitos para que os dominós caiam todos: o posições tais que quando um cai faz cair o seguinte (passo indutivo) o o primeiro cai (passo de base) Número de peças que uma peça faz cair: sem restrições o podem montar-se esquemas complexos

4 Indução-4 Definições indutivas Exemplos anteriores o definição de wff o definição de termos aritméticos Esquema geral o dizer como são os elementos simples o dizer como gerar novos elementos partindo dos que já se têm Exemplo: definir ambig-wff A1, A2, …, Ansímbolos proposicionais conectivas (1) Cada símbolo proposicional é uma ambig-wff (2) Se p é ambig-wff, também p é ambig-wff (3) Se p e q são ambig-wff, p q, p q, p q, p q também o são (4) As únicas ambig-wff são as geradas por aplicação repetida de (1), (2) e (3)

5 Indução-5 Definição indutiva Cláusula de base especifica os elementos básicos do conjunto a definir Uma ou mais cláusulas indutivas descrevem a forma de gerar novos elementos Cláusula final estabelece que os elementos ou são básicos ou gerados pelas cláusulas indutivas

6 Indução-6 Inferência sobre definições indutivas A1 A2 A3 é ambig-wff Prova: A1, A2 e A3 são ambig-wff pela cláusula (1) A3 é ambig-wff pela cláusula (2) A2 A3 é ambig-wff pela cláusula (3) A1 A2 A3 é ambig-wff pela cláusula (3)

7 Indução-7 Inferência com indução sobre definição indutiva Proposição 1: Toda a ambig-wff tem pelo menos 1 símbolo proposicional Prova: o Base: Cada símbolo proposicional contém 1 símbolo proposicional o Indução: p e q são ambig-wff que contêm pelo menos 1 símbolo proposicional as ambig-wff geradas por (2) e (3) a partir destas também têm pelo menos 1 símbolo proposicional: p tem os símbolos proposicionais de p p q, p q, p q, p q têm os símbolos proposicionais de p e de q o Cláusula (4) justifica a conclusão: nada é ambig-wff excepto os elementos base e as coisas geradas a partir deles aplicando (2) e (3)

8 Indução-8 Prova por indução Forma da afirmação: condicional geral Antecedente: definido indutivamente p [(p é ambig-wff) Q(p)] Forma da prova o Passo base: os elementos base satisfazem Q o Passo indutivo: se alguns elementos base satisfazem Q, então o mesmo acontece com os que são gerados pelas cláusulas indutivas

9 Indução-9 Uso de indução Proposição 2: Nenhuma ambig-wff tem o símbolo imediatamente antes de uma das conectivas p [(p é ambig-wff) Q(p)] Q: não ter imediatamente antes de uma conectiva binária Prova: o Passo base: Q(p) verifica-se para as ambig-wff dadas por (1) o Passo indutivo: Caso 1: por (2), se p tem propriedade Q, também p Caso 2: por (3) se p tem propriedade Q, também p q, p q, p q, p q Problema: nenhum dos casos se pode provar

10 Indução-10 Paradoxo do inventor Caso 1: não se pode provar o A1 verifica Q e A1 não verifica Caso 2: não se pode provar o A1 e A2 verificam Q e A1 A2 não verifica Caso em que uma prova indutiva encrava o Afirmação a provar é verdadeira o Para prová-la tem de se provar algo mais forte Nova condição na Proposição 2: o Q: não começar por conectiva binária, não terminar em nem ter imediatamente antes de uma conectiva binária o Caso 1: óbvio o Caso2: por considerações acerca das propriedades de p e q

11 Indução-11 Cláusula final da definição indutiva Qual o estatuto da cláusula (4) Nada é ambig-wff a menos que seja gerado por aplicações sucessivas de (1), (2) e (3) o Refere, para além de objectos que estão a ser definidos, as outras cláusulas da definição o usa noção de aplicação repetida Expressão em LPO: o Directa para as cláusulas (1), (2) e (3) p [ambig-wff(p) ambig-wff(concat(, p))] o Não existe tradução deste tipo para (4)

12 Indução-12 Definições indutivas em Teoria de Conjuntos Definições indutivas: podem exprimir-se na linguagem da Teoria de Conjuntos Ambig-wff o O conjunto S das ambig-wff é o menor conjunto que verifica o (1) Cada símbolo de proposição está em S o (2) Se p está em S, p está em S o (3) Se p e q estão em S, p q, p q, p q, p q também estão (4) foi substituída pela referência a o menor conjunto que satisfaz (1), (2) e (3)

13 Indução-13 Menor conjunto que... Menor conjunto que verifica propriedade o subconjunto de qualquer conjunto que verifica a propriedade Como sabemos se existe? Lema 3: Se S é a intersecção de uma colecção de conjuntos, cada um dos quais verifica (1)-(3), S verifica (1)-(3) Prova: o Base: cada conjunto em tem os símbolos proposicionais; então a sua intersecção S também o Passo indutivo: Considerar p pertencente a S; p está em cada conjunto de Cada conjunto em satisfaz (2), então p está em cada conjunto de Sejam p e q de S; se p e q estão em S estarão em cada um dos conjuntos de Cada conjunto satisfaz (3), logo p q, p q, p q, p q estão em S

14 Indução-14 Provas Para provar que todas as ambig-wff estão em Q o conjunto S das ambig-wff é subconjunto de QS Q o Se Q satisfaz (1) - (3) o S Q pela definição Problema na prova da Proposição 2 o Q não satisfaz (2) ou (3) o Q é conjunto mais restrito, verifica (1) - (3) o S Q Q o logo S Q : resultado pretendido

15 Indução-15 Comentário ao Axioma da Regularidade Na axiomática de Zermelo-Frankel, o axioma da Compreensão é recusado por conduzir a inconsistência o no conceito de conjunto de von Neuman o problema está em esse axioma deixar tratar como uma unidade conjuntos grandes demais, que não podem ser vistos como uma só entidade matemática (caso do conjunto de todos os conjuntos, etc.) o axioma da separação impõe que qualquer conjunto definido por uma propriedade seja subconjunto de outro pre-existente o o axioma da regularidade de Zermelo impõe que os conjuntos sejam construídos a partir de objectos que não são conjuntos (caso base) que, numa primeira iteração, são coleccionados de todas as formas possíveis em conjuntos, numa segunda iteração acrescentam-se os conjuntos desses conjuntos, as suas uniões, intersecções e conjuntos das partes, numa terceira faz-se a mesma operação sobre os da segunda, etc. assim nunca é possível o conjunto de todos os conjuntos porque o conjunto das partes aparece sempre na iteração seguinte ao do conjunto base; e desaparecem os conjuntos irregulares que estão contidos neles próprios.

16 Indução-16 Indução sobre os naturais Definição indutiva dos números inteiros 1. 0 é um número natural 2. Se n é natural, n+1 é natural 3. Nada é um natural excepto os resultados da aplicação repetida de (1) e (2) Em teoria de conjuntos, o conjunto dos naturais, é o conjunto mais pequeno que satisfaz (1) 0 (2) Se n, n+1 Prova indutiva sobre x [(x x Q] De: (1) 0 Q (2) Se n Q, n+1 Q Pode concluir-se Q

17 Indução-17 Exemplo Proposição 4: Para todo o número natural n, a soma dos n primeiros naturais é n(n+1)/2 Prova: n [n n Q] Q(n): a soma dos n primeiros naturais é n(n+1)/2 Caso base: a soma dos 0 primeiros naturais é 0 Passo indutivo: Seja um número natural k para o qual Q(k) se verifica Soma dos k primeiros naturais é k(k+1)/2 Soma dos primeiros k+1 naturais: k(k+1)/2 + k+1= (k+1)(k/2 +1) = (k+1)(k+2)/2

18 Indução-18 Provar propriedades de programas Programa void Function(int n) {int x,y,z; x = n; z = 1; y = 0; while( x>0 ) { y = z+y; z = z+2; x = x-1;} printf(n^2 = %d, 2n+1 = %d, y, z); } Provar: quando executado, o programa imprime os valores de n 2 e 2n+1 para uma entrada n

19 Indução-19 Prova Para provar a propriedade do programa Lema 5: Dada uma entrada n, haverá exactamente n iterações do ciclo while o Prova: por indução n [(n é entrada Q(n)] Q: há exactamente n iterações do ciclo Caso base: n= 0 para x=0 não se entra no ciclo while Passo indutivo: Seja um número natural k para o qual Q(k) se verifica Se a entrada for k+1: x fica com k+1 Entra-se no ciclo, é executado 1ª vez e x decrementado Agora x=k e o ciclo é executado k vezes No total: ciclo executado k+1 vezes

20 Indução-20 Prova Lema 6: Depois de k iterações do ciclo while, y e z têm os valores k 2 e 2k+1, respectivamente o Prova: por indução k [k Q(k)] Q: depois de k iterações do ciclo while, y e z têm os valores k 2 e 2k+1 Caso base: k= 0 ciclo não é executado, y=0= k 2 e z=1=2k+1 Passo indutivo: Seja um número natural k para o qual Q(k) se verifica Após mais uma iteração do ciclo while: y = z+y = k 2 + 2k+1 = (k+1) 2 z = z+2 = 2k+1 +2 = 2(k+1) +1


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