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Matemática Discreta I BCC101 Introdução Lógica Proposicional.

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Apresentação em tema: "Matemática Discreta I BCC101 Introdução Lógica Proposicional."— Transcrição da apresentação:

1 Matemática Discreta I BCC101 Introdução Lógica Proposicional

2 2 Bibliografia, Slides, Exercícios etc Bibliografia: Rosen: Matemática Discreta e Aplicações Velemann: How to Prove it Slides, exercícios, avisos, notas:

3 3 Visão Geral Matemática Discreta lida com estruturas matemáticas discretas: constituídas de partes distinguíveis ou separadas. Discreto vs. Contínuo: Naturais vs Reais Como computadores operam de maneira descontínua (ou discreta), executando um passo a cada instante, Matemática Discreta é o arcabouço apropriado para descrever Computação.

4 4 Visão Geral O conceito central da computação é o de ALGORITMO. Matemática Discreta ajuda a entender… ferramentas para a construção de algoritmos ferramentas para a análise de complexidade de algoritmos métodos para a prova de correção de algoritmos

5 5 Matemática Discreta Lógica Formal e Técnicas de Prova Estruturas Discretas: conjuntos, relações, funções, árvores, grafos Indução e Recursão Teoria de números propriedades de inteiros Combinatóriaproblemas de contagem Análise de algoritmos Computabilidade e decidibilidade

6 6 Aplicações Desenvolvimento de Software e Hardware Projeto de chips, especificação de software, geração automática de software, prova formal de correção de programas Teoria da Computação Métodos de prova para estudo de propriedades de modelos teóricos de computação Fundamentação para LPs Inteligência Artificial Bancos de Dados

7 7 O que é Lógica Uma ferramenta para descrever e para raciocinar sobre o mundo Para descrever o mundo, usamos sentenças declarativas tais como: i. Se eu dormir demais, vou chegar atrasado ii. Eu dormi demais iii. Eu não cheguei atrasado Aplicando algumas regras gerais de raciocínio, podemos obter conclusões: i.De i e ii podemos concluir... ii.De i e iii podemos concluir...

8 8 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP Três Lógicos com chapéus Três lógicos A, B e C, estão usando chapéus. Os três sabem que cada chapéu é preto ou branco, e que não são todos os chapéus brancos. O lógico A pode ver os chapéus de B e C; B pode ver os chapéus de A e C; e C é cego. Pergunta-se a cada um, primeiro a A, depois a B, depois a C, se ele sabe a cor do seu próprio chapéu. As respostas são: A:Não". B: Não". C: "Sim". Qual é a cor do chapéu de C e como ele sabe isso?

9 Como ganhar 1 milhão usando lógica 3 Portas Uma porta tem 1 milhão Uma porta tem uma caneta Uma porta tem uma pipoca Inscrições nas portas Porta $$: inscrição verdadeira Porta da pipoca: inscrição falsa CCaneta na porta A BPipoca na porta C ACanetaaqui Adapted from Smullyan, The Lady or the Tiger, Times Books, 1982 Questão extra: Onde está a caneta? D BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

10 O que é Lógica? Uma ferramenta para descrever e para raciocinar sobre o mundo – Para descrever o mundo, usamos sentenças declarativas tais como: i.Amanhã vai chover ou vai nevar ii.Nem hoje nem amanhã vai nevar Apenas nos interessa saber se uma asserção é verdadeira ou falsa, e como isso pode ser determinado (ou provado). BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 10

11 Do que precisamos? Uma linguagem na qual expressar asserções sobre o mundo Uma interpretação para sentenças da linguagem: nos interessa apenas o valor-verdade de cada sentença Regras de raciocício para determinação da verdade ou falsidade de sentenças da linguagem. BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 11

12 Verdadeiro, Falso, Asserções Axioma: Falso é o oposto de Verdadeiro. Exemplos de asserções: – Lula foi presidente do Brasil. – Cruzeiro vai ganhar o Brasileiro de – Os peixes voam. – Esta sentença é falsa. Q: Quais dessas sentenças são verdadeiras? Falsas? Ambos? Nem falsas nem verdadeiras? BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 12

13 Proposições DEF: Uma proposição é uma asserção que é verdadeira (T) ou falsa (F). Para evitar dor de cabeça, excluímos as sentenças que não têm significado verdadeiro nem falso, limitando nossa lógica a sentenças às quais se pode atribuir um valor-verdade: BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 13

14 Proposições Podemos ter asserções mais complexas: Se chover, eu não vou jogar futebol. Se x=2 então x+3=5. Vai fazer calor ou vai fazer frio. Como agrupar proposições simples para formar proposições mais complexas? Como determinar o valor-verdade de proposições complexas, em termos das proposições componentes? BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 14

15 Lógica Proposicional Supomos um conjunto de proposições atômicas representadas por: p, q, r, s… E também as constantes: true e false Proposições mais complexas são formadas a partir de proposições atômicas, usando conectivos lógicos (ou operadores lógicos). BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 15

16 Conectivos Lógicos BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 16 OperadorSimbolo Negação (não) Conjunção (ê) Disjunção (ou) Ou exclusivo Condicional (implicação, se então) Equivalência (bi-implicação) =

17 Lógica Proposicional: sintaxe formal Seja var uma variável de proposição. O conjunto prop de fórmulas pode ser definido pela seguinte gramática: prop := var |true | false |(¬ prop) |(prop prop) |(prop = prop) BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 17

18 Fórmulas da Lógica Proposicional Quais das seguintes sentenças são fórmulas válidas da Lógica Proposicional? ((p q) p) ((p p) ¬)

19 Proposições - Exemplos Seja p = João é estudante q = João vai ao cinema r = João vai estudar Expresse cada sentença como uma proposição: 1.João vai ao cinema ou vai estudar 2.João é estudante mas não vai estudar 3.Se João vai ao cinema então João não vai estudar 4.João não vai ao cinema nem vai estudar 5.João vai ao cinema somente se ele não vai estudar 6.É necessário que João não vá ao cinema para que ele vá estudar BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 19

20 Conectivos: precedência associatividade Para evitar excesso de parênteses, é estabelecida uma precedência entre os operadores lógicos: maior precedência ¬ = menor precedência e têm associatividade à esquerda tem associatividade à direita BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 20

21 Conectivos: precedência associatividade Exemplos: ¬p q r = (((¬p) q) r) p q r = ((p q) r) p q r = ((p q) r) = (p (q r)) p q r = (p (q r)) ((p q) r) BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 21

22 Conectivos: precedência associatividade Elimine os parênteses desnecessários: ((p q) (r s)) (p (q (p q)) ¬ (p (q r))

23 Lógica Proposicional - semântica O significado de uma proposição é um valor booleano: T ou F O significado da constante true é T O significado da constante false é F Existem 2 possíveis interpretações para um símbolo de proposição p : T ou F Como determinar o significado de fórmulas compostas, como ((p ˄ q) r) ? BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 23

24 Negação Verdadeiro sse o operando é Falso Defina p = x 10 p é verdadeiro sse x é não negativo (p q) é verdadeiro sse x entre 0 e 10 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 24 p¬ p TF FT

25 Conjunção Verdadeiro sse ambos os operandos verdadeiros Defina p = x > 0, q = x < 10 p q é verdadeiro sse x está entre 0 e 10 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 25 pq p q TTT TFF FTF FFF

26 Disjunção Verdadeiro sse qualquer dos operandos é verdadeiro Defina p = x > 0, q = x < 10 p q é verdadeiro sse x está fora do intervalo fechado 0 a 10 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 26 pq p q TTT TFT FTT FFF

27 Ou Exclusivo Verdadeiro sse os operandos tem valores diferentes Defina p = x > 0, q = y > 0 p q é verdadeiro se (x,y) está no 2o. ou 4o. quadrante BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 27 pq p q TTF TFT FTT FFF Quadrante 1 x > 0, y > 0 Quadrante 2 x 0 Quadrante 4 x > 0, y < 0 Quadrante 3 x < 0, y < 0 y x

28 Implicação Falso sse 1 o op. é verdadeiro e 2 o é falso Defina p = x > 10, q = x > 0 Considere x = 15, x = 5, e x = -5 p q é verdadeiro para todo valor de x A terceira linha da tabela não ocorre q p é falso quando x está entre 0 e 10 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 28 pq p q TTT TFF FTT FFT

29 Equivalência ou Bi-implicação Verdadeiro sse ambos os operandos têm o mesmo valor p q tem o mesmo valor que (p q) (q p) p q tem o mesmo valor que (p q) BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 29 pqp = q TTT TFF FTF FFT

30 Condicional Diversas maneiras de expressar p q : se p então q. p implica q. se p, q. p somente se q p é suficiente para q. Algumas maneiras invertem a ordem de p e q, mas têm a mesma conotação: q se p q sempre que p q é necessário para p Exemplos É suficiente que x>10 para que x>5 É necessário que x>5 para que x>10 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 30

31 Tabela-verdade BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 31 Proposição: (p q) ( p q) p q F F F T T F T T F T T T ( p q) p T T F F F T T T ( p q) ( p q) F T T T Verdadeiro p/ alguma: Satisfatível Verdadeiro p/ todas: Tautologia Falso p/ todas : Contradição (não satisfazível)

32 Outra Tabela-verdade BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 32 Proposição: ( p q) ( p q) p q F F F T T F T T F T F ( p q) p T T F F F T T T F T F F F

33 Sherlock Holms O mordomo e o cozinheiro não são ambos inocentes Ou o mordomo está mentindo ou o cozinheiro é inocente Então ou o mordomo está mentindo ou ele é culpado M = o mordomo é inocente C = o cozinheiro é inocente L = o mordomo está mentindo BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 33 M C) L C L M

34 Sherlock Holms BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 34 M C L M C) L C L M False False False True False True False False True True True True False True False True True True False True True True True True True False False True False True True True True True True False False True False True True True False True True M C), L C L M M C) L C L M

35 O raciocínio com tabela-verdade é viável na prática? É bom quando existem apenas 2 variáveis {T,F} {T,F} = possíveis valores de variáveis 2 2 linhas na tabela-verdade Três variáveis começa a ficar tedioso {T,F} {T,F} {T,F} = possíveis valores linhas na tabela-verdade Vinte variáveis impraticável! 2 2 … 2 linhas (2 20 ) Você gostaria de preencher um milhão de linhas? Nesse caso, como faria para evitar erros? Centenas de variáveis + de1 milhão de anos! 35

36 Knights and Knaves (Raymond Smullyan) Você pergunta a um dos nativos se existe ouro na ilha e ele responde: Existe ouro na ilha é o mesmo que eu sou um knight. a)Pode-se determinar se o nativo é um knight ou um knave? b)Pode-se determinar se existe ou não ouro na ilha? BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 36 Em uma ilha hipotética, os habitantes ou são Knights, que sempre falam verdade, ou Knaves, que sempre mentem.

37 Knights and Knaves (Raymond Smullyan) Seja k = o nativo é um knight o = há ouro na ilha Temos: (k (k=o)) (¬ k ¬ (k=o)) = true Conclusão: 1.há ouro na ilha 2.não se pode saber se o nativo é knight ou knave BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 37 kok (k=o) ¬ k ¬ (k=o) true false truefalse truefalsetrue false


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