Métodos de Demonstração

Apresentação em tema: "Métodos de Demonstração"— Transcrição da apresentação:

1 Métodos de Demonstração
Método de Redução ao Absurdo Método de Indução Matemática

2 Método de Redução ao Absurdo
Um saco contém bolas do mesmo tamanho e do mesmo material, mas de três cores diferentes (brancas, pretas e vermelhas). Sabe-se que: - Existe, pelo menos, uma bola de cada cor; - O número de bolas brancas é 5; - O número de bolas pretas é par. Extraindo ao acaso uma bola do saco, a probabilidade de ela ser branca é Utilizando o método de redução ao absurdo, prove que, no saco, há, pelo menos, duas bolas vermelhas.

3 Método de Redução ao Absurdo
Comecemos por indicar a hipótese e a tese. Hipótese: - Um saco contém bolas do mesmo tamanho e do mesmo material, mas de três cores diferentes (brancas, pretas e vermelhas). - Existe, pelo menos, uma bola de cada cor ; - O número de bolas brancas é 5; - O número de bolas pretas é par. - Extraindo ao acaso uma bola do saco, a probabilidade de ela ser branca é Tese: No saco, há, pelo menos, duas bolas vermelhas.

4 Método de Redução ao Absurdo
Queremos provar que: se a hipótese é verdadeira então verifica-se a tese. Vamos ver o que acontece se a tese for falsa, ou seja: “não existem pelo menos duas bolas vermelhas”. Isso significa que existe uma bola vermelha (porque sabemos, por hipótese, que é uma das cores das bolas do saco). Suponhamos então que existe uma única bola vermelha.

5 Método de Redução ao Absurdo
Por hipótese, sabemos que: - O número de bolas brancas é 5; - Extraindo ao acaso uma bola do saco, a probabilidade de ela ser branca é Com estas duas informações podemos afirmar que o número de bolas no saco é 15 e que o número de bolas vermelhas e bolas pretas é 10. Sabemos que o número de bolas pretas é par (por hipótese). Se o número de bolas vermelhas for 1 então o número de bolas pretas seria 9, o que contradiz a hipótese. Assim, nas condições da hipótese, nunca poderíamos ter apenas uma bola vermelha no saco.

6 Método de Redução ao Absurdo
Num Teorema (propriedade que queremos demonstrar) temos Hipótese Tese (o que admitimos ser verdade) (o que queremos provar) Demonstrar um teorema é demonstrar que esta implicação é válida. O método de redução ao absurdo consiste em admitir que a tese é falsa e que a hipótese é verdadeira e, através de um raciocínio lógico, chegar a uma contradição (absurdo) com a hipótese, concluindo, então que a tese só pode ser verdadeira.

7 Método de Indução Matemática
Mostrar que: A propriedade se verifica para n=1 Que a propriedade é hereditária.

8 Método de Indução Matemática
Mostre por indução matemática que Para n=1 temos que Vamos provar agora que é hereditária: Admitindo que a propriedade se verifica para um certo nº natural igual a p, ou seja Vamos mostrar que a propriedade também se verifica para p+1, ou seja

9 Método de Indução Matemática
Queremos mostrar que Então: