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IGUALDADE Duas matrizes A = [a ij ] mxn e B = [b ij ] pxq são iguais se e somente se m = p e n = q (mesma ordem) e a ij = b ij, i, j. APLICAÇÃO Se A =

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Apresentação em tema: "IGUALDADE Duas matrizes A = [a ij ] mxn e B = [b ij ] pxq são iguais se e somente se m = p e n = q (mesma ordem) e a ij = b ij, i, j. APLICAÇÃO Se A ="— Transcrição da apresentação:

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2 IGUALDADE Duas matrizes A = [a ij ] mxn e B = [b ij ] pxq são iguais se e somente se m = p e n = q (mesma ordem) e a ij = b ij, i, j. APLICAÇÃO Se A = B e A = 3x + 4 8 5 e B = 3 12 8 3y - 1 então X + 4 = 12 x = 8 e 3y – 1 = 5 y = 2.

3 ADIÇÃO Duas matrizes são conformes para a adição se e somente se apresentarem a mesma ordem. Sejam A = [a ij ] mxn e B = [b ij ] mxn duas matrizes. Se C = [c ij ] mxn e C = A + B, então c ij = a ij + b ij. Exemplo: = 4 6 3 9 9 5 6 7 + = 4 + 9 6 + 5 3 + 6 9 + 7 13 11 9 16

4 MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR (Nº REAL) Seja a matriz A = [a ij ] mxn e o escalar r. O produto rA é definido como sendo a matriz de ordem mxn e elementos b ij, tais que b ij = ra ij. Exemplo: == 3 x 5 2 8 4 3.5 3.2 3.8 3.4 15 6 24 12

5 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES janfevmarabrmai A300100200100150 B400500800600400 C200300350200250 Artigos/DespesaABC Mão de obra21,53 Manutenção1,52 Impostos41,22,4 Custo de produção Quantidade produzida Qual foi a despesa com mão de obra para produzir os artigos A, B e C no mês de janeiro? 2X300 + 1,5x400 + 3x200 = 1.800,00 (Despesa X produto) (Produto X mês) (Despesa X mês)

6 Formalizando: Sejam A = [a ij ] mxn e B = [b ij ] pxq duas matrizes, tais que n = p. Define-se o produto A x B como sendo uma matriz C = [c ij ] mxq (nº de linhas da 1ª e nº de colunas da 2ª) onde cada c ij é formado pela soma dos elementos da linha i da matriz A multiplicados pelos elementos da coluna j da matriz B, isto é: c ij =a ik. b kj k = 1 n

7 EXEMPLO: A tem ordem 2 X 3 e B tem ordem 3 X 4. O resultado será uma matriz 2 x 4. 2 x 3 3 x 4 Têm que ser iguaisResultado 2 X 4 c 11 = linha 1 da primeira X coluna 1 da segunda = 2.6 + 3.5 + 4.1 = 31. c 12 = 2.7 + 3.0 + 4.9 = 50c 13 = 2.2 + 3.1 + 4.8 = 19c 14 = 2.1+3.4+4.3 = 26 c 21 = 1.6 + 7.5 + 0.1 = 41 c 22 = 1.7 + 7.0 + 0.9 = 7 c 23 = 1.2 + 7.1 + 0.8 = 9 c 24 = 1.1+ 7.4 + 0.3 = 29 A = 2 3 4 1 7 0 B = 6 7 2 1 5 0 1 4 1 9 8 3 31 50 19 26 41 7 9 29 A X B =

8 02 -Considere as matrizes Determine: a)A + BT b) 3A c) (A T ) T d) A x B b)e) (AxB)T f) B T xA T. g) Por que razão não é possível efetuar A + B e B x A h) Que conclusão se pode tirar dos resultados obtidos nos itens e e f? 03 - Sabe-se que o produto A mxp. B qxn é possível. Que relação existe em p e q? Qual será a ordem da matriz A. B? 04 - Existe ou não as operações A + B, A.B, B.A, B.A T e A.B T, onde A e B são as matrizes do item 2? Justifique suas respostas. 05 - Uma matriz A 2x3 foi multiplicada por outra matriz B mxn, resultando numa matriz C px5. Qual é a ordem da matriz B? Qual é o valor de p?

9 06 - Considere as matrizes a)Determine os valores de x, y, w e t se 2A + 3B = C b) Determine a matriz D tal que 2.(3A + D) = 3.(2B - A). c) Calcule 5.A.B.I onde I é a matriz identidade de ordem 2. d) Calcule a matriz M tal que M.A = I onde I é a matriz identidade de ordem 2. 07 – Seja A = [a ij ]5x7 tal que a ij = 5 + 2i – 3j se i = j e a ij = 2 – 3i + 4j se i j B = [b ij ] 7x6 tal que a ij = 3i – 2j se i > j e a ij = 2i – 3j se i < j. a) Determine o elemento c 42 da matriz C tal que C = A x B. b) Determine a soma dos elementos da terceira coluna da matriz C se C = A + B. c) Qual é a ordem da matriz C se C = A x B? d) É possível o produto B x A? Justifique.

10 Calcule: a) A 2 b) A 3 c) A 4 d) B 2 e) AB f) BA g) 2AB h) 2BA i) (A + B)2 j) A2 + 2AB + B2 k) A2 + AB + BA + B2 Observando os itens i, j e k, que conclusões você pode tirar? 10 – Usando as mesmas matrizes do exercício anterior verifique a validade ou não das igualdades a) (AB) T = A T.B T b) (AB) T = B T.A T c) 2.(AB) = A.(2B) 11 – Usando as matrizes Verifique as propriedades: a) (A + B) + C = A + (B + C) b) A + B = B + A c) A. (B + C) = A. B + A. C d) 2.(A + B) = 2.A + 2.B e) A. B B. A f) A. B = BT. AT


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