A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

Números Complexos Definição: Um número complexo z pode ser definido como um par ordenado (x, y) de números reais x e y, z = (x, y) (1) sujeito às regras.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "Números Complexos Definição: Um número complexo z pode ser definido como um par ordenado (x, y) de números reais x e y, z = (x, y) (1) sujeito às regras."— Transcrição da apresentação:

1 Números Complexos Definição: Um número complexo z pode ser definido como um par ordenado (x, y) de números reais x e y, z = (x, y) (1) sujeito às regras e leis de operações dadas a seguir (2) a (5). (2) (x, 0) = x o par (x, 0) é identificado como o número real x; (0, 1) = i é chamado de unidade imaginária; (x, y) representam a parte real e a parte imaginária, isto é, R(z) = x e Y(z) = y.

2 (3) (x 1, y 1 ) = (x 2, y 2 ) x 1 = x 2 e y 1 = y 2 Se z 1 = (x 1, y 1 ) e z 2 = (x 2, y 2 ) então (4) z 1 + z 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) (5) z 1 z 2 = (x 1 y 1 ) x (x 2 y 2 ) = (x 1 x 2 - y 1 y 2, x 1 y 2 +x 2 y 1 ) (6) Cada número complexo (não real) pode ser escrito como a soma de um número real e um número complexo puro z = (x, y) = x+ yi Como consequencia da equação (6), pode se escrever a fórmula (5) como: (x 1 + y 1 i) x (x 2 + y 2 i) = x 1 x 2 - y 1 y 2 + (x 1 y 2 +x 2 y 1 )i

3 Exemplo: Dados os números z 1 = (2,1) e z 2 = (3, 0) Calcular z 1 + z 2, z 1 x z 2 e z 1 2 Solução: z 1 + z 2 = (2, 1) + (3, 0) = (2 + 3, 1 + 0) = (5, 1) z 1 z 2 = (2, 1) x (3, 0) = (2 x x 0, 2x0+3x1) = (6, 3) z 1 2 = (2, 1) x (2, 1) = (2 x x 1, 2x1+2x1) = (3, 4)

4 2 - Propriedades Subtração (inverso da adição) z 1 - z 2 = z 3 z 1 =z 2 + z 3 ou (x 2, y 2 ) + (x 3, y 3 ) = (x 1, y 1 ) Assim, z 1 - z 2 = (x 1 - x 2, y 1 - y 2 ) = (x 1 - x 2 ) + (y 1 - y 2 )i Divisão (inversa da multiplicação) (z 1 / z 2 ) = z 3 se z 1 = z 2 z 3, (z 2 0) ou (x 2 x 3 - y 2 y 3, x 2 y 3 + x 3 y 2 ) = (x 1, y 1 )

5 Logo, igualando os pontos correspondentes e resolvendo em relação a x 3, y 3, temos: z 1 / z 2 = (x 1 x 2 + y 1 y 2 )/ (x 2 2 +y 2 2 ) + (x 2 y 1 - x 1 y 2 )i / (x 2 2 +y 2 2 ), z 2 0. Assim z 1 / z 2 = z 1 (1/ z 2 ), 1/(z 2 z 3 ) = (1/z 2 ) (1/z 3 ), ( z 2 0 z 3 0) Exemplo: Determine o valor da expressão: [(-1+3i)(1+2i) / (2-i)] + 2i = [(-1- 6+i) / (2 - i) ]+ 2i= [(-7 + i) / (2 -i)] +2i = [( ) / (4 +1)] + [(2 -7)i /5] + 2i = -3 +i

6 Leis para adição e subtração: a) z 1 + z 2 = z 2 + z 1 (comutativa) b) z 1 + (z 2 + z 3 ) = (z 1 + z 2 ) + z 3 (associativa) c) z 1 (z 2 z 3 ) = (z 1 z 2 ) z 3 (associativa) d) z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 (distributiva)

7 3 - Representação gráfica Cada número complexo corresponde a um único ponto, e reciprocamente, no plano cartesiano xy. Exemplo: O número z = -2 + i é representado por

8

9 4 - Conjugados complexos Chama-se conjugado do número complexo z = (x, y) = x + yi ao complexo z = x - yi = (x, -y) Se z 1 = (x 1, y 1 ) e z 2 = (x 2, y 2 ), então z 1 + z 2 = x 1 + x 2 - (y 1 + y 2 )i = (x 1 - y 1 i) + (x 2 - y 2 i) = z 1 + z 2 Ou seja o conjugado da soma é igual a soma dos conjugados

10 E também valem: z 1 - z 2 = z 1 - z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 (z 1 / z 2 ) = z 1 / z 2 e ainda: z + z = 2x = 2R(z) -- a soma de um complexo com o seu conjugado é um real; z - z = 2yi = 2I(z)i -- a diferença entre um complexo e seu conjugado é um imaginário puro; Usando conjugado, pode-se fazer a divisão de dois complexos multiplicando o numerador e o denominador pelo seu conjugado. _ __ ____ _____ ____ __ _ _

11 5 - Valores absolutos Se x e y são reais, chama-se valor absoluto ou módulo de um número complexo z = x + yi ao real não negativo Assim, Associado a cada número complexo z há 3 números reais já definidos |z|, R(z) e I(z) que resultam

12 |z| 2 = |R(z)| 2 + |I(z)| 2 e as condições |z| |R(z)| R(z) e |z| |I(z)| I(z) e que zz = x 2 + y 2 = |z| 2 |z| = |z| |z 1 z 2 | = |z 1 | | z 2 | |z 1 / z 2 | = |z 1 | / | z 2 |, z 2 0 e as desigualdades |z 1 + z 2 | |z 1 | + | z 2 | |z 1 - z 2 | | |z 1 | - | z 2 | | ___

13 Exemplo: Dados os complexos z 1 = 3 + 4i e z 2 = 12- 5i Calcule:

14 6 - Forma polar Sejam r e as coordenadas polares do ponto representado z, Figura a seguir, onde r 0. Então x = rcos e y = rsen e z pode ser escrito como z = r (cos + i sen ) onde Isto é r = |z| e é o argumento de z denotado por argz. Quando z 0, pode ser determinado por tg = y/ x.

15 Exemplo: Seja Então:

16 7 - Produto, Potência e Quociente O produto de dois números complexos z 1 = r 1 (cos 1 + i sen 1 ) e z 2 = r 2 (cos 2 + i sen 2 ) é z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos ( )+ i sen ( )]. Logo, arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ) Assim, z 1 z 2...z n = r 1 r 2...r n [cos ( n ) + + i sen ( n )]. Se z = r (cos + i sen ) e n Z +,

17 z n = r n (cos n + i sen n ). Se r = 1 temos o Teorema De Moivre (cos + i sen ) n = cos n + i sen n. O quociente de dois números complexos é dado por (z 1 / z 2 ) = (r 1 / r 2 ) [cos ( ) + i sen ( )], r 2 0. Que pode ser obtida pelo inverso da multiplicação (1/ z) = (1/ r) [cos (- ) + i sen (- )] = (1/ r) [cos ( ) - i sen ( )] (caso particular). Logo z -n = (1/ z) n = (1/ r n ) [cos (-n ) + i sen (-n )]

18 Exemplos: Dados os números

19 8 - Extração de raizes Extrair as raizes n-ésimas z 1/n de um complexo z é resolver a equação z o n = z. Podemos escrever z 0 = r 0 (cos 0 + isen 0 ) ou r 0 n = (cos n o + isen n 0 ) = r (cos + i sen ) Se os ângulos são dados em radianos,

20 Onde k = 0, 1,...(n-1). São os valores de z 1/n. Exemplo: Calcular as raizes cúbicas de 8. Neste caso temos os valores z = 8, r = 3 e = 0. Para k = 0, z 0 = 8 1/3 (cos 0 +i sen 0) = 2 k = 1, z 0 = 8 1/3 [cos (2 /3) +i sen (2 /3)] = /2 i k=2, z 0 = 8 1/3 [cos (4 /3) +i sen (4 /3)] = /2 i

21 9 - Regiões no plano complexo A origem z = 0, bem como cada ponto do círculo unitário |z| = 1, é um ponto de fronteira de qualquer um dos seguintes conjuntos 0 < |z| < 1 ou 0 < |z| 1

22 Funções Analíticas 1- Funções de uma variável complexa. Se para cada z S, o valor de uma segunda variável complexa w é determinado, então w é uma função da variável complexa z no conjunto S: w = f(z). Uma função é dita univalente em S se ela tem um valor correspondente a cada valor de z em S. Exemplo: Quais os domínios de cada uma das funções a seguir f 1 (z) = z 3 +2zi - 2 Neste caso é o plano complexo inteiro.

23 f 2 (z) = |z|. Aqui também é o plano complexo inteiro. f 3 (z) = 1/(z 2 +1). Neste caso f 3 não está definida em z = i. Se u e v são funções representando a parte real e a imaginária respectivamente, então: f(z) = u(x,y) + iv(x,y) Exemplo: Se f(z) = z 2 = (x+yi) 2, então u = x 2 - y 2 e v = 2xy. Se n é um inteiro não negativo e se a 0 a 1... a n são constantes complexas, a função P(z) = a 0 + a 1 z a n z n, a n 0 é um polinômio em z, de grau n.

24 2- Transformação: A função z+2 pode ser vista como uma translação de cada ponto z à posição w = z+2, duas unidades à direita de z. A função w = z leva cada ponto z na reflexão z desse ponto no eixo real. - - A função w = (x 2 + y 2 ) 1/2 -iy leva os pontos de cada círculo x 2 + y 2 = c, c 0, em alguns pontos da reta u = c, pois u = (x 2 + y 2 ) 1/ Limites: Seja f uma função definida em todos os pontos de uma vizinhança de um ponto z 0. Lim f(z) = w 0 z-->z o

25 Isto significa que, para cada número positivo, existe um número positivo tal que |f(z) - w 0 | < sempre que |z - z 0 | <, z z 0.

26 Exemplo sobre a determinação de limites. Seja lim f(z) = lim (z 2 - 1) / (z - 1) = 2 z-->1 Prova: Para z = 1, f(z) não existe. Para z 1, temos f(z) = z + 1. Assim, |f(z) - 2 | = |z +1 -2| = |z - 1|. Logo |f(z) - 2| < sempre que 0 < |z -1| <. Daí a condição de limite é satisfeita bastando que =. Quando o limite de uma função f existe em z 0, esse limite tem um único valor. z-->1

27 Teorema: Sejam f e F funções cujos limites existem em z 0 : lim f(z) = w 0, lim F(z) = W 0 z--> z 0 Então: lim [f(z) + F(z)] = w 0 + W 0, lim[f(z)F(z)] = w 0 W 0 z--> z 0 E se w 0 0, lim [f(z) / F(z)] = w 0 / W 0 z--> z 0 O limite de um polinômio P(z) = a 0 + a 1 z +...+a n z n é o valor desse polinômio em z 0, para todo z 0, lim P(z) = P(z 0 ). z--> z 0

28 4 - Continuidade Uma função f é contínua num ponto z 0 se, e somente se, todas as 3 condições a seguir forem satisfeitas: a) f(z 0 ) existe; b) lim f(z) existe e c) lim f(z) = f(z 0 ) z-->z 0 Como consequencia, se duas funções são contínuas, sua soma e produto também o são, e o seu quociente é contínuo, exceto nos pontos z, para os quais o denominador se anula. Logo a condição c) acima pode ser escrita como: |f(z) - f(z 0 )| < sempre que |z - z 0 | <. Para cada número positivo existe um número satisfazendo a condição acima.

29 Função contínua de função contínua é contínua. Assim, se g(z) é contínua e f é contínua em g(z) então f(g(z)) é contínua em z A derivada A derivada f, ou df /dz, de f em z 0 é, então, definida por se o limite existe.

30 Exemplo: Seja f(z) = z 2. Mostre que f (z o ) = 2z 0 em qualquer z 0. Sabemos que

31 6 - Fórmulas de derivação A diferença fundamental entre a derivada nos reais e nos complexos é que nos complexos o lim na definição de f (z) é de dimensão dois. Assim temos: d(c) / dz = 0, c --> constante d(z) / dz = 1 d(cw) / dz = c (dw / dz). Se as derivadas w 1 (z) e w 2 (z) de duas funções w 1 e w 2 existem, então d(w 1 + w 2 ) / dz = d(w 1 ) / dz + d(w 2 ) / dz = w 1 (z) + w 2 (z) d(w 1 w 2 ) / dz = w 1 (z) w 2 (z) + w 1 (z) w 2 (z)

32 E, se w 2 (z) 0, d(w 1 / w 2 ) / dz = [w 2 (z) w 1 (z) - w 1 (z) w 2 (z)] / [w 2 (z)] 2 Para a função composta w 1 (w 2 ), com w 1 (t) existe em t = w 2 (t) e w 2 (z) então, d[w 1 (w 2 )] / dz = [dw 1 / dw 2 ] [dw 2 / dz] Exemplo: Se w 1 = z 5 e w 2 = 2z + 1, então d(2z+1) 5 / dz = d(w 2 5 ) / dz = 5w 2 4 dw 2 / dz = 10(2z+1) 4.


Carregar ppt "Números Complexos Definição: Um número complexo z pode ser definido como um par ordenado (x, y) de números reais x e y, z = (x, y) (1) sujeito às regras."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google