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Ensino Superior Cálculo 1 7- Regra de LHôpital Amintas Paiva Afonso.

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Apresentação em tema: "Ensino Superior Cálculo 1 7- Regra de LHôpital Amintas Paiva Afonso."— Transcrição da apresentação:

1 Ensino Superior Cálculo 1 7- Regra de LHôpital Amintas Paiva Afonso

2 Regra de LHôpital –Indeterminação da forma –Sejam f e g funções diferenciáveis num intervalo aberto I em torno de um ponto a, exceto possivelmente no ponto a. Suponha que g(x) 0 para x a I, x a: –Se e então: Cálculo 1 - Derivadas

3 Regra de LHôpital –Utilizaremos a regra de LHôpital quando tivermos uma função da forma e ela apresentar indeterminação. Exemplo –Calcule –Temos uma indeterminação da forma:. –Aplicando a regra de LHôpital, temos:

4 Regra de LHôpital –Indeterminação da forma –A regra de LHôpital também vale para este caso. Exemplo –Calcule –A indeterminação é da forma, aplicando a regra de LHôpital para este caso, temos: Cálculo 1 - Derivadas

5 Regra de LHôpital –Indeterminação da forma –Quando temos que calcular um limite da forma f(x) g(x) quando x tende a a, ou a +, ou a -, e ocorre uma indeterminação da forma, isto é, lim f(x) = 1 e lim g(x) =, devemos primeiro calcular o logaritmo natural de ambos os membros da igualdade y = f(x) g(x). –Assim:

6 Cálculo 1 - Derivadas –Temos então que: –e: e, portanto, ocorre agora uma indeterminação da forma. –Aplica-se então a regra de LHôpital, obtendo lim lny = L. Como ln (lim y) = lim (ln y) = L, temos que lim y = e L.

7 Cálculo 1 - Derivadas Exemplo –Calcule –Temos que: e –Temos que: e

8 Cálculo 1 - Derivadas –Logo, a indeterminação é da forma:. –Se calcularmos o logaritmo natural da função teremos: –Cujo limite resulta na indeterminação da forma. Aplicando a regra de LHospital, temos: –Como ln é uma função contínua, portanto,

9 Cálculo 1 - Derivadas Regra de LHôpital –Indeterminação da forma Transformamos esta indeterminação em uma do tipo ou: Exemplo –Calcule –Aplicando reiteradamente a regra de LHôpital, temos:, portanto,

10 Cálculo 1 - Derivadas Regra de LHôpital –Indeterminação da forma –A idéia é transformar a indeterminação na forma ou. Exemplo –Calcule –Por LHôpital,

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14 Cálculo 1 - Derivadas Guillaume de LHôpital

15 (u + v) = + + DERIVADASDIFERENCIAISNOTAÇÃO DE LAGRANGE = 0dk = 0(k)´= 0 d(ku) = 0(ku)´= 0 d(u+v) = du+dv(u+v)´= u´+ v´ d(u.v) = vdu + udv(uv)´= u´v+v´u d(u/v) = (vdu –udv)/v 2 (u/v)´= (uv – vu)/v 2 d(u n ) = n.u n-1.du(u n )´= n.u n-1.u´ d(e u ) = e u.du(e u )´= e u.u´

16 DERIVADASDIFERENCIAISNOTAÇÃO DE LAGRANGE d(a u ) = a u.lna.du(a u ) = a u.lna.u d(senu) = cosu.du(senu) = cosu.u d(cosu) = - senu.du(cosu) = -senu.u d(lnu) = (1/u).du(lnu)´= (1/u).u d(arctgu) = du/(1+u 2 ) (arctgu) = u/(1+u 2 )

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