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Profª Débora Bastos. Regra de LHospital Teorema 7: (Teorema de LHospital): Sejam f e g funções diferenciáveis num intervalo aberto I, exceto possivelmente.

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1 Profª Débora Bastos

2 Regra de LHospital Teorema 7: (Teorema de LHospital): Sejam f e g funções diferenciáveis num intervalo aberto I, exceto possivelmente em um número a em I. Suponha que, para todo x a em I, g(x) 0. Então se e e se segue que. Observação: O teorema também é válido para limites laterais. Tem enorme repercussão no cálculo de limites indeterminados:

3 Exemplos Calcule os limites abaixo: a) b) c) d)

4 Se ou se, então através de artifícios algébricos, transforma-se estas indeterminações em ou. Exemplos: a) b)

5 Diferencial Seja y=f(x) uma função derivável no intervalo (a,b), então para todo x (a,b), temos que a derivada de f(x) é dada por: Então: Daí: onde g( x) é uma função infinitesimal. Logo: Como x 0 e g( x) 0, temos x g( x) 0, ou seja, ou

6 Atenção: Exemplo: Encontre um valor aproximado para Considere f(x) =, x = 125 e x = 3. f(128) f(125)+f´(125).3=5+ 5,04

7 Atenção: Exemplo: Encontre um valor aproximado para ln(1,02) Considere f(x) = lnx, x = 1 e x =0,02 f(1,02) f(1)+f´(1).(0,02)= ln(1,02) 0,02

8 Definição 14: Se a função f for definida pro y= f(x), então a diferencial de y, denotada por dy, será dada por dy= f´(x) x Onde x está no domínio de f´ e x é um incremento arbitrário de x. Definição 15: Se a função f for definida por y=f(x), então a diferencial x, denotada por dx, será dada por dx = x, onde x é um incremento arbitrário de x e x é qualquer número no domínio de f.

9 Decorre das definições 14 e 15: Definição 16: dy = f´(x)dx Dividindo ambos os membros por dx, temos: Essa relação expressa a derivada como quociente de diferenciais, quando usávamos, dy e dx não tinham significado independentes. A definição de diferencial é necessário para o conceito de integral, nosso próximo assunto.

10 Mais aplicação: Cálculo de erros Seja y=f(x) uma função derivável, temos que: Exemplo: Mediu-se o diâmetro de um círculo e achou- se 5,2 cm, com um erro máximo de 0,05 cm. Achar o máximo erro aproximado da área deste círculo. Achar também os erros relativo e percentual. f(d)=A(d) função área, d diâmetro A(d) = (d/2) 2 A(d)= d 2 /4 dA=( d/2)dD dA=.5,2.0,05 0,4084 cm2 máximo erro da área Erro relativo: 0,01923Erro percentual: 1,923%


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