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Ensino Superior 1.4. Integral por Decomposição de Frações Parciais Amintas Paiva Afonso Cálculo 2.

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Apresentação em tema: "Ensino Superior 1.4. Integral por Decomposição de Frações Parciais Amintas Paiva Afonso Cálculo 2."— Transcrição da apresentação:

1 Ensino Superior 1.4. Integral por Decomposição de Frações Parciais Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

2 Integral Indefinida O integrando é uma fração própria, uma vez que o numerador possui grau 4 e o denominador possui grau 5. Pela regra do fator linear, o fator (x + 2) no denominador introduz o termo: Determinar EXEMPLO 01 Solução INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS: Frações próprias

3 Integral Indefinida Pela regra do fator (quadrático) repetido, o fator (x 2 + 2) 2 presente no denominador introduz os termos: Assim, a decomposição em frações parciais do integrando é: Multiplicar os dois lados da equação por (x + 2)(x 2 + 3) 2

4 Integral Indefinida que resulta: Expandindo o lado direito e reagrupando termos semelhantes resulta: Equacionando os coeficientes correspondentes de cada lado, obtém-se um sistema de cinco equações algébricas lineares em 5 incógnitas:

5 Integral Indefinida A solução deste sistema resulta: Portanto:

6 Integral Indefinida Logo:

7 Integral Indefinida E, finalmente:

8 Integral Indefinida Solução INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS: Frações impróprias EXEMPLO 02 Determinar O primeiro passo é realizar uma divisão no integrando e fazer aparecer frações próprias. fração própria

9 Integral Indefinida DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS

10 Integral Indefinida A = 2 B = – 1 C = 7

11 Integral Indefinida Solução INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS: Fatores lineares não repetidos EXEMPLO 03 Determinar Multiplicando os dois lados da igualdade por x ( x–1 )( x+2 ) e rearranjando resulta:

12 Integral Indefinida Portanto: E, finalmente: Logo:

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14 Bibliografia utilizada: Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person Education. São Paulo, Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva. São Paulo, Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach. Springer- Verlag. New York, Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics. Dover, Integral Indefinida

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