1.4. Integral por Decomposição

Apresentação em tema: "1.4. Integral por Decomposição"— Transcrição da apresentação:

1 1.4. Integral por Decomposição
Ensino Superior Cálculo 2 1.4. Integral por Decomposição de Frações Parciais Amintas Paiva Afonso

2 Integral Indefinida Determinar EXEMPLO 01 Solução INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS: Frações próprias O integrando é uma fração própria, uma vez que o numerador possui grau 4 e o denominador possui grau 5. Pela regra do fator linear, o fator (x + 2) no denominador introduz o termo: 2

3 Integral Indefinida Pela regra do fator (quadrático) repetido, o fator (x2 + 2)2 presente no denominador introduz os termos: Assim, a decomposição em frações parciais do integrando é: Multiplicar os dois lados da equação por (x + 2)(x2 + 3)2 3

4 Integral Indefinida que resulta:
Expandindo o lado direito e reagrupando termos semelhantes resulta: Equacionando os coeficientes correspondentes de cada lado, obtém-se um sistema de cinco equações algébricas lineares em 5 incógnitas: 4

5 Integral Indefinida A solução deste sistema resulta: Portanto: 5

6 Integral Indefinida Logo: 6

7 Integral Indefinida E, finalmente: 7

8 Integral Indefinida EXEMPLO 02 Determinar Solução INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS: Frações impróprias O primeiro passo é realizar uma divisão no integrando e fazer aparecer frações próprias. fração própria 8

9 Integral Indefinida DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS 9

10 Integral Indefinida A = B = – C = 7 10

11 Integral Indefinida EXEMPLO 03 Determinar Solução INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS: Fatores lineares não repetidos Multiplicando os dois lados da igualdade por x ( x–1 )( x+2 ) e rearranjando resulta: 11

12 Integral Indefinida Portanto: E, finalmente: Logo: 12

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14 Integral Indefinida Bibliografia utilizada:
Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person Education. São Paulo, 1992. Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva. São Paulo, 2006. Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, 2006. Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach. Springer-Verlag. New York, 1979. Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics. Dover, 1990.

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