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Unidade 5 – Estudo de Funções
Ensino Superior Matemática Básica Unidade 5 – Estudo de Funções Amintas Paiva Afonso
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O conceito de função é um dos mais importantes em toda a Matemática.
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A idéia de função… Toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles... que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre uma função.
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Em nosso dia-a-dia temos muitos exemplos de funções:
O tempo de viagem é função, entre outras coisas, da distância percorrida. A altura de uma criança é função de sua idade; O consumo de combustível é função, entre outras coisas, da velocidade. Perímetro de um triângulo é função da medida de seus lados.
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O conceito de função na história...
René Descartes ( ), filósofo e matemático francês porpôs a utilização de um sistema de eixos para localizar pontos e representar graficamente as equações. Galileu Galilei ( ), astrônomo e matemático italiano iniciou o método experimental a partir do qual se pode estabelecer uma lei que descreve relações entre as variáveis de um fenômeno.
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A função é um modo especial de relacionar grandezas.
Duas grandezas x e y se relacionam de tal forma que: x pode assumir qualquer valor em um conjunto A dado. a cada valor de x corresponde um único valor y em um dado conjunto B. os valores que y assume dependem dos valores assumidos por x.
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Temos várias maneiras para representar a idéia de função.
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Representação gráfica
No dia-a-dia utilizamos esse tipo de representação em vários setores.
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Algumas funções especiais:
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Produto Cartesiano A x B = { (x, y) | x A e y B}
A = {1, 2}; B = {2, 3, 4} A x B = { (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4)}
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Definição de função Uma função (ou aplicação) f é uma lei segundo a
qual cada elemento x em um conjunto A está associado a exatamente um elemento, chamado f(x), em um conjunto B.
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Definição de função através de conjuntos
Não é função de A em B É função de A em B
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Noção de função através de conjuntos
Não é função de A em B É função de A em B
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Domínio, Contradomínio e Conjunto-Imagem
Im(f) D(f) = A CD(f) = B
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Teste da reta vertical Para que uma curva num plano cartesiano seja gráfico de uma função y = f(x), nenhuma reta vertical deve interceptá-la mais de uma vez.
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D = {x IR| –3 x 4 e x 1} e Im = {y IR| –2 < y 3}
Domínio e imagem através do gráfico D = {x IR| –3 x 4 e x 1} e Im = {y IR| –2 < y 3}
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Interpretação geométrica das raízes de uma função
raiz Seja f uma função de A em B. Denominamos raiz (ou zero) da função f todo elemento de A para o qual temos f(x) =0.
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CLASSIFICAÇÃO DE FUNÇÕES
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FUNÇÃO INJETORA Ou seja, “x” diferente tem “y” diferente !!! A B
É quando quaisquer dois elementos diferentes do conjunto A têm imagens diferentes no conjunto B. Ou seja, “x” diferente tem “y” diferente !!! A B -3 2 4 1 6 8
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Teste da reta horizontal para verificar se uma função é injetora
Uma função f(x) é injetora se nenhuma reta horizontal interceptar seu gráfico em mais de um ponto.
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FUNÇÃO SOBREJETORA É quando o conjunto Imagem da função for igual ao conjunto contradomínio. (Im = CD) Se M é o conjunto das mulheres e H é o conjunto dos homens, então não se pode ter homem solteiro !!! M -1 1 3 1 9 H
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FUNÇÃO BIJETORA Ou seja, homens e mulheres com os mesmos direitos !! M
É uma função simultaneamente injetora e sobrejetora. Ou seja, homens e mulheres com os mesmos direitos !! Injetora: “x” diferente tem “y” diferente M H 1 5 9 -1 3 7 Sobrejetora: NÃO SOBRAM elementos no contra domínio.
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Injeção, sobrejeção e bijeção
a) b) É injetora. Não é sobrejetora Não é injetora. É sobrejetora
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Injeção, sobrejeção e bijeção
c) É injetora É sobrejetora É bijetora
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Testando seus conhecimentos
1) Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora ou ainda nenhuma delas: a) b) 1 2 3 4 6 1 2 3 4 5 6 7 é injetora é sobrejetora
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não é sobrejetora, nem injetora é bijetora
2) Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora, ou ainda nenhuma delas: c) d) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 não é sobrejetora, nem injetora é bijetora
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3) Dada a função sobrejetora f : [2; 8] B, tal que f(x) = x² – 8x +7, observe atentamente seu gráfico e determine seu domínio e imagem. y x 7 -5 2 4 8 -9 D(f) = [2;8] Im(f) = [-9;7]
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FUNÇÃO CRESCENTE: a b f f(a) f(b) O a b f f(a) f(b) O a b g g(a) g(b) a b g g(a) g(b) A função f é crescente A função g é decrescente A função f é crescente A função g é decrescente Diz-se que f é crescente, se para a < b, então f(a) < f(b). Diz-se que g é decrescente, se a < b então g(a) > g(b).
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6) A partir da análise do gráfico, determine os intervalos
onde a função é: y x -2 2 4 6 Decrescente: ]0, 4[ b) Crescente: ]-∞ ; 0[ e ]4 ; +∞[
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Função crescente e Função decrescente
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Função crescente e Função decrescente
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Função crescente e Função decrescente
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Função Par f(x) = x4 – x2 GRÁFICO PARA x 0 GRÁFICO COMPLETO
f(-x) = (-x)4 - (-x)2 = x4 – x2 = f(x) GRÁFICO PARA x 0 GRÁFICO COMPLETO Os gráficos das funções pares são simétricos em relação ao eixo das ordenadas.
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Função ímpar Gráfico para x ³ 0
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Função ímpar f(x) = x3 + x5 f(-x) = (-x)3 + (-x)5 = -(x3 + x5) = - f(x) Os gráficos das funções ímpares são simétricos em relação à origem do sistema cartesiano ortogonal.
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FUNÇÃO PAR: FUNÇÃO ÍMPAR:
f(x) = f(-x) y f(x) = x² Uma função é PAR quando ela é simétrica em relação ao eixo y. Exemplo: f(x) = x² é par pois 2² = (-2)² = 4 x FUNÇÃO ÍMPAR: f(x) = x³ f(a) = - f(-a) y Função ÍMPAR é simétrica em relação a origem. x Exemplo: f(x) = x³ é ímpar pois 2³ = - (-2)³
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4) a) Verifique se f(x) = 2x³ + 5x é par ou ímpar:
Primeiro vejamos que f(1) = 2.1³ = 7 Em seguida, vejamos f(-1) = 2.(-1)³ + 5.(-1) = -7 Logo f(x) = 2x³ + 5x é ÍMPAR, pois f(x) = - f(-x) ou seja, f(1) = - f(-1), pois 7 = - (-7) b) Mostre que f(x) = 3x² é par: Primeiro vejamos que f(1) = 3(1)² = 3 Em seguida, vejamos f(-1) = 3(-1)² = 3 Logo f(x) = x² é PAR, pois f(x) = f(-x) ou seja, f(1) = f(-1), pois 3 = 3
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5) Sendo o gráfico ao lado de f(x), o gráfico de f(– x) será:
Lembre-se: Se f(x) = f(-x) Então a função “f” é par e ela é simétrica ao eixo “y”. Resposta: E
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Esquema para a composição de funções
Sejam f e g duas funções quaisquer. Denomina-se função composta de g com f a função h definida por h(x) = g(f(x)).
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FUNÇÃO INVERSA A idéia agora é entender que y = f(x) e seguir o seguinte procedimento: 1) Isola “x”; 2) Troca “x” por “y” e vice versa. x y D R f(x) f -1(x)
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FUNÇÃO INVERSA O símbolo para a função inversa de f é f -1 e lê-se “função inversa de f”. O símbolo “–1” em f-1 não é um expoente; f-1(x) não significa 1/f(x).
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FUNÇÃO INVERSA TESTE DA RETA HORIZONTAL
Uma função f tem inversa se e somente se o gráfico da mesma for cortado apenas uma vez por qualquer reta horizontal. EXEMPLO: a função f(x) = x2 tem inversa? x y ou f(x) y = x2 ou f(x) = x2 2 -2 4 reta horizontal Conclusão: a função f(x) = x2 não tem inversa.
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Simetria das funções inversas
1. 3. 7. . 3 . 7 . 15 f f -1 A B Os gráficos de f e f –1 são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares (reta y = x).
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