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Ensino Superior Matemática Básica Unidade 5 – Estudo de Funções Amintas Paiva Afonso.

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2 Ensino Superior Matemática Básica Unidade 5 – Estudo de Funções Amintas Paiva Afonso

3 O conceito de função é um dos mais importantes em toda a Matemática.

4 A idéia de função… Toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles... que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre uma função.

5 Em nosso dia-a-dia temos muitos exemplos de funções: O tempo de viagem é função, entre outras coisas, da distância percorrida. A altura de uma criança é função de sua idade; O consumo de combustível é função, entre outras coisas, da velocidade. Perímetro de um triângulo é função da medida de seus lados.

6 O conceito de função na história... René Descartes ( ), filósofo e matemático francês porpôs a utilização de um sistema de eixos para localizar pontos e representar graficamente as equações. Galileu Galilei ( ), astrônomo e matemático italiano iniciou o método experimental a partir do qual se pode estabelecer uma lei que descreve relações entre as variáveis de um fenômeno.

7 A função é um modo especial de relacionar grandezas. Duas grandezas x e y se relacionam de tal forma que: –x pode assumir qualquer valor em um conjunto A dado. –a cada valor de x corresponde um único valor y em um dado conjunto B. –os valores que y assume dependem dos valores assumidos por x.

8 Temos várias maneiras para representar a idéia de função.

9 Representação gráfica No dia-a-dia utilizamos esse tipo de representação em vários setores.

10 Algumas funções especiais:

11 A = {1, 2}; B = {2, 3, 4} A x B = { (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4)} A x B = { (x, y) | x A e y B} Produto Cartesiano

12 Uma função (ou aplicação) f é uma lei segundo a qual cada elemento x em um conjunto A está associado a exatamente um elemento, chamado f(x), em um conjunto B. Definição de função

13 Não é função de A em BÉ função de A em B Definição de função através de conjuntos

14 Não é função de A em BÉ função de A em B Noção de função através de conjuntos

15 Im(f) D(f) = ACD(f) = B Domínio, Contradomínio e Conjunto-Imagem

16 Para que uma curva num plano cartesiano seja gráfico de uma função y = f(x), nenhuma reta vertical deve interceptá-la mais de uma vez. Teste da reta vertical

17 D = {x IR| –3 x 4 e x 1} e Im = {y IR| –2 < y 3} Domínio e imagem através do gráfico

18 Seja f uma função de A em B. Denominamos raiz (ou zero) da função f todo elemento de A para o qual temos f(x) =0. Interpretação geométrica das raízes de uma função raiz

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20 FUNÇÃO INJETORA É quando quaisquer dois elementos diferentes do conjunto A têm imagens diferentes no conjunto B Ou seja, x diferente tem y diferente !!! AB

21 Uma função f(x) é injetora se nenhuma reta horizontal interceptar seu gráfico em mais de um ponto. Teste da reta horizontal para verificar se uma função é injetora

22 FUNÇÃO SOBREJETORA É quando o conjunto Imagem da função for igual ao conjunto contradomínio. (Im = CD) Se M é o conjunto das mulheres e H é o conjunto dos homens, então não se pode ter homem solteiro !!! M H

23 FUNÇÃO BIJETORA É uma função simultaneamente injetora e sobrejetora. 3 7 Ou seja, homens e mulheres com os mesmos direitos !! MH Injetora: x diferente tem y diferente Sobrejetora: NÃO SOBRAM elementos no contra domínio.

24 Não é injetora. É sobrejetora É injetora. Não é sobrejetora Injeção, sobrejeção e bijeção a)b)

25 É injetora É sobrejetora É bijetora Injeção, sobrejeção e bijeção c)

26 Testando seus conhecimentos 1) Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora ou ainda nenhuma delas: é injetora é sobrejetora a) b)

27 é bijetora não é sobrejetora, nem injetora c) d) ) Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora, ou ainda nenhuma delas:

28 3) Dada a função sobrejetora f : [2; 8] B, tal que f(x) = x² – 8x +7, observe atentamente seu gráfico e determine seu domínio e imagem. D(f) = [2;8] Im(f) = [-9;7] y x

29 A função f é crescente A função g é decrescente ab g g(a) g(b) a b f f(a) f(b) O a b f f(a) f(b) O ab g g(a) g(b) Diz-se que f é crescente, se para a < b, então f(a) < f(b). FUNÇÃO CRESCENTE: Diz-se que g é decrescente, se a g(b).

30 6) A partir da análise do gráfico, determine os intervalos onde a função é: y x a)Decrescente:]0, 4[ b) Crescente: ]- ; 0[ e ]4 ; +[

31 Função crescente e Função decrescente

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34 GRÁFICO PARA x 0 GRÁFICO COMPLETO Os gráficos das funções pares são simétricos em relação ao eixo das ordenadas. Função Par f(-x) = (-x) 4 - (-x) 2 = x 4 – x 2 = f(x) f(x) = x 4 – x 2

35 Função ímpar Gráfico para x 0

36 Os gráficos das funções ímpares são simétricos em relação à origem do sistema cartesiano ortogonal. Função ímpar f(-x) = (-x) 3 + (-x) 5 = -(x 3 + x 5 ) = - f(x) f(x) = x 3 + x 5

37 FUNÇÃO PAR: f(x) = f(-x) Exemplo: f(x) = x² é par pois 2² = (-2)² = 4 FUNÇÃO ÍMPAR: f(a) = - f(-a) Exemplo: f(x) = x³ é ímpar pois 2³ = - (-2)³ Uma função é PAR quando ela é simétrica em relação ao eixo y. Função ÍMPAR é simétrica em relação a origem. y x f(x) = x² y x f(x) = x³

38 4) a) Verifique se f(x) = 2x³ + 5x é par ou ímpar: Primeiro vejamos que f(1) = 2.1³ = 7 Em seguida, vejamos f(-1) = 2.(-1)³ + 5.(-1) = -7 Logo f(x) = 2x³ + 5x é ÍMPAR, pois f(x) = - f(-x) ou seja, f(1) = - f(-1), pois 7 = - (-7) b) Mostre que f(x) = 3x² é par: Primeiro vejamos que f(1) = 3(1)² = 3 Em seguida, vejamos f(-1) = 3(-1)² = 3 Logo f(x) = x² é PAR, pois f(x) = f(-x) ou seja, f(1) = f(-1), pois 3 = 3

39 5) Sendo o gráfico ao lado de f(x), o gráfico de f(– x) será: Resposta: E f(x) = f(-x) Lembre-se: Se Então a função f é par e ela é simétrica ao eixo y.

40 Sejam f e g duas funções quaisquer. Denomina-se função composta de g com f a função h definida por h(x) = g(f(x)). Esquema para a composição de funções

41 xy D R f(x) f -1 (x) FUNÇÃO INVERSA A idéia agora é entender que y = f(x) e seguir o seguinte procedimento: 1) Isola x; 2) Troca x por y e vice versa.

42 O símbolo para a função inversa de f é f -1 e lê-se função inversa de f. FUNÇÃO INVERSA O símbolo –1 em f -1 não é um expoente; f -1 (x) não significa 1/f(x).

43 x y ou f(x) y = x 2 ou f(x) = x TESTE DA RETA HORIZONTAL Uma função f tem inversa se e somente se o gráfico da mesma for cortado apenas uma vez por qualquer reta horizontal. EXEMPLO: a função f(x) = x 2 tem inversa? reta horizontal FUNÇÃO INVERSA Conclusão: a função f(x) = x 2 não tem inversa.

44 Os gráficos de f e f –1 são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares (reta y = x). Simetria das funções inversas f f -1 AB A B

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