PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO - BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA

Apresentação em tema: "PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO - BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA"— Transcrição da apresentação:

1 PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO - BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA
INFORMÁTICA

2 Professor.: Aquiles Burlamaqui
MÉTODOS NUMÉRICOS DE DETERMINAÇÃO DE RAÍZES: BISSEÇÃO, SECANTE E NEWTON-RAPHSON Professor.: Aquiles Burlamaqui

3 Conteúdo Metodologia Contexto Bibliografia Motivação
Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa

4 Metodologia Aulas Teórico-Práticas: Avaliação:
Em todas as aulas haverão uma discussão inicial, onde serão construídos os conceitos assim como as atividades práticas que servirão como parâmetros para avaliação. Avaliação: A avaliação será feita em cima das prática vistas em sala de aula assim como provas escritas e participação, de maneira a avaliar o aluno continuamente. “Eu escutei e esqueci. Eu vi e lembrei. Eu fiz e Entendi.” Confucius

5 Conteúdo Metodologia Contexto Bibliografia Motivação
Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa

6 Contexto da aula na disciplina
Esta aula de está inserida no contexto da disciplina de Cálculo Numérico cujos objetivos são: Apresentar o cálculo do ponto de vista computacional. Desenvolver as técnicas destinadas a compensar as restrições das representações numéricas. Pré-requisitos: Cálculo I Introdução à Programação

7 Conteúdo Metodologia Contexto Bibliografia Motivação
Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa

8 Bibliografia Rugiero, Márcia A. G. & Lopes, Vera L.R. Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e Computacionais. 2 ed. Makron Books, 1996. Sperandio, Décio et al. Cálculo Numérico: Características Matemáticas e Computacionais. Prentice-Hall, 2003. Franco, Neide M.B.. Cálculo Numérico. Prentice- Hall, 2006.

9 Conteúdo Metodologia Contexto Bibliografia Motivação
Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa

10 MOTIVAÇÃO A busca por zeros de funções:
- em diversas áreas da ciência, surgem modelos matemáticos definidos por uma equação do tipo f(x) = 0 Algumas funções podem ter suas raízes calculadas analiticamente, porém outras são de difícil solução ou de solução desconhecida (polinômios de ordem maior que 3, por exemplo), sendo necessário a solução por métodos numéricos Desejamos portanto encontrar um valor x para x tal que f(x) = 0 Iremos discutir métodos numéricos de implementação computacionalmente viável para encontrar um valor para x dentro de um intervalo com uma precisão razoável

11 Conteúdo Metodologia Contexto Bibliografia Motivação
Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa

12 Idéia central dos métodos
Fase I Localizar ou isolar uma região que contenha a raiz e definir um valor aproximado inicial Fase II Refinamento ou seja melhorar sucessivamente a aproximação inicial obtida na fase I até se obter uma aproximação para a raiz real dentro de uma precisão e prefixada

13 Conteúdo Metodologia Contexto Bibliografia Motivação
Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa

14 Fase I Nesta fase fazemos uma análise teórica e gráfica da função f(x)
O sucesso da fase II depende da precisão desta análise Usamos o Teorema de Cauchy: seja f(x) uma função contínua no intervalo [a, b] se f(a)f(b) < 0 então existe pelo menos um ponto x = x entre a e b que é zero de f(x) a prova deste teorema pode ser encontrada em [Guidorizzi, 2001]

15 Fase I : análise gráfica
Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996]

16 Fase I : análise gráfica
se f(a)f(b) > 0 então podemos ter várias situações no intervalo [a, b]. Estas situações e a análise gráfica são discutidas com mais detalhes em [Guidorizzi, 2001] e [Leithold, 1994] Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996]

17 Fase I : análise gráfica
Vimos portanto, que a análise gráfica do função f(x) é fundamental para se obter boas aproximações para a raiz É suficiente o uso de um dos processos a seguir: i ) Esboçar o gráfico de f(x) e localizar a região onde a curva intercepta o eixo das abcissas; ii ) A partir da equação f(x) = 0 obter a equação equivalente g(x) = h(x) e esboçar seus gráficos. Os pontos de cruzamento das curvas são os zeros procurados, pois f(x)=0 Û g(x) = h(x) iii ) Usar softwares para traçar gráficos

18 Fase I : exemplo com processo i
Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996]

19 Fase I : exemplo com processo ii
Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996]

20 FASE I : TABELA DE VARIAÇÃO DO SINAL
Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996]

21 Conteúdo Metodologia Contexto Bibliografia Motivação
Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa

22 Fase II: refinamento Há vários métodos para refinamento da raiz
Todos pertencem a classe dos métodos iterativos onde um conjunto de instruções é repetido formando cada passo ou ciclo Eles fornecem uma aproximação da raiz É importante: Definir o critério de parada Estudar a convergência e sua eficiência Convergência: Chegar a uma solução aproximada válida.

23 Critérios de parada Existem vários tipo de critérios de parada
Analise do valor da funcao: Erro absoluto: Erro relativo: Limites do intervalo:

24 Fase II: pseudo-código
Ler dados iniciais Realizar cálculos e aproximação iniciais k = 1 Enquanto !criterioSatisfeito E k < limMax criterioSatisfeito = calcularNovaAproximacao() k = k + 1 Fim enquanto ExibirResultados() FASE 1 FASE 2

25 Conteúdo Metodologia Contexto Bibliografia Motivação
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26 FASE II: MÉTODO DA BISSEÇÃO
Usando-se o teorema já apresentado se f(a)f(b) < 0 então existe pelo menos um ponto x = x entre a e b que é zero de f(x) Divide-se ao meio o intervalo [a, b] sucessivamente até que (b-a) < e Cada novo xk = (ak + bk)/2 será o novo ak+1 ou bk+1 de modo a manter válido o teorema acima

27 FASE II: MÉTODO DA BISSEÇÃO

28 Ex: Achar a raiz da equação
no intervalo [2,3] com o erro absoluto

29 FASE II: MÉTODO DA BISSEÇÃO
Vantagens: Simples Converge sempre Desvantagens: convergencia lenta

30 Conteúdo Metodologia Contexto Bibliografia Motivação
Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa

31 Fase II: método de Newton-Raphson
Supondo uma aproximação x0 para a raiz de f(x), no ponto (x0, f(x0)) passa apenas uma única reta tangente, que é a derivada de f(x) em x0. Esta reta tangente corta o eixo x na coordenada x1,definindo por sua vez, o ponto (x1, f(x1)) Por este novo ponto também passa uma única reta tangente que corta o eixo x em x2. Esta nova coordenada define outro ponto (x2, f(x2)) que repete todo o processo x0,x1,... são aproximações cada vez melhores para a raiz da função, o Xk+1 pode ser obtido a partir do Xk através da função:

32 Fase II: método de Newton-Raphson

33 FASE II: MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON (FORMULAÇÃO E ANÁLISE GRÁFICA)
Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996]

34 Fase II: método de Newton-Raphson
Convergência Caso se escolha x0 de forma que x1 saia do intervalo [a,b] o método poderá não convergir. Ex: Ache a raiz da equação para o erro relativo , ou seja:

35 Se Então x0=0,5

36 Fase II: método de Newton-Raphson
Vantagens: Simples Rápida convergência Desvantagens: Nem sempre converge Necessidade de se conhecer a derivada da função Muito sensível à estimativa inicial Se a derivada for nula o método falha

37 Conteúdo Metodologia Contexto Bibliografia Motivação
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38 Fase II: método da Secante
Uma grande desvantagem do método de Newton é a necessidade de se obter f’(x) e calcular seu valor numérico a cada iteração Uma forma de se contornar este problema é substituir a derivada f’(x) pelo quociente das diferenças f’(xk) » ( f(xk) - f(xk-1) ) / ( xk - xk-1)

39 Fase II: método da Secante

40 Fase II: método da Secante
Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996]

41 Fase II: método da Secante
Vantagens: Simples Rápida convergência como o método deNewton e não necessita do conhecimento da derivada da função Desvantagens: Nem sempre converge Muito sensível à estimativa inicial Se a derivada for nula o método falha

42 Conteúdo Metodologia Contexto Bibliografia Motivação
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43 FASE II: COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS APRESENTADOS
O método da Bisseção sempre converge para uma solução O esforço computacional do método da bisseção cresce demasiadamente quando se aumenta a exatidão da raiz desejada Deve ser usado apenas para diminuir o intervalo que contém a raiz para posterior aplicação de outro método, como o método de Newton, por exemplo O método da Secante é uma aproximação para o método de Newton Ao contrário do método da Bisseção o método da Secante e de Newton podem não convergir

44 FASE II: COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS APRESENTADOS
O método da bisseção é bastante simples por não exigir o conhecimento da derivada da equação em questão, porém possui uma convergência lenta O método de Newton é o que apresenta a convergência mais rápida, porém exige o conhecimento da derivada analítica da função em questão O método da Secante é mais lento que o de Newton, porém não exige o conhecimento da derivada analítica da função em questão

45 Conteúdo Metodologia Contexto Bibliografia Motivação
Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa

46 DEMONSTRAÇÃO PRÁTICA DOS MÉTODOS EM AÇÃO

47 Exercícios para os alunos
Implementar os métodos apresentados, de preferência com visualização gráfica Para uma coleção de funções dadas na lista de exercícios

48 Conteúdo Metodologia Contexto Bibliografia Motivação
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49 Pesquisa Em cima de suas implementações:
Encontrar situações de não convergência e explicar o que está acontecendo Definir diferentes critérios de parada, comparar os resultados obtidos e o número de iterações necessários para cada método

50 MÉTODOS NUMÉRICOS DE DETERMINAÇÃO DE RAÍZES: BISSEÇÃO, SECANTE E NEWTON-RAPHSON
Obrigado! Fim. Professor.: Aquiles Burlamaqui