A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO - BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA INFORMÁTICA.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO - BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA INFORMÁTICA."— Transcrição da apresentação:

1 PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO - BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA INFORMÁTICA

2 MÉTODOS NUMÉRICOS DE DETERMINAÇÃO DE RAÍZES: BISSEÇÃO, SECANTE E NEWTON- RAPHSON Professor.: Aquiles Burlamaqui

3 C ONTEÚDO Metodologia Contexto Bibliografia Motivação Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa

4 M ETODOLOGIA Aulas Teórico-Práticas: Em todas as aulas haverão uma discussão inicial, onde serão construídos os conceitos assim como as atividades práticas que servirão como parâmetros para avaliação. Avaliação: A avaliação será feita em cima das prática vistas em sala de aula assim como provas escritas e participação, de maneira a avaliar o aluno continuamente. Eu escutei e esqueci. Eu vi e lembrei. Eu fiz e Entendi. Confucius

5 C ONTEÚDO Metodologia Contexto Bibliografia Motivação Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa

6 C ONTEXTO DA AULA NA DISCIPLINA Esta aula de está inserida no contexto da disciplina de Cálculo Numérico cujos objetivos são: Apresentar o cálculo do ponto de vista computacional. Desenvolver as técnicas destinadas a compensar as restrições das representações numéricas. Pré-requisitos: Cálculo I Introdução à Programação

7 C ONTEÚDO Metodologia Contexto Bibliografia Motivação Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa

8 B IBLIOGRAFIA Rugiero, Márcia A. G. & Lopes, Vera L.R. Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e Computacionais. 2 ed. Makron Books, Sperandio, Décio et al. Cálculo Numérico: Características Matemáticas e Computacionais. Prentice-Hall, Franco, Neide M.B.. Cálculo Numérico. Prentice- Hall, 2006.

9 C ONTEÚDO Metodologia Contexto Bibliografia Motivação Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa

10 MOTIVAÇÃO A busca por zeros de funções: - em diversas áreas da ciência, surgem modelos matemáticos definidos por uma equação do tipo f(x) = 0 Algumas funções podem ter suas raízes calculadas analiticamente, porém outras são de difícil solução ou de solução desconhecida (polinômios de ordem maior que 3, por exemplo), sendo necessário a solução por métodos numéricos Desejamos portanto encontrar um valor para x tal que f( ) = 0 Iremos discutir métodos numéricos de implementação computacionalmente viável para encontrar um valor para dentro de um intervalo com uma precisão razoável

11 C ONTEÚDO Metodologia Contexto Bibliografia Motivação Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa

12 I DÉIA CENTRAL DOS MÉTODOS Fase I Localizar ou isolar uma região que contenha a raiz e definir um valor aproximado inicial Fase II Refinamento ou seja melhorar sucessivamente a aproximação inicial obtida na fase I até se obter uma aproximação para a raiz real dentro de uma precisão prefixada

13 C ONTEÚDO Metodologia Contexto Bibliografia Motivação Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa

14 F ASE I Nesta fase fazemos uma análise teórica e gráfica da função f(x) O sucesso da fase II depende da precisão desta análise Usamos o Teorema de Cauchy: seja f(x) uma função contínua no intervalo [a, b] se f(a)f(b) < 0 então existe pelo menos um ponto x = entre a e b que é zero de f(x) a prova deste teorema pode ser encontrada em [Guidorizzi, 2001]

15 F ASE I : ANÁLISE GRÁFICA Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996]

16 F ASE I : ANÁLISE GRÁFICA Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996] se f(a)f(b) > 0 então podemos ter várias situações no intervalo [a, b]. Estas situações e a análise gráfica são discutidas com mais detalhes em [Guidorizzi, 2001] e [Leithold, 1994]

17 F ASE I : ANÁLISE GRÁFICA Vimos portanto, que a análise gráfica do função f(x) é fundamental para se obter boas aproximações para a raiz É suficiente o uso de um dos processos a seguir: i ) Esboçar o gráfico de f(x) e localizar a região onde a curva intercepta o eixo das abcissas; ii ) A partir da equação f(x) = 0 obter a equação equivalente g(x) = h(x) e esboçar seus gráficos. Os pontos de cruzamento das curvas são os zeros procurados, pois f( )=0 g( ) = h( ) iii ) Usar softwares para traçar gráficos

18 F ASE I : EXEMPLO COM PROCESSO I Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996]

19 F ASE I : EXEMPLO COM PROCESSO II Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996]

20 FASE I : TABELA DE VARIAÇÃO DO SINAL Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996]

21 C ONTEÚDO Metodologia Contexto Bibliografia Motivação Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa

22 F ASE II: REFINAMENTO Há vários métodos para refinamento da raiz Todos pertencem a classe dos métodos iterativos onde um conjunto de instruções é repetido formando cada passo ou ciclo Eles fornecem uma aproximação da raiz É importante: Definir o critério de parada Estudar a convergência e sua eficiência

23 C RITÉRIOS DE PARADA Existem vários tipo de critérios de parada Analise do valor da funcao: Erro absoluto: Erro relativo: Limites do intervalo:

24 F ASE II: PSEUDO - CÓDIGO Ler dados iniciais Realizar cálculos e aproximação iniciais k = 1 Enquanto !criterioSatisfeito E k < limMax criterioSatisfeito = calcularNovaAproximacao() k = k + 1 Fim enquanto ExibirResultados() FASE 1 FASE 2

25 C ONTEÚDO Metodologia Contexto Bibliografia Motivação Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa

26 FASE II: MÉTODO DA BISSEÇÃO Usando-se o teorema já apresentado se f(a)f(b) < 0 então existe pelo menos um ponto x = entre a e b que é zero de f(x) Divide-se ao meio o intervalo [a, b] sucessivamente até que (b-a) < Cada novo x k = (a k + b k )/2 será o novo a k+1 ou b k+1 de modo a manter válido o teorema acima

27 FASE II: MÉTODO DA BISSEÇÃO

28 Ex: Achar a raiz da equação no intervalo [2,3] com o erro absoluto

29 FASE II: MÉTODO DA BISSEÇÃO Vantagens: Simples Converge sempre Desvantagens: convergencia lenta

30 C ONTEÚDO Metodologia Contexto Bibliografia Motivação Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa

31 F ASE II: MÉTODO DE N EWTON - R APHSON Supondo uma aproximação x 0 para a raiz de f(x), no ponto (x 0, f(x 0 )) passa apenas uma única reta tangente, que é a derivada de f(x) em x 0. Esta reta tangente corta o eixo x na coordenada x 1,definindo por sua vez, o ponto (x 1, f(x 1 )) Por este novo ponto também passa uma única reta tangente que corta o eixo x em x 2. Esta nova coordenada define outro ponto (x 2, f(x 2 )) que repete todo o processo x 0,x 1,... são aproximações cada vez melhores para a raiz da função, o X k+1 pode ser obtido a partir do X k através da função:

32 F ASE II: MÉTODO DE N EWTON - R APHSON

33 FASE II: MÉTODO DE NEWTON- RAPHSON (FORMULAÇÃO E ANÁLISE GRÁFICA) Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996]

34 Convergência Caso se escolha x 0 de forma que x 1 saia do intervalo [a,b] o método poderá não convergir. Ex: Ache a raiz da equação para o erro relativo, ou seja: F ASE II: MÉTODO DE N EWTON - R APHSON

35 Se Então x 0 =0,5

36 F ASE II: MÉTODO DE N EWTON - R APHSON Vantagens: Simples Rápida convergência Desvantagens: Nem sempre converge Necessidade de se conhecer a derivada da função Muito sensível à estimativa inicial Se a derivada for nula o método falha

37 C ONTEÚDO Metodologia Contexto Bibliografia Motivação Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa

38 F ASE II: MÉTODO DA S ECANTE Uma grande desvantagem do método de Newton é a necessidade de se obter f(x) e calcular seu valor numérico a cada iteração Uma forma de se contornar este problema é substituir a derivada f(x) pelo quociente das diferenças f(x k ) ( f(x k ) - f(x k-1 ) ) / ( x k - x k-1 )

39 F ASE II: MÉTODO DA S ECANTE

40 Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996] F ASE II: MÉTODO DA S ECANTE

41 Vantagens: Simples Rápida convergência como o método deNewton e não necessita do conhecimento da derivada da função Desvantagens: Nem sempre converge Muito sensível à estimativa inicial Se a derivada for nula o método falha

42 C ONTEÚDO Metodologia Contexto Bibliografia Motivação Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa

43 FASE II: COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS APRESENTADOS O método da Bisseção sempre converge para uma solução O esforço computacional do método da bisseção cresce demasiadamente quando se aumenta a exatidão da raiz desejada Deve ser usado apenas para diminuir o intervalo que contém a raiz para posterior aplicação de outro método, como o método de Newton, por exemplo O método da Secante é uma aproximação para o método de Newton Ao contrário do método da Bisseção o método da Secante e de Newton podem não convergir

44 FASE II: COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS APRESENTADOS O método da bisseção é bastante simples por não exigir o conhecimento da derivada da equação em questão, porém possui uma convergência lenta O método de Newton é o que apresenta a convergência mais rápida, porém exige o conhecimento da derivada analítica da função em questão O método da Secante é mais lento que o de Newton, porém não exige o conhecimento da derivada analítica da função em questão

45 C ONTEÚDO Metodologia Contexto Bibliografia Motivação Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa

46 DEMONSTRAÇÃO PRÁTICA DOS MÉTODOS EM AÇÃO

47 E XERCÍCIOS PARA OS ALUNOS Implementar os métodos apresentados, de preferência com visualização gráfica Para uma coleção de funções dadas na lista de exercícios

48 C ONTEÚDO Metodologia Contexto Bibliografia Motivação Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa

49 P ESQUISA Em cima de suas implementações: Encontrar situações de não convergência e explicar o que está acontecendo Definir diferentes critérios de parada, comparar os resultados obtidos e o número de iterações necessários para cada método

50 MÉTODOS NUMÉRICOS DE DETERMINAÇÃO DE RAÍZES: BISSEÇÃO, SECANTE E NEWTON- RAPHSON Professor.: Aquiles Burlamaqui O BRIGADO ! F IM.


Carregar ppt "PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO - BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA INFORMÁTICA."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google