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Integração Numérica. Integral O conceito de integral esta ligado ao problema de determinar a área de uma figura plana qualquer. Integral de uma função.

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1 Integração Numérica

2 Integral O conceito de integral esta ligado ao problema de determinar a área de uma figura plana qualquer. Integral de uma função f(x) no intervalo [a,b]

3 A integral da função f(x) é representada por F(x) Em determinados casos, F(x) não pode ser calculada Obter F(x) não é trivial. Nem sempre se tem a forma analítica da função a ser integrada, f(x), mas uma tabela de pontos que descreve o comportamento da função Nestes casos, utilizamos a integração numérica

4 Integração Numérica A solução numérica de uma integral é chamada de quadratura. Há dois métodos bastante empregados para calcular a quadratura de uma função que são chamadas regras de Newton-Cotes: – Regra dos trapézios – Regra de Simpson

5 Regra dos trapézios substituição da função f(x) por um polinômio que a aproxime no intervalo [a, b] em pontos igualmente espaçados O problema fica resolvido pela integração de um polinômio Na regra dos trapézios, utiliza-se um polinômio interpolador de Lagrange do primeiro grau onde

6 Integrando no intervalo [a,b] teremos O que é a formula da área do trapézio, como mostrado na figura onde

7 Quanto for maior o intervalo, maior será o erro do método. Dessa forma, um melhoramento no método consiste em dividir o intervalo em vários pedaços, calcular a área de cada um deles e em seguida somar todos

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9 Ex:Calcule a integral de no intervalo [0,1] com 10 subintervalos

10 Regra 1/3 de Simpson podemos usar a fórmula de Lagrange para estabelecer a fórmula de integração resultante da aproximação de f(x) por um polinômio interpolador de grau 2 Seja p 2 (x) que interpola f(x) nos pontos: x 0 = a x 1 = x 0 + h x 2 = x 0 + 2h = b

11 Regra 1/3 de Simpson

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15 Resolvendo L 0 Substituindo (x-x 0 )/h=y temos que dx = hdy. Daí, temos: X-x 1 =x 0 +yh-(x 0 +h)=(y-1)h X-x 2 = x0+yh-(x0+2h)=(y-2)h X=x 0 ->y=0 e X=x 2 ->y=2

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18 Exemplo Estimar o valor da integral de e x no intervalo [0,1] através da regra 1/3 de Simpson

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20 Regra 1/3 de Simpson Repetida

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22 Exercício Estimar a integral de e^x no intervalo de zero a um usando a regra 1/3 de Simpson repetida 3 vezes

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