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Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas - derivação numérica: -aproximação das derivadas: diferenças divididas finitas -diferenças finitas de.

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1 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas - derivação numérica: -aproximação das derivadas: diferenças divididas finitas -diferenças finitas de primeira ordem -diferenças finitas de segunda ordem -formulas com precisão elevada -derivação com pontos não igualmente espaçados - integração numérica: -Integração Newton-Cotes: -regra de trapézios -regra de Simpson 1/3 -regra de Simpson 3/8 -integração com pontos não equidistantes -Integração de funções: -método de Romberg -quadratura Gaussiana Derivação e integração numéricas Pontos mais importantes: 1

2 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas A função a ser diferenciada ou integrada pode ser tipicamente: -uma função contínua simples e.g. polinómio, exponencial ou trigonométrica - uma função contínua complicada, difícil ou frequentemente impossível de ser derivada ou integrada directamente - conjunto dos pontos Nos últimos dois casos a derivada ou integral é determinada numericamente usando métodos aproximados! Engenharia: - estudo de variação de quantidades físicas com o espaço e/ou tempo > derivação - as leis de natureza são dadas por equações diferenciais (mecânica dos fluidos, transferência do calor e massa, cinética, etc.), solução > integração 2

3 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas) Derivação numérica de primeira ordem: (i) diferença dividida finita progressiva: -a expansão de Taylor pode ser usada para aproximar as derivadas de uma função contínua: -truncatura após o segundo termo, e rearrangando o resultado para a derivada dá: -h=x i+1 -x i (passo) -o erro é proporcional a h -o operador representa as diferença finitas progressivas eq. * 3 truncatura

4 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas - Exemplo 100,54 20,250,49 30,50,32 40,750,01 xf(x)i 4 -0,2 -0,68 -1,24 -

5 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas) (ii) diferença dividida finita regressiva: -duma maneira semelhante a expansão de Taylor pode ser escrita para um ponto anterior: eq. ** - eq. ** pode ser rearrangada para a derivada: -o erro é proporcional a h -o operador representa as diferença finitas regressivas 5 truncatura

6 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas) (iii) diferença dividida finita central: -subtracção de eq.** na eq. * resulta: - rearrangando para a derivada temos: 6

7 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas 7 - Exemplo 100,54 20,250,49 30,50,32 40,750,01 xf(x)i -0,2-- -0,68-0,2-0,44 -1,24-0,68-0,96 --1,24-

8 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas) Derivação numérica de segunda ordem: (i) diferença dividida finita progressiva: -a expansão de Taylor pode para aproximar o valor de função no ponto x+2h: -multiplicação de eq.* por 2, e subtracção na eq. ***, após rearranjo resulta na formula seguinte para a segunda derivada: eq. *** 8

9 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas (ii) diferença dividida finita regressiva: Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas) (iii) diferença dividida finita central: 9

10 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas - Exemplo 100,54 20,250,49 30,50,32 40,750,01 xf(x)i 10 -1, ,24--1,92 --1,92-2,24 --2,24-

11 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas) Formulas com precisão elevada: -o nível de precisão da aproximação pode ser elevada considerando mais alguns termos da expansão de Taylor: truncatura -rearranjando a expressão anterior para a primeira derivada dá:

12 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas

13 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas Diferenciação numérica Derivação com pontos não igualmente espaçados: -às vezes dados (experimentais) disponíveis não são igualmente espaçados ----> os métodos anteriores não podem ser usados -solução: aplicação de um polinómio de Lagrange de grau 2 para cada conjunto de 3 pontos, e derivação analítica do aproximador: -vantagem: x pode ter qualquer valor -desvantagem: a expressão é mais complicada do que dif. div. fin. 13

14 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas Diferenciação numérica - a diferenciação numérica geralmente tende a amplificar os erros que afectam os dados > a primeira aproximação com regressão seguida de derivação - também a diferenciação baseada num polinómio interpolador é um processo essencialmente instável > pode conduzir a erros importantes 14

15 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas Integração numérica, formulas de Newton-Cotes -substituir uma função muito complicada ou conhecida apenas sob forma discreta por uma função de aproximação facilmente integrável: sendo f n (x) um polinómio de grau n (bom aproximador e facilmente integrável) -formulas fechadas: os valores de função são conhecidas nos limites (interpolação) -formulas abertas: os limites de integração são fora do intervalo dos dados disponíveis (extrapolação)-usado mais para a solução de equações diferenciais ordinárias 15

16 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas Integração numérica, formulas de Newton-Cotes Regra dos trapézios: -o polinómio aproximador de função é uma recta (grau 1) -a área de baixo do aproximador é a área de um trapézio calculado: A=[(b+B)/2]h b- base menor B-base maior h-altura -aplicando a esta regra para o aproximador: 16 Erro InIn

17 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas Integração numérica, formulas de Newton-Cotes -um polinómio de grau um pode ser escrito: -integrando esta função entre a e b temos que: 17

18 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas Integração numérica, formulas de Newton-Cotes -erro da regra dos trapézios: -a segunda derivada de uma função linear é zero > exacto 18

19 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas Integração numérica, formulas de Newton-Cotes Aplicação múltipla da regra dos trapézios: c- ponto médio do intervalo de interesse h=(b-a)/2 19 InIn Erro

20 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas Integração numérica, formulas de Newton-Cotes -quando temos n+1 pontos igualmente espaçados (x 0,x 1,...,x n ): onde h=(b-a)/n -erro de integração:-o erro para cada intervalo pode ser somado 20

21 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas xf(x)i 21 - Exemplo

22 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas Integração numérica, formulas de Newton-Cotes Regras de Simpson: -uma maneira para melhorar a aproximação é aumentar o grau da função aproximadora (mais pontos necessários) -regra de Simpson 1/3: pol. de grau > 3 pontos -regra de Simpson 3/8: pol. de grau > 4 pontos Regra de Simpson 1/3: -na expressão anterior f 2 (x) é um polinómio de Lagrange, por isso: 22

23 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas Integração numérica, formulas de Newton-Cotes -a solução do integral do polinómio é dado por a eq. seguinte (após algumas manipulações): onde: x0=a;x2=b;x 1 =(b+a)/2;h=(b-a)/2 -erro: -curioso que o resultado é correcto até ao terceiro grau (exacto para uma função cúbica) usando uma parábola 23

24 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas Aplicação múltipla da regra de Simpson 1/3: -para n (h=(b-a)/n) intervalos igualmente espaçados: Integração numérica, formulas de Newton-Cotes ou -o erro é dado pelo soma dos erros de cada intervalo: -obrigatório o número de intervalos ser par 24

25 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas xf(x)i - Exemplo 25

26 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas Integração numérica, formulas de Newton-Cotes Regra de Simpson 3/8: -na expressão anterior f 3 (x) é um polinómio de Lagrange, por isso precisamos 4 pontos -o resultado de integração é dado por: onde: x0=a;x3=b;h=(b-a)/3 -mesmo que usemos um aproximador de grau superior do que na regra de Simpson 1/3, o erro de integração têm a mesma grandeza: 26

27 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas xf(x)i - Exemplo 27

28 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas Integração numérica, formulas de Newton-Cotes Pontos desigualmente espaçados: -temos que avaliar o integral para cada intervalo individualmente (par de pontos), depois somar o resultado >regra de trapézios: -se alguns segmentos têm amplitudes iguais, agrupamento é possível -----> regra de Simpson 28

29 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas Integração numérica, integração de equações - os métodos discutidos até este ponto (formulas de Newton-Cotes) são particularmente úteis quando os dados estão disponíveis como um conjunto dos valores - o erro cometido com a aproximação diminui com o aumento do número de intervalos/pontos (n) - mas para um número de intervalos muito elevado, os erros de arredondamento tornam-se dominantes > pouca precisão - quando a função é conhecida existem outros métodos mais eficientes 29

30 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas Integração numérica, integração de equações Quadratura Gaussiana: -anteriormente, o integral de uma função foi determinado usando (várias) funções de aproximação e intervalos fixos, e.g.: -agora, suponha-se que escolhemos outros dois pontos na curva (x o e x 1 ), por forma a que os erros de aproximação negativos e positivos se anulem: x f(x) ab f(a) f(b) x0x0 x1x1 30

31 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas -a expressão da regra de trapézios pode ser escrita: -as constantes c 0 e c 1 podem ser determinadas baseadas no facto de que o resultado deve ser exacto para uma constante e uma recta, e.g.: onde -agora, suponha que os pontos da função também são desconhecidos: Integração numérica, integração de equações 31

32 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas Integração numérica, integração de equações -4 incógnitas > precisamos 4 condições -agora suponha-se que a fórmula anterior é exacta para uma constante (y=1), uma recta (y=x), uma parábola (y=x 2 ) e uma cúbica (y=x 3 ): c 0 =c 1 =1 fórmula de Gauss- Legrende com dois pontos 32

33 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas Integração numérica, integração de equações -a expressão anterior só funciona, se os limites de integração são -1 a 1 (generalidade) -qualquer limite pode ser transformado usando uma mudança de variável: x=a 0 +a 1 x d x=a ---> x d =-1 x=b ---> x d =1 a=a 0 -a 1 b=a 0 +a 1 a 0 =(a+b)/2 a 1 =(b-a)/2 Formulas com mais pontos: -2n incógnitas > 2n equações 33 -os valores de c i em função de número de pontos encontram-se em livros!

34 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas nPeso (c i )Valor de x i 2c 1 = c 2 = x 1 = x 2 = c 1 = c 2 = c 3 = x 1 = x 2 = x 3 = c 1 = c 2 = c 3 = c 4 = x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = c 1 = c 2 = c 3 = c 4 = c 5 = x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = c 1 = c 2 = c 3 = c 4 = c 5 = c 6 = x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 6 =

35 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas Integração numérica, integração de equações Erro da quadratura Gaussiana: n-número de pontos menos um (nº de segmentos) -derivada de ordem (2n+2) da função após mudança de variáveis 35 n=2

36 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas Integração numérica, integração de equações - Exemplo H=5 m 3 m x 0 = 1 m Agua 0 h f = 1 m 36

37 Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas - Exemplo -0,861130,499560, ,339980,862840, , ,782910, ,861130,390110,34785 xdxd f(x)ci I=1,


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