Derivação e integração numéricas

Apresentação em tema: "Derivação e integração numéricas"— Transcrição da apresentação:

1 Derivação e integração numéricas
Pontos mais importantes: - derivação numérica: -aproximação das derivadas: diferenças divididas finitas -diferenças finitas de primeira ordem -diferenças finitas de segunda ordem -formulas com precisão elevada -derivação com pontos não igualmente espaçados - integração numérica: -Integração Newton-Cotes: -regra de trapézios -regra de Simpson 1/3 -regra de Simpson 3/8 -integração com pontos não equidistantes -Integração de funções: -método de Romberg -quadratura Gaussiana 1

2 Engenharia: - estudo de variação de quantidades físicas com o espaço e/ou tempo > derivação - as leis de natureza são dadas por equações diferenciais (mecânica dos fluidos, transferência do calor e massa, cinética, etc.), solução > integração A função a ser diferenciada ou integrada pode ser tipicamente: -uma função contínua simples e.g. polinómio, exponencial ou trigonométrica - uma função contínua complicada, difícil ou frequentemente impossível de ser derivada ou integrada directamente - conjunto dos pontos Nos últimos dois casos a derivada ou integral é determinada numericamente usando métodos aproximados! 2

3 Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas)
Derivação numérica de primeira ordem: (i) diferença dividida finita progressiva: -a expansão de Taylor pode ser usada para aproximar as derivadas de uma função contínua: eq. * truncatura -truncatura após o segundo termo, e rearrangando o resultado para a derivada dá: -h=xi+1-xi (passo) -o erro é proporcional a h -o operador D representa as diferença finitas progressivas 3

4 - Exemplo i x f(x) 1 0 0,54 2 0,25 0,49 3 0,5 0,32 4 0,75 0,01 -0,2 -0,68 -1,24 - 4

5 Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas)
(ii) diferença dividida finita regressiva: -duma maneira semelhante a expansão de Taylor pode ser escrita para um ponto anterior: truncatura eq. ** - eq. ** pode ser rearrangada para a derivada: -o erro é proporcional a h -o operador representa as diferença finitas regressivas 5

6 Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas)
(iii) diferença dividida finita central: -subtracção de eq.** na eq. * resulta: - rearrangando para a derivada temos: 6

7 - Exemplo i x f(x) 1 0 0,54 2 0,25 0,49 3 0,5 0,32 4 0,75 0,01 -0,2 - - -0,68 -0,2 -0,44 -1,24 -0,68 -0,96 - -1,24 - 7

8 Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas)
Derivação numérica de segunda ordem: (i) diferença dividida finita progressiva: -a expansão de Taylor pode para aproximar o valor de função no ponto x+2h: eq. *** -multiplicação de eq.* por 2, e subtracção na eq. ***, após rearranjo resulta na formula seguinte para a segunda derivada: 8

9 Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas)
(ii) diferença dividida finita regressiva: (iii) diferença dividida finita central: 9

10 - Exemplo i x f(x) 1 0 0,54 2 0,25 0,49 3 0,5 0,32 4 0,75 0,01 -1,92 - - -2, ,92 - -1,92 -2,24 - -2,24 - 10

11 Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas)
Formulas com precisão elevada: -o nível de precisão da aproximação pode ser elevada considerando mais alguns termos da expansão de Taylor: truncatura -rearranjando a expressão anterior para a primeira derivada dá:

12

13 Diferenciação numérica
Derivação com pontos não igualmente espaçados: -às vezes dados (experimentais) disponíveis não são igualmente espaçados ----> os métodos anteriores não podem ser usados -solução: aplicação de um polinómio de Lagrange de grau 2 para cada conjunto de 3 pontos, e derivação analítica do aproximador: -vantagem: x pode ter qualquer valor -desvantagem: a expressão é mais complicada do que dif. div. fin. 13

14 Diferenciação numérica
- a diferenciação numérica geralmente tende a amplificar os erros que afectam os dados > a primeira aproximação com regressão seguida de derivação - também a diferenciação baseada num polinómio interpolador é um processo essencialmente instável > pode conduzir a erros importantes 14

15 Integração numérica, formulas de Newton-Cotes
-substituir uma função muito complicada ou conhecida apenas sob forma discreta por uma função de aproximação facilmente integrável: sendo fn(x) um polinómio de grau n (bom aproximador e facilmente integrável) -formulas fechadas: os valores de função são conhecidas nos limites (interpolação) -formulas abertas: os limites de integração são fora do intervalo dos dados disponíveis (extrapolação)-usado mais para a solução de equações diferenciais ordinárias 15

16 Integração numérica, formulas de Newton-Cotes
Regra dos trapézios: -o polinómio aproximador de função é uma recta (grau 1) -a área de baixo do aproximador é a área de um trapézio calculado: A=[(b+B)/2]h b- base menor B-base maior h-altura -aplicando a esta regra para o aproximador: Erro In 16

17 Integração numérica, formulas de Newton-Cotes
-um polinómio de grau um pode ser escrito: -integrando esta função entre a e b temos que: 17

18 Integração numérica, formulas de Newton-Cotes
-erro da regra dos trapézios: -a segunda derivada de uma função linear é zero > exacto 18

19 Integração numérica, formulas de Newton-Cotes
Aplicação múltipla da regra dos trapézios: c- ponto médio do intervalo de interesse h=(b-a)/2 Erro In 19

20 Integração numérica, formulas de Newton-Cotes
-quando temos n+1 pontos igualmente espaçados (x0,x1,...,xn): onde h=(b-a)/n -erro de integração: -o erro para cada intervalo pode ser somado 20

21 - Exemplo i x f(x) 1 0.3 21

22 Integração numérica, formulas de Newton-Cotes
Regras de Simpson: -uma maneira para melhorar a aproximação é aumentar o grau da função aproximadora (mais pontos necessários) -regra de Simpson 1/3: pol. de grau > 3 pontos -regra de Simpson 3/8: pol. de grau > 4 pontos Regra de Simpson 1/3: -na expressão anterior f2(x) é um polinómio de Lagrange, por isso: 22

23 Integração numérica, formulas de Newton-Cotes
-a solução do integral do polinómio é dado por a eq. seguinte (após algumas manipulações): onde: x0=a ; x2=b ; x1=(b+a)/2 ; h=(b-a)/2 -erro: -curioso que o resultado é correcto até ao terceiro grau (exacto para uma função cúbica) usando uma parábola 23

24 Integração numérica, formulas de Newton-Cotes
Aplicação múltipla da regra de Simpson 1/3: -para n (h=(b-a)/n) intervalos igualmente espaçados: ou -o erro é dado pelo soma dos erros de cada intervalo: -obrigatório o número de intervalos ser par 24

25 - Exemplo i x f(x) 1 0.3 25

26 Integração numérica, formulas de Newton-Cotes
Regra de Simpson 3/8: -na expressão anterior f3(x) é um polinómio de Lagrange, por isso precisamos 4 pontos -o resultado de integração é dado por: onde: x0=a ; x3=b ; h=(b-a)/3 -mesmo que usemos um aproximador de grau superior do que na regra de Simpson 1/3, o erro de integração têm a mesma grandeza: 26

27 - Exemplo i x f(x) 1 0.3 27

28 Integração numérica, formulas de Newton-Cotes
Pontos desigualmente espaçados: -temos que avaliar o integral para cada intervalo individualmente (par de pontos), depois somar o resultado >regra de trapézios: -se alguns segmentos têm amplitudes iguais, agrupamento é possível -----> regra de Simpson 28

29 Integração numérica, integração de equações
- os métodos discutidos até este ponto (formulas de Newton-Cotes) são particularmente úteis quando os dados estão disponíveis como um conjunto dos valores - o erro cometido com a aproximação diminui com o aumento do número de intervalos/pontos (n) - mas para um número de intervalos muito elevado, os erros de arredondamento tornam-se dominantes > pouca precisão - quando a função é conhecida existem outros métodos mais eficientes 29

30 Integração numérica, integração de equações
Quadratura Gaussiana: -anteriormente, o integral de uma função foi determinado usando (várias) funções de aproximação e intervalos fixos, e.g.: -agora, suponha-se que escolhemos outros dois pontos na curva (xo e x1), por forma a que os erros de aproximação negativos e positivos se anulem: f(x) f(a) f(b) a x0 x1 b x 30

31 Integração numérica, integração de equações
-a expressão da regra de trapézios pode ser escrita: -as constantes c0 e c1 podem ser determinadas baseadas no facto de que o resultado deve ser exacto para uma constante e uma recta, e.g.: onde -agora, suponha que os pontos da função também são desconhecidos: 31

32 Integração numérica, integração de equações
-4 incógnitas > precisamos 4 condições -agora suponha-se que a fórmula anterior é exacta para uma constante (y=1), uma recta (y=x), uma parábola (y=x2) e uma cúbica (y=x3): c0=c1=1 32 fórmula de Gauss-Legrende com dois pontos

33 Integração numérica, integração de equações
-a expressão anterior só funciona, se os limites de integração são -1 a 1 (generalidade) -qualquer limite pode ser transformado usando uma mudança de variável: x=a ---> xd=-1 x=b ---> xd=1 a=a0-a1 b=a0+a1 a0=(a+b)/2 a1=(b-a)/2 x=a0+a1xd Formulas com mais pontos: -2n incógnitas > 2n equações -os valores de ci em função de número de pontos encontram-se em livros! 33

34 n Peso (ci) Valor de xi 2 c1 = c2 = x1 = x2 = 3 c1 = c2 = c3 = x1 = x2 = x3 = 4 c1 = c2 = c3 = c4 = x1 = x2 = x3 = x4 = 5 c1 = c2 = c3 = c4 = c5 = x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = 6 c1 = c2 = c3 = c4 = c5 = c6 = x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = x6 =

35 Integração numérica, integração de equações
Erro da quadratura Gaussiana: n -número de pontos menos um (nº de segmentos) -derivada de ordem (2n+2) da função após mudança de variáveis n=2 35

36 Integração numérica, integração de equações
- Exemplo Agua 3 m H=5 m x0= 1 m hf= 1 m 36

37 - Exemplo i xd f(x) c -0, , ,34785 -0, , ,65214 0, , ,65214 0, , ,34785 I=1,3827 1 2 3 37