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11:43 Elementos de Análise Numérica Prof. Carlos Ruberto Fragoso Júnior.

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1 11:43 Elementos de Análise Numérica Prof. Carlos Ruberto Fragoso Júnior

2 11:45 Solução de problemas de Engenharia Sem computador Com computador Formulação Solução Interpretação Formulação Solução Interpretação

3 Tópicos Interpolação Ajuste de equações Integração numérica Derivadas numéricas Raízes de equações Sistemas de equações lineares Sistemas de equações não lineares

4 Aplicações em Recursos Hídricos Raizes da equação de manning Canal prismático Canal com seção dada em tabela Equação de remanso Solução da equação para encontrar dx ideal para muskingun cunge (propagação de vazões) Solução da propagação de reservatório usando Newton

5 Interpolação linear A forma mais simples de interpolação é a interpolação linear, em que dois pontos são unidos por uma linha reta Interpolação numérica cota volume x

6 Interpolação quadrática Encontra uma parábola que aproxima 3 dados consecutivos Interpolação numérica cota volume x

7 Splines Splines interpolam os dados e garantem a continuidade da função e da derivada de ordem m. Para assegurar isto, a interpolação deve ser feita utilizando polinômios de grau m+1. Para garantir a continuidade da função, basta utilizar retas (polinômios de primeiro grau) Para garantir a continuidade da função e da sua primeira derivada, é necessário utilizar parábolas. Para garantir a continuidade da função, e das duas primeiras derivadas, é necessário usar splines cúbicos. Interpolação numérica

8 Splines Alguns softwares de planilha usam splines cúbicos para suavizar linhas de gráficos. Interpolação numérica

9 Splines Os splines cúbicos podem causar alguns problemas. Interpolação numérica

10 Splines Os splines cúbicos podem causar alguns problemas. Interpolação numérica

11 Rotinas para interpolação Existem rotinas prontas em praticamente qualquer linguagem para interpolação com polinômios e splines. Calculadora, Matlab, Excel, etc… Interpolação numérica

12 Ajuste de equações Em alguns casos é necessário gerar funções que aproximam razoavelmente um conjunto de dados. Ao contrário da interpolação, no ajuste não é necessário respeitar todos os pontos. A idéia é minimizar os erros com uma função simples.

13 Ajuste – exemplo em simulação Relação entre largura de um rio e área de drenagem obtida a partir de seções transversais em locais de postos fluviométricos da ANA Utilizada para calcular os parâmetros do modelo Muskingum Cunge em locais sem dados. Ajuste de equações

14 Ajuste – exemplo em simulação Curva chave de um posto pluviométrico é um ajuste de uma equação pré-determinada aos dados de medição de vazão. Ajuste de equações

15 11:45 Introdução – Integral Numérica Em determinadas situações integrais ou derivadas são difíceis ou mesmo impossíveis de se resolver analiticamente. Forma de obtenção de uma aproximação para a integral ou diferencial de f(x) Métodos Numéricos.

16 Integração numérica Os problemas de integração numérica surgem, por exemplo, quando é necessário obter informações de área molhada e raio hidráulico de uma seção transversal de um rio, definida por pares de pontos x e y. Também surgem quando é necessário discretizar uma função analítica contínua, de forma que sua área seja mantida.

17 Integração numérica

18 11:46 Integração numérica Idéia básica da integração numérica substituição da função f(x) por uma função que aproxime razoavelmente no intervalo [a, b].

19 11:48 Integração numérica Substituição da função por uma função. Polinômio de Newton:

20 11:49 Integração numérica O uso desta técnica decorre do fato de: por vezes, f(x) ser uma função muito difícil de integrar, contrariamente a um polinômio; a única informação sobre f(x) ser um conjunto de pares ordenados.

21 11:50 Métodos de integração numérica mais utilizados Fórmulas de Newton-Cotes. Regra do Trapézio simples, x 0 =a e x n =b; Regra do Trapézio composta, x 0 =a e x n =b; Regra de Simpson, x 0 =a e x n =b.

22 11:51 Regra do trapézio simples x f(x) x0x0 x1x1 f(x 1 ) f(x 0 ) Aproxima a área sob a curva pela área de um trapézio

23 11:52 Regra do trapézio simples Intervalo [a, b] relativamente pequeno. aproximação do valor do integral é aceitável. Intervalo [a, b] de grande amplitude. aproximação inadequada; pode-se subdividi-lo em n sub-intervalos, e em cada um a função é aproximada por uma função linear.

24 11:53 Regra do trapézio composta Intervalo [a, b] de grande amplitude. Soma da área de n trapézios, cada qual definido pelo seu sub-intervalo.

25 11:54 Regra do trapézio composta Fórmula: Só os termos f(x 0 ) e f(x n ) não se repetem, assim:

26 11:58 Regra do trapézio composta Regra do Trapézio Simples: 2 pontos (x 0 =0,0 e x 1 =4,0) I=h/2*(y0+y1)=2x(1, ,24254) = 2,48508 Regra do Trapézio Composta: 3 pontos (x 0 =0,0,x 1 =2,0,x 2 =4,0) I=h/2(y 0 +2y 1 +y 2 )=1x(1, x0, ,24254) = 2,1369 Regra do Trapézio Composta: 9 pontos I=(0,5/2)x(y 0 +2y 1 +2y 2 +2y 3 +2y 4 +2y 5 +2y 6 +2y 7 +y 8 ) =2,0936 xy=(1+x²) -1/2 0.01, , , , , , , , ,24254 A aproximação para 9 pontos é melhor, dado que o valor real é 2,0947. Exemplo: Estimar o valor de

27 11:59 Regra do trapézio composta

28 11:59 Regra do trapézio - Erro x f(x) x0x0 x1x1 f(x 1 ) f(x 0 ) ERRO! Erro: E = I – T T - valor da integral numérica. I - valor da integral obtida pela integração de f(x).

29 12:01 Regra do trapézio - Erro Erro da Regra do Trapézio Simples Erro da Regra do Trapézio Composta

30 12:02 Regra do trapézio - Erro Exemplo: Seja, calcule uma aproximação para I usando a Regra dos Trapézios Simples. Estime o erro cometido.

31 12:03 Regra do trapézio - Erro Estimativa do erro cometido:

32 12:05 Regra de Simpson x f(x) x0x0 x1x1 f(x 1 ) f(x 0 ) Aproxima a área sob a curva pela área de um polinômio de grau dois. x2x2 f(x 2 )

33 12:06 Regra de Simpson Fórmula: Considerando n sub-intervalos (n deve ser um número par):

34 12:07 Regra de Simpson

35 12:08 Regra de Simpson Dividindo [0,1] em seis subintervalos, temos: h=1/6 Regra de simpson S =1/18[1+4(6/7+2/3+6/11)+2(3/4+3/5)+1/2] = 0,69317 Valor da integral I = ln(2) = 0,69315 xy=(1+x) , /66/7 2/63/4 3/62/3 4/63/5 5/66/11 11/2 Exemplo: Estimar o valor de

36 12:09 Regra de Simpson- Erro Erro da Regra de Simpson

37 12:11 Diferenciação numérica Idéia básica da diferenciação numérica Aproximar a derivada real em um ponto utilizando diferenciais pequenos. Utilizando principalmente na solução de equações diferenciais

38 12:12 Diferenciação numérica x f x0x0 x1x1

39 12:13 Diferenciação numérica Erros de truncamento As derivadas numéricas são apenas uma aproximação razoável das derivadas analíticas. É possível avaliar o erro cometido nesta aproximação utilizando as séries de Taylor

40 12:13 Séries de Taylor A série de Taylor permite estimar o valor de uma função num ponto a partir do valor da função e das suas derivadas em um ponto próximo. Onde h é a diferença entre x i+1 e x i. A série de Taylor é infinita. A aproximação da derivada numérica é finita

41 12:14 Diferenciação numérica Séries de Taylor O resto O resto é dado por Onde f n+1 é a derivada de ordem n+1 e é um valor entre x i+1 e x i

42 12:15 Séries de Taylor e derivadas A derivada numérica tem erro de truncamento dado por R n /h

43 12:16 Séries de Taylor e derivadas O valor do erro R 1 /h é da ordem de h, por isso pode-se expressar Onde O(h) é um erro da ordem de h. Isto significa que quanto menor o passo (incremento), menor o erro da aproximação.

44 12:16 Erros de arredondamento Erros de arredondamento ocorrem porque o computador utiliza uma representação binária com um número finito de bytes para representar os números reais.

45 12:16 Erros – compromisso entre truncamento e arredondamento arredondamento truncamento total erro Incremento

46 12:16 Tipos de derivadas numéricas Progressiva forward Regressiva backward Centrada Centered Considerando que h é pequeno, o erro de truncamento da derivada numérica centrada é menor do que os outros.

47 12:16 Tipos de derivadas numéricas Derivada segunda:

48 12:17 Tipos de derivadas numéricas x f regressiva analítica progressiva x0x0 x1x1 x2x2 centrada

49 12:17 Tipos de derivadas numéricas

50 Exemplo derivada numérica A celeridade cinemática de propagação de perturbações no escoamento é calculada por: onde c é a celeridade, Q é a vazão e A é a área da seção transversal

51 Exemplo derivada numérica Considerando uma seção prismática regular: h

52 Exemplo derivada numérica Considerando uma seção prismática regular: h

53 Exemplo derivada numérica Considerando uma seção qualquer h Tabelas de A; R e Q em função de h interpolação

54 Raízes de equações Em recursos hídricos surgem muitas equações de difícil solução analítica, com termos implícitos e não lineares. Métodos numéricos são úteis para este tipo de problema.

55 Métodos numéricos para encontrar raízes de equações Bissecção Falsa posição Newton-Raphson Secantes Raízes de equações f(x) x raiz

56 Método de bissecção No método de bissecção é necessário fornecer duas estimativas iniciais de valor de x que cercam a raiz. Dadas as duas estimativas iniciais x u e x l, uma primeira estimativa para a raiz é dada por: Raízes de equações

57 Método de bissecção F(x) x Raízes de equações

58 Método de bissecção F(x) x Supõe-se que a raiz esteja exatamente entre x u e x l Raízes de equações

59 Método de bissecção Raízes de equações F(x) x Se f(x r ).f(x l ) negativo, então Busca entre x r e x l Se não, busca entre x r e x u

60 Método de bissecção Raízes de equações F(x) x Busca entre x r e x u Busca termina de acordo Com critério de parada

61 Método de bissecção Critérios de parada Incremento de x menor que um dado limite Diferença entre f(x) no ponto testado e zero é menor do que um dado limite Raízes de equações

62 Método de falsa posição Raízes de equações F(x) x Supõe-se que a raiz esteja onde estaria a raiz de uma linha reta unindo os dois pontos

63 Método de falsa posição Raízes de equações F(x) x Supõe-se que a raiz esteja onde estaria a raiz de uma linha reta unindo os dois pontos

64 Método de falsa posição Raízes de equações F(x) x Supõe-se que a raiz esteja onde estaria a raiz de uma linha reta unindo os dois pontos

65 Método de falsa posição Raízes de equações F(x) x Supõe-se que a raiz esteja onde estaria a raiz de uma linha reta unindo os dois pontos

66 Bissecção e falsa posição sempre encontram a raiz, mas podem ser demorados Além disso, exigem que sejam dadas duas tentativas iniciais com sinais contrários da função Raízes de equações Problemas dos métodos anteriores

67 Método de Newton-Raphson Raízes de equações F(x) x Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial Tentativa inicial

68 Método de Newton-Raphson F(x) x Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial Tentativa inicial derivada Raízes de equações

69 Método de Newton-Raphson F(x) x Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial Tentativa inicial derivada Raízes de equações

70 Método de Newton-Raphson F(x) x Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial derivada Raízes de equações

71 Método de Newton-Raphson F(x) x Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial Raízes de equações

72 Método de Newton-Raphson Novamente a série de Taylor se então Raízes de equações

73 Método de Newton-Raphson Novamente a série de Taylor Supondo que (x i+1 é a raiz) Raízes de equações

74 Problemas do método de Newton- Raphson É melhor que a primeira estimativa não esteja longe demais da raiz x Raízes de equações

75 Problemas do método de Newton- Raphson É melhor que a primeira estimativa não esteja longe demais da raiz x Raízes de equações

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80 Método das Secantes Um possível problema do método de Newton- Raphson, especialmente em recursos hídricos, é que pode ser difícil estimar a derivada da função. Neste caso é possível utilizar uma aproximação numérica para a derivada, gerando o método das secantes. Raízes de equações

81 Método das Secantes Um possível problema do método de Newton-Raphson, especialmente em recursos hídricos, é que pode ser difícil estimar a derivada da função. Neste caso é possível utilizar uma aproximação numérica para a derivada, gerando o método das secantes. f(x) x Tentativa inicial secante Raízes de equações

82 Método das Secantes f(x) x Tentativa inicial secante Raízes de equações

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84 Comparação de métodos Newton-Raphson é mais rápido, seguido do método das secantes, da falsa posição e finalmente bissecção. Newton-Raphson e Secantes podem divergir. Secantes pode ser aplicado para funções em que é difícil obter derivadas (comuns em simulação hidrológica). Raízes de equações

85 Exemplo Calcule o nível da água h se: h Q=15 m3/s S=0,001 m/m n=0,02 B=8 m B Raízes de equações

86 Exemplo Calcule o nível da água h se: h B Q=15 m3/s S=0,001 m/m n=0,02 B=8 m m=1,5 m 1 Raízes de equações

87 Exemplo Calcule a vazão de um vertedor h g=9,81 m/s 2 H=20 cm L=10 m C=2 Raízes de equações

88 Exemplo Calcule o nível h para uma dada vazão Q h Tabelas de A; R e Q em função de h Q=15 m3/s S=0,001 m/m n=0,02 Simples busca e interpolação da tabela Raízes de equações

89 Outro exemplo: balanço hídrico de reservatório com vertedor

90 Equação de vertedor Raízes de equações

91 Supondo um reservatório Como tornar o termo de h no tempo t+1 explícito? Raízes de equações

92 Como encontrar raízes de equações implícitas Método de bissecção Método de Newton-Raphson Método das secantes E se houver operação de comportas durante uma cheia? Raízes de equações

93 Exemplo Na aplicação do método de Muskingum-Cunge para a simulação da propagação de vazão em rios, utiliza-se sub-trechos cujo comprimento ideal pode ser encontrado resolvendo a equação abaixo: Aplique considerando: Q 0 =100 m3/s c 0 =1,0 m/s B = 30 m S 0 =0,001 m/m t = 1 hora (3600 s) Use a equação abaixo para a estimativa inicial Raízes de equações

94 Solver do Excel O solver pode ser utilizado para encontrar raízes de equações. Não está claro que método que Solver utiliza. Chute inicial deve estar relativamente próximo da raiz. Raízes de equações

95 Problema comum em engenharia; A utilização do método está liga a dois condicionantes: (a) matriz de coeficientes, (b) eficiência da solução; Classificação: Quanto ao tipo: (a) linear, (b) não linear; Quanto ao tipo de solução: (a) direta (ex. Gauss), (b) iterativa (ex. Gauss-Seidel); Quanto à solução: (a) compatível e determinada; (b) compatível e indeterminada; (c) incompatível. Sistemas de equações - Introdução

96 Sistemas de equações lineares Pode ser definido como:

97 Sistemas de equações lineares Em forma matricial: Matriz do coeficientesVetor das incógnitas ou vetor solução Vetor das constantes

98 Sistemas de equações lineares Classificação quanto à solução: Possível e determinado Possui uma única solução. Solução trivial Det(A) 0 e B = 0; Solução não trivial Det(A) 0 e B 0 Possível e indeterminado Possui infinitas soluções Det(A) = 0 e B = 0 ou B é múltiplo de uma coluna de A Impossível Não possui soluções Det(A) = 0 e B 0 e B não é múltiplo de nenhuma coluna de A

99 Soluções de sistemas de equações lineares Método de Gauss (direto) Método de Gauss-Seidel (iterativo)

100 Método de Gauss Consiste em transformar a matriz A em uma matriz triangular equivalente através das seguintes operações: Subtração de uma linha por outra multiplicada por uma constante; Formação de uma matriz diagonal superior.

101 Método de Gauss Considere, onde: e,

102 Método de Gauss 1o passo: Definir um multiplicador para cada linha baseado na primeira m 2 = a 21 /a 11 ; m 3 = a 31 /a 11 2o passo: Subtrair o produto do multiplicador da 2a e 3a linha pela 1a linha a i,j =a i,j - m i. a i-1,j, onde i = 2,3 e j = 1,2,3

103 Método de Gauss O multiplicadores são: m 2 = a 21 /a 11 = 4/2 = 2 e m 3 = a 31 /a 11 = -2/2 = -1 (x 2) (- (x -1) (-)

104 Método de Gauss 2 a linha: Os multiplicadores são: m 2 = a 21 /a 11 = 4/2 = 2 e m 3 = a 31 /a 11 = -2/2 = -1 3 a linha:

105 Método de Gauss Após estes passos, a matriz aumentada fica da seguinte forma: Repentindo os passos de 1 a 3, só que agora tomando como base a linha 2:

106 Método de Gauss Calculando os novos multiplicadores: m 3 = a 32 /a 22 =2/1=2 Reescrevendo a matriz sem as linhas nos expoentes, tem-se: (x 2) (-)

107 Método de Gauss 3 a linha: Calculando os novos multiplicadores: m 3 = a 32 /a 22 =2/1=2 Após estes passos, a matriz aumentada agora tem a seguinte forma: Reescrevendo a matriz sem as linhas nos expoentes, tem-se:

108 Método de Gauss Equivalente a: Resolvendo o novo sistema, obtem-se:

109 Método de Gauss Exercício para casa: - Desenvolver um algoritmo para resolução de sistemas lineares pelo método direto de Gauss.

110 Método iterativo de Gauss-Seidel É um dos métodos mais comum e simples de ser programado; O método converge somente sob certas condições e normalmente conduz a um número maior de operações quando comparado com métodos diretos.

111 Método iterativo de Gauss-Seidel A equação utilizada para iterações é a seguinte: Pode-se utilizar um coeficiente para acelerar o processo de convergência:

112 Método iterativo de Gauss-Seidel Seja o sistema de equações:

113 Método iterativo de Gauss-Seidel Obtemos o valor de x 1 a partir da primeira equação, o valor de x 2 a partir da segunda equação e assim sucessivamente:

114 Método iterativo de Gauss-Seidel Ponto de partida Conjunto de valores iniciais Critério de parada Número de iterações excedeu um determinado valor m; A seguinte condição atenta uma precisão adotada:

115 Método iterativo de Gauss-Seidel Convergência do método: É necessário que a matriz de coeficientes seja positiva definida Inspeção da diagonal principal (necessária): Domínio da diagonal (suficiente): Método dos menores principais (necessária e suficiente):

116 Método iterativo de Gauss-Seidel Considere, Aplicando o método, tem-se:

117 Método iterativo de Gauss-Seidel Considerando o ponto de partida com X k =(x 1, x 2, x 3 )=(0, 0, 0), a primeira iteração fica: Adotando ɛ = , após 244 iterações a solução converge para:

118 Método iterativo de Gauss-Seidel Exercício para casa: - Desenvolver um algoritmo para resolução de sistemas lineares pelo método iterativo de Gauss-Seidel.

119 Sistemas de equações não lineares Pode ser definido como: onde f é uma função não linear em função de x 1,x 2,…,x n.

120 Sistemas de equações não lineares Método iterativo de Newton Se baseia no método Newton-Rapson para solução de equações não lineares.

121 Método iterativo de Newton Um sistema de equações não lineares: pode ser expandido para série de Taylor de primeira ordem:

122 Método iterativo de Newton Resultando em um sistema de equações lineares: onde Δx i = x i k+1 - x i k

123 Método iterativo de Newton Em forma matricial: Jacobiano (k)Vetor das incógnitas ou vetor solução (k+1) Vetor das Constantes (k)

124 Método iterativo de Newton Ponto de partida Conjunto de valores iniciais Critério de parada Número de iterações excedeu um determinado valor m; Verifique se a seguinte condição atenda uma precisão adotada:

125 Método iterativo de Newton Convergência do método: É necessário que a matriz de coeficientes seja positiva definida Inspeção da diagonal principal (necessária): Domínio da diagonal (suficiente): Método dos menores principais (necessária e suficiente):

126 Método iterativo de Newton Exercício para casa: - Desenvolver um algoritmo para resolução de sistemas não lineares pelo método iterativo de Newton.


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