Ludwig Krippahl, 2008 Programação para as Ciências Experimentais 2007/8 Teórica 10.

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1 Ludwig Krippahl, 2008 Programação para as Ciências Experimentais 2007/8 Teórica 10

2 Ludwig Krippahl, 2008 2 Na aula de hoje... Ajustar um modelo a dados experimentais. Interpolação linear Minimização de funções Cálculo de erros Estimar uma constante cinética ajustando o modelo aos dados. Conceitos básicos de Excel

3 Ludwig Krippahl, 2008 3 Ajuste de um modelo Dados Experimentais Simulação Discrepância Minimizar

4 Ludwig Krippahl, 2008 4 Ajuste de um modelo Exemplo: reacção química Dados Experimentais Simulação Discrepância Minimizar minfn cinetica

5 Ludwig Krippahl, 2008 5 Ajuste de um modelo Dados: matriz com tempo na primeira coluna e concentração (ou concentrações) na segunda (ou outras). Função erro compara cada vector com o correspondente na simulação. Mas os valores de t podem ser diferentes. É preciso interpolar. Primeiro, função interpol

6 Ludwig Krippahl, 2008 6 Interpolação linear Função interpol Recebe: uma matriz x, y, em colunas, e um vector x1 com os pontos a interpolar. Devolve: vector y1 com os valores em x1 interpolados de x, y.

7 Ludwig Krippahl, 2008 7 Interpolação linear xi x1 x2 y1 y2

8 Ludwig Krippahl, 2008 8 Interpolação linear yi = (y1*(x2-xi) + y2*(xi-x1)) / (x2 – x1) xi x1 x2 y1 y2 yi

9 Ludwig Krippahl, 2008 9 Interpolação linear function yi=interpol(matxy,xi) yi=0*xi; for f=1:length(xi) for g=2:rows(matxy) if matxy(g,1)>=xi(f); x1 = matxy(g-1,1); x2 = matxy(g,1); y1 = matxy(g-1,2); y2 = matxy(g,2); d = x2-x1; yi(f) = (y1*(x2-xi(f))+y2*(xi(f)-x1))/d; break endif endfor

10 Ludwig Krippahl, 2008 10 Interpolação linear function yi=interpol(matxy,xi) yi=0*xi; for f=1:length(xi) for g=2:rows(matxy) if matxy(g,1)>=xi(f); x1 = matxy(g-1,1); x2 = matxy(g,1); y1 = matxy(g-1,2); y2 = matxy(g,2); d = x2-x1; yi(f) = (y1*(x2-xi(f))+y2*(xi(f)-x1))/d; break endif endfor Cria vector yi, dos valores interpolados

11 Ludwig Krippahl, 2008 11 Interpolação linear function yi=interpol(matxy,xi) yi=0*xi; for f=1:length(xi) for g=2:rows(matxy) if matxy(g,1)>=xi(f); x1 = matxy(g-1,1); x2 = matxy(g,1); y1 = matxy(g-1,2); y2 = matxy(g,2); d = x2-x1; yi(f) = (y1*(x2-xi(f))+y2*(xi(f)-x1))/d; break endif endfor Para cada xi onde interpolar percorre os x da matriz até encontrar o primeiro que ultrapassa xi. Começa do 2º elemento porque precisa do anterior para interpolar.

12 Ludwig Krippahl, 2008 12 Interpolação linear function yi=interpol(matxy,xi) yi=0*xi; for f=1:length(xi) for g=2:rows(matxy) if matxy(g,1)>=xi(f); x1 = matxy(g-1,1); x2 = matxy(g,1); y1 = matxy(g-1,2); y2 = matxy(g,2); d = x2-x1; yi(f) = (y1*(x2-xi(f))+y2*(xi(f)-x1))/d; break endif endfor Calcula a interpolação e termina o ciclo interno (g).

13 Ludwig Krippahl, 2008 13 Interpolação linear xy=[[1:10]',[2:2:20]']; xi=[2.5:2:8]; yi=interpol(xy,xi) hold off plot(xy(:,1), xy(:,2)) hold on plot(xi,yi,"ob;;");

14 Ludwig Krippahl, 2008 14 Interpolação linear

15 Ludwig Krippahl, 2008 15 Medir a discrepância (erro) Reacção 2A B Só kd Função erro mede o erro quadrático médio, que é a média dos quadrados das diferenças entre os vectores

16 Ludwig Krippahl, 2008 16 Medir a discrepância (erro) Exemplo: 2A B Só kd (irreversível) Função erro2AB mede o erro quadrático entre os dados experimentais e a simulação. A função codifica a concentração inicial e reacção, recebe como argumentos o kd e os valores para comparar.

17 Ludwig Krippahl, 2008 17 Medir a discrepância (2A B) function r=erro2AB(vals,k) er=[2,0];define a reacção ep=[0,1]; cis=[1,0];e as concentrações aqui falta calcular os valores previstos pelo modelo para este k e comparar com o vector vals para calcular o erro, interpolando os valores. Para resolver na prática... endfunction

18 Ludwig Krippahl, 2008 18 Medir a discrepância (2A B) Para simular a reacção podemos usar a função cinetica da aula anterior. Para comparar com os dados experimentais precisamos interpolar para os valores de t experimentais (que podem não coincidir com os da simulação)

19 Ludwig Krippahl, 2008 19 Medir a discrepância (2A B) O erro é o erro quadrático: r=sum((vals(:,2)-int).^2); vals é a matriz com as concentrações de A na segunda coluna int é o vector das concentrações de A obtido interpolando a simulação para os valores na 1ª coluna de vals.

20 Ludwig Krippahl, 2008 20 O mínimo de uma função Método da razão dourada

21 Ludwig Krippahl, 2008 21 O mínimo de uma função Tal como encurralámos a raiz num intervalo, vamos fazer o mesmo com o mínimo, mas precisamos de 3 pontos: a b c

22 Ludwig Krippahl, 2008 22 O mínimo de uma função Se x 1 <x 2 <x 3 e y 2 <y 1 e y 2 <y 3 então tem que haver um mínimo local entre x 1 e x 3 x1 x2 x3

23 Ludwig Krippahl, 2008 23 O mínimo de uma função O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno x1 x2 x3

24 Ludwig Krippahl, 2008 24 O mínimo de uma função O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno x1 x2 x3

25 Ludwig Krippahl, 2008 25 O mínimo de uma função O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno x1 x2 x3

26 Ludwig Krippahl, 2008 26 O mínimo de uma função O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno x1 x2 x3

27 Ludwig Krippahl, 2008 27 O mínimo de uma função O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno x1 x2 x3

28 Ludwig Krippahl, 2008 28 O mínimo de uma função O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno x1 x2 x3

29 Ludwig Krippahl, 2008 29 O mínimo de uma função O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno x1 x2 x3

30 Ludwig Krippahl, 2008 30 O mínimo de uma função O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno x1 x2 x3

31 Ludwig Krippahl, 2008 31 O mínimo de uma função O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno x1 x2 x3

32 Ludwig Krippahl, 2008 32 O mínimo de uma função Guardar sempre os 3 pontos consecutivos em que o y do meio é menor que os extremos. x1 x2 x3

33 Ludwig Krippahl, 2008 33 O mínimo de uma função Como dividir o intervalo: O ideal é manter as proporções. Dividir ao meio não é ideal. x1 x2 x3

34 Ludwig Krippahl, 2008 34 O mínimo de uma função Como dividir o intervalo: O ideal é manter as proporções. Dividir ao meio não é ideal. x1 x2 x3 x4 x5

35 Ludwig Krippahl, 2008 35 O mínimo de uma função Como dividir o intervalo: Escolher o ponto novo no intervalo maior e Partir pela razão dourada: (a+b)/a = a / b a= 0.618 (a+b) b= (1-0.618) (a+b)

36 Ludwig Krippahl, 2008 36 O mínimo de uma função function xm=minfn(func,params,x1,xm,x2,prec) c=1-0.618; ym=feval(func,params,xm); Nome da função, parâmetros (como no zerpol), os 3 pontos iniciais e precisão

37 Ludwig Krippahl, 2008 37 O mínimo de uma função function xm=minfn(func,params,x1,xm,x2,prec) c=1-0.618; ym=feval(func,params,xm); Constante c para os intervalos (razão dourada)

38 Ludwig Krippahl, 2008 38 O mínimo de uma função function xm=minfn(func,params,x1,xm,x2,prec) c=1-0.618; ym=feval(func,params,xm); Avalia a função no ponto do meio. Nota: assume-se que y é maior em x1 e x2.

39 Ludwig Krippahl, 2008 39 O mínimo de uma função while abs(x2-x1)>prec if abs(x1-xm)>abs(x2-xm) intervalo maior é x1 a xm else intervalo maior é xm a x2 endif endwhile Enquanto o intervalo é maior que a precisão

40 Ludwig Krippahl, 2008 40 O mínimo de uma função while abs(x2-x1)>prec if abs(x1-xm)>abs(x2-xm) intervalo maior é x1 a xm else intervalo maior é xm a x2 endif endwhile Encontra o sub-intervalo maior, (x1 a xm ou xm a x2)

41 Ludwig Krippahl, 2008 41 O mínimo de uma função x1 xm x2

42 Ludwig Krippahl, 2008 42 O mínimo de uma função Se o intervalo maior é de x1 a xm o novo x será entre x1 e xm, próximo de xm xn=xm-c*(xm-x1) o novo y será feval(func,params,xn) Se o novo y for menor que o anterior (em xm) passar o x2 para onde está xm, xm para o novo x, e ym será o novo y.

43 Ludwig Krippahl, 2008 43 O mínimo de uma função x1 xmx2xn ym yn

44 Ludwig Krippahl, 2008 44 O mínimo de uma função x1 x2 xm ym

45 Ludwig Krippahl, 2008 45 O mínimo de uma função Se o intervalo maior é de xm a x2 o novo x será entre xm e x2, mais próximo de xm. xn=xm+c*(x2-xm); Se o novo y for menor que o anterior (em xm) passar o x1 para onde está xm, xm para o novo x, e ym será o novo y.

46 Ludwig Krippahl, 2008 46 Ajustar o modelo (2A B) Basta usar a minfn para calcular o k que minimiza o erro Exemplo: vals=[0.5,0.5;2,0.2;6,0.07;9,0.055]; k=minfn("erro2AB",vals,0,1,2,0.001) k = 0.97843

47 Ludwig Krippahl, 2008 47 Ajustar o modelo (2A B) Comparar o modelo com os dados er=[2,0] ep=[0,1]; cis=[1,0]; xy=cinetica(esteq,cis,k,0,0.01,10); hold off plot(xy(:,1),xy(:,2)) hold on plot(vals(:,1),vals(:,2), "x");

48 Ludwig Krippahl, 2008 48 Ajustar o modelo (2A B)

49 Ludwig Krippahl, 2008 49 Ajustar um modelo Abordagem genérica Simular dados previstos para um conjunto de parâmetros Minimizar a discrepância entre os valores previstos e observados alterando os parâmetros. Na prática pode ser difícil...

50 Ludwig Krippahl, 2008 50 Conceitos básicos de Excel Célula: A5 Grupo de células: A5:B12 Referência relativa ou absoluta: O cifrão marca uma referência absoluta. A$5, $B$5 Nestes casos o 5 e o B estão fixos. Sem cifrão a referência é relativa, e muda com copy/paste ou fill down/right

51 Ludwig Krippahl, 2008 51 Conceitos básicos de Excel Referência relativa: Nota: fórmulas começam sempre por =

52 Ludwig Krippahl, 2008 52 Conceitos básicos de Excel Referência relativa: O B passou a C e o C a D copiando para a direita

53 Ludwig Krippahl, 2008 53 Conceitos básicos de Excel Referência relativa: O 2 passou a 3 copiando para baixo

54 Ludwig Krippahl, 2008 54 Conceitos básicos de Excel Referência absoluta

55 Ludwig Krippahl, 2008 55 Conceitos básicos de Excel Referência absoluta Fill down (seleccionar, ctrl+d)

56 Ludwig Krippahl, 2008 56 Conceitos básicos de Excel Referência absoluta Multiplicar pelo C1, mas sem mudar o 1...

57 Ludwig Krippahl, 2008 57 Conceitos básicos de Excel Referência absoluta Marcar o 1 como ref. absoluta

58 Ludwig Krippahl, 2008 58 Conceitos básicos de Excel Referência absoluta Marcar o 1 como ref. absoluta

59 Ludwig Krippahl, 2008 59 Conceitos básicos de Excel Dar nomes às células. Exemplo: 2A B Parâmetros Constante DeltaT

60 Ludwig Krippahl, 2008 60 Conceitos básicos de Excel Dar nomes às células. Exemplo: 2A B Parâmetros Constante DeltaT

61 Ludwig Krippahl, 2008 61 Conceitos básicos de Excel Dar nomes às células. Exemplo: 2A B Parâmetros Constante DeltaT

62 Ludwig Krippahl, 2008 62 Conceitos básicos de Excel Dar nomes às células. Exemplo: 2A B Parâmetros Constante DeltaT

63 Ludwig Krippahl, 2008 63 Conceitos básicos de Excel Dar nomes às células. Exemplo: 2A B Parâmetros Constante DeltaT

64 Ludwig Krippahl, 2008 64 Conceitos básicos de Excel Dar nomes às células. Exemplo: 2A B Parâmetros Constante DeltaT

65 Ludwig Krippahl, 2008 65 Conceitos básicos de Excel Dar nomes às células. Exemplo: 2A B Parâmetros Constante DeltaT

66 Ludwig Krippahl, 2008 66 Conceitos básicos de Excel Dar nomes às células. Exemplo: 2A B Parâmetros Constante DeltaT

67 Ludwig Krippahl, 2008 67 Conceitos básicos de Excel Dar nomes às células. Exemplo: 2A B Fill down... Mas falta o tempo.

68 Ludwig Krippahl, 2008 68 Conceitos básicos de Excel Seleccionar a primeira coluna (click no topo da coluna, no A).

69 Ludwig Krippahl, 2008 69 Conceitos básicos de Excel Insert, Columns

70 Ludwig Krippahl, 2008 70 Conceitos básicos de Excel Insert, Columns

71 Ludwig Krippahl, 2008 71 Conceitos básicos de Excel Definir a fórmula, e fill down.

72 Ludwig Krippahl, 2008 72 Conceitos básicos de Excel IF(condição; valor se verdade; valor se falso) Ex:

73 Ludwig Krippahl, 2008 73 Conceitos básicos de Excel IF(condição; valor se verdade; valor se falso) Ex:

74 Ludwig Krippahl, 2008 74 Conceitos básicos de Excel Exemplo: raiz do polinómio x 3 +2

75 Ludwig Krippahl, 2008 75 Conceitos básicos de Excel Exemplo: raiz do polinómio x 3 +2

76 Ludwig Krippahl, 2008 76 Conceitos básicos de Excel Exemplo: raiz do polinómio x 3 +2 Fill right, fill down

77 Ludwig Krippahl, 2008 77 Conceitos básicos de Excel Exemplo: raiz do polinómio x 3 +2

78 Ludwig Krippahl, 2008 78 Conceitos básicos de Excel Exemplo: raiz do polinómio x 3 +2 Fill down

79 Ludwig Krippahl, 2008 79 Dúvidas