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Ludwig Krippahl, 2009 Programação para as Ciências Experimentais 2008/9 Teórica 11.

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1 Ludwig Krippahl, 2009 Programação para as Ciências Experimentais 2008/9 Teórica 11

2 Ludwig Krippahl, Na aula de hoje... Ajustar um modelo a dados experimentais. Interpolação linear Minimização de funções Cálculo de erros Estimar uma constante cinética ajustando o modelo aos dados. Conceitos básicos de folha de cálculo.

3 Ludwig Krippahl, Ajuste de um modelo Dados Experimentais Simulação Discrepância Minimizar

4 Ludwig Krippahl, Ajuste de um modelo Exemplo: reacção química Dados Experimentais Simulação Discrepância Minimizar minfn cinetica

5 Ludwig Krippahl, Ajuste de um modelo Dados: matriz com tempo na primeira coluna e concentração (ou concentrações) na segunda (ou outras). Função erro compara cada vector com o correspondente na simulação. Mas os valores de t podem ser diferentes. É preciso interpolar. Primeiro, função interpol

6 Ludwig Krippahl, Interpolação linear Função interpol Recebe: uma matriz x, y, em colunas, e um vector x1 com os pontos a interpolar. Devolve: vector y1 com os valores em x1 interpolados de x, y.

7 Ludwig Krippahl, Interpolação linear xi x1 x2 y1 y2

8 Ludwig Krippahl, Interpolação linear yi = (y1*(x2-xi) + y2*(xi-x1)) / (x2 – x1) xi x1 x2 y1 y2 yi

9 Ludwig Krippahl, Interpolação linear function yi=interpol(matxy,xi) yi=0*xi; for f=1:length(xi) for g=2:rows(matxy) if matxy(g,1)>=xi(f); x1 = matxy(g-1,1); x2 = matxy(g,1); y1 = matxy(g-1,2); y2 = matxy(g,2); d = x2-x1; yi(f) = (y1*(x2-xi(f))+y2*(xi(f)-x1))/d; break endif endfor

10 Ludwig Krippahl, Interpolação linear function yi=interpol(matxy,xi) yi=0*xi; for f=1:length(xi) for g=2:rows(matxy) if matxy(g,1)>=xi(f); x1 = matxy(g-1,1); x2 = matxy(g,1); y1 = matxy(g-1,2); y2 = matxy(g,2); d = x2-x1; yi(f) = (y1*(x2-xi(f))+y2*(xi(f)-x1))/d; break endif endfor Cria vector yi, dos valores interpolados

11 Ludwig Krippahl, Interpolação linear function yi=interpol(matxy,xi) yi=0*xi; for f=1:length(xi) for g=2:rows(matxy) if matxy(g,1)>=xi(f); x1 = matxy(g-1,1); x2 = matxy(g,1); y1 = matxy(g-1,2); y2 = matxy(g,2); d = x2-x1; yi(f) = (y1*(x2-xi(f))+y2*(xi(f)-x1))/d; break endif endfor Para cada xi onde interpolar percorre os x da matriz até encontrar o primeiro que ultrapassa xi. Começa do 2º elemento porque precisa do anterior para interpolar.

12 Ludwig Krippahl, Interpolação linear function yi=interpol(matxy,xi) yi=0*xi; for f=1:length(xi) for g=2:rows(matxy) if matxy(g,1)>=xi(f); x1 = matxy(g-1,1); x2 = matxy(g,1); y1 = matxy(g-1,2); y2 = matxy(g,2); d = x2-x1; yi(f) = (y1*(x2-xi(f))+y2*(xi(f)-x1))/d; break endif endfor Calcula a interpolação e termina o ciclo interno (g).

13 Ludwig Krippahl, Interpolação linear xy=[[1:10]',[2:2:20]']; xi=[2.5:2:8]; yi=interpol(xy,xi) hold off plot(xy(:,1), xy(:,2)) hold on plot(xi,yi,"ob;;");

14 Ludwig Krippahl, Interpolação linear

15 Ludwig Krippahl, Medir a discrepância (erro) Reacção 2A B Só kd Função erro mede o erro quadrático médio, que é a média dos quadrados das diferenças entre os vectores

16 Ludwig Krippahl, Medir a discrepância (erro) Exemplo: 2A B Só kd (irreversível) Função erro2AB mede o erro quadrático entre os dados experimentais e a simulação. A função codifica a concentração inicial e reacção, recebe como argumentos o kd e os valores para comparar.

17 Ludwig Krippahl, Medir a discrepância (2A B) function r=erro2AB(vals,k) Devolve o erro quadrático total Soma dos quadrados dos erros de todos os pontos Recebe matriz vals com tempo e [A] (vamos só ajustar à [A]) Recebe a constante k do modelo

18 Ludwig Krippahl, Medir a discrepância (2A B) function r=erro2AB(vals,k) er=[2,0];define a reacção ep=[0,1]; cis=[1,0];e as concentrações aqui falta calcular os valores previstos pelo modelo para este k e comparar com o vector vals para calcular o erro, interpolando os valores. Para resolver na prática... endfunction

19 Ludwig Krippahl, Medir a discrepância (2A B) Para simular a reacção podemos usar a função cinetica da aula anterior. Para comparar com os dados experimentais precisamos interpolar para os valores de t experimentais (que podem não coincidir com os da simulação)

20 Ludwig Krippahl, Interpolação linear t ex titi t i+1 [A] int [A] ex

21 Ludwig Krippahl, Medir a discrepância (2A B) O erro é o erro quadrático: r=sum((vals(:,2)-int).^2); vals é a matriz com as concentrações de A na segunda coluna int é o vector das concentrações de A obtido interpolando a simulação para os valores na 1ª coluna de vals.

22 Ludwig Krippahl, O mínimo de uma função Método da razão dourada

23 Ludwig Krippahl, O mínimo de uma função Tal como encurralámos a raiz num intervalo, vamos fazer o mesmo com o mínimo, mas precisamos de 3 pontos: a b c

24 Ludwig Krippahl, O mínimo de uma função Se x 1

25 Ludwig Krippahl, O mínimo de uma função O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno x1 x2 x3

26 Ludwig Krippahl, O mínimo de uma função O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno x1 x2 x3

27 Ludwig Krippahl, O mínimo de uma função O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno x1 x2 x3

28 Ludwig Krippahl, O mínimo de uma função O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno x1 x2 x3

29 Ludwig Krippahl, O mínimo de uma função O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno x1 x2 x3

30 Ludwig Krippahl, O mínimo de uma função O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno x1 x2 x3

31 Ludwig Krippahl, O mínimo de uma função O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno x1 x2 x3

32 Ludwig Krippahl, O mínimo de uma função O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno x1 x2 x3

33 Ludwig Krippahl, O mínimo de uma função O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno x1 x2 x3

34 Ludwig Krippahl, O mínimo de uma função Guardar sempre os 3 pontos consecutivos em que o y do meio é menor que os extremos. x1 x2 x3

35 Ludwig Krippahl, O mínimo de uma função Como dividir o intervalo: O ideal é manter as proporções. Dividir ao meio não é ideal. x1 x2 x3

36 Ludwig Krippahl, O mínimo de uma função Como dividir o intervalo: O ideal é manter as proporções. Dividir ao meio não é ideal. x1 x2 x3 x4 x5

37 Ludwig Krippahl, O mínimo de uma função Como dividir o intervalo: Escolher o ponto novo no intervalo maior e Partir pela razão dourada: (a+b)/a = a / b a= (a+b) b= ( ) (a+b)

38 Ludwig Krippahl, O mínimo de uma função function xm=minfn(func,params,x1,xm,x2,prec) c= ; ym=feval(func,params,xm); Nome da função, parâmetros (como no zerpol), os 3 pontos iniciais e precisão

39 Ludwig Krippahl, O mínimo de uma função function xm=minfn(func,params,x1,xm,x2,prec) c= ; ym=feval(func,params,xm); Constante c para os intervalos (razão dourada)

40 Ludwig Krippahl, O mínimo de uma função function xm=minfn(func,params,x1,xm,x2,prec) c= ; ym=feval(func,params,xm); Avalia a função no ponto do meio. Nota: assume-se que y é maior em x1 e x2.

41 Ludwig Krippahl, O mínimo de uma função while abs(x2-x1)>prec if abs(x1-xm)>abs(x2-xm) intervalo maior é x1 a xm else intervalo maior é xm a x2 endif endwhile Enquanto o intervalo é maior que a precisão

42 Ludwig Krippahl, O mínimo de uma função while abs(x2-x1)>prec if abs(x1-xm)>abs(x2-xm) intervalo maior é x1 a xm else intervalo maior é xm a x2 endif endwhile Encontra o sub-intervalo maior, (x1 a xm ou xm a x2)

43 Ludwig Krippahl, O mínimo de uma função x1 xm x2

44 Ludwig Krippahl, O mínimo de uma função Se o intervalo maior é de x1 a xm o novo x será entre x1 e xm, próximo de xm xn=xm-c*(xm-x1) o novo y será feval(func,params,xn) Se o novo y for menor que o anterior (em xm) passar o x2 para onde está xm, xm para o novo x, e ym será o novo y.

45 Ludwig Krippahl, O mínimo de uma função x1 xmx2xn ym yn

46 Ludwig Krippahl, O mínimo de uma função x1 x2 xm ym

47 Ludwig Krippahl, O mínimo de uma função Se o intervalo maior é de xm a x2 o novo x será entre xm e x2, mais próximo de xm. xn=xm+c*(x2-xm); Se o novo y for menor que o anterior (em xm) passar o x1 para onde está xm, xm para o novo x, e ym será o novo y.

48 Ludwig Krippahl, Ajustar o modelo (2A B) Basta usar a minfn para calcular o k que minimiza o erro Exemplo: vals=[0.5,0.5;2,0.2;6,0.07;9,0.055]; k=minfn("erro2AB",vals,0,1,2,0.001) k =

49 Ludwig Krippahl, Ajustar o modelo (2A B) Comparar o modelo com os dados er=[2,0] ep=[0,1]; cis=[1,0]; xy=cinetica(er,ep,cis,k,0,0.01,10); hold off plot(xy(:,1),xy(:,2)) hold on plot(vals(:,1),vals(:,2), "x");

50 Ludwig Krippahl, Ajustar o modelo (2A B)

51 Ludwig Krippahl, Ajustar um modelo Abordagem genérica Simular dados previstos para um conjunto de parâmetros Minimizar a discrepância entre os valores previstos e observados alterando os parâmetros. Na prática pode ser difícil...

52 Ludwig Krippahl, Folha de cálculo Célula: A5 Grupo de células: A5:B12 Referência relativa ou absoluta: O cifrão marca uma referência absoluta. A$5, $B$5 Nestes casos o 5 e o B estão fixos. Sem cifrão a referência é relativa, e muda com copy/paste ou fill down/right

53 Ludwig Krippahl, Folha de cálculo Referência relativa: Nota: fórmulas começam sempre por =

54 Ludwig Krippahl, Folha de cálculo Referência relativa: O B passou a C e o C a D copiando para a direita

55 Ludwig Krippahl, Folha de cálculo Referência relativa: O 2 passou a 3 copiando para baixo

56 Ludwig Krippahl, Folha de cálculo Referência absoluta

57 Ludwig Krippahl, Folha de cálculo Referência absoluta Fill down (seleccionar, ctrl+d ou alt, e, i, d)

58 Ludwig Krippahl, Folha de cálculo Referência absoluta Multiplicar pelo C1, mas sem mudar o 1...

59 Ludwig Krippahl, Folha de cálculo Referência absoluta Marcar o 1 como ref. absoluta

60 Ludwig Krippahl, Folha de cálculo Referência absoluta Marcar o 1 como ref. absoluta

61 Ludwig Krippahl, Folha de cálculo Dar nomes às células. Exemplo: 2A B Parâmetros Constante DeltaT

62 Ludwig Krippahl, Folha de cálculo Dar nomes às células. Exemplo: 2A B Parâmetros Constante DeltaT

63 Ludwig Krippahl, Folha de cálculo Dar nomes às células. Exemplo: 2A B Parâmetros Constante DeltaT

64 Ludwig Krippahl, Folha de cálculo Dar nomes às células. Exemplo: 2A B Parâmetros Constante DeltaT

65 Ludwig Krippahl, Folha de cálculo Dar nomes às células. Exemplo: 2A B Parâmetros Constante DeltaT

66 Ludwig Krippahl, Folha de cálculo Dar nomes às células. Exemplo: 2A B Parâmetros Constante DeltaT

67 Ludwig Krippahl, Folha de cálculo Dar nomes às células. Exemplo: 2A B Parâmetros Constante DeltaT

68 Ludwig Krippahl, Folha de cálculo Dar nomes às células. Exemplo: 2A B Parâmetros Constante DeltaT

69 Ludwig Krippahl, Folha de cálculo Dar nomes às células. Exemplo: 2A B Fill down... Mas falta o tempo.

70 Ludwig Krippahl, Folha de cálculo Seleccionar a primeira coluna (click no topo da coluna, no A).

71 Ludwig Krippahl, Folha de cálculo Insert, Columns

72 Ludwig Krippahl, Folha de cálculo Insert, Columns

73 Ludwig Krippahl, Folha de cálculo Definir a fórmula, e fill down.

74 Ludwig Krippahl, Folha de cálculo IF(condição; valor se verdade; valor se falso) Ex:

75 Ludwig Krippahl, Folha de cálculo IF(condição; valor se verdade; valor se falso) Ex:

76 Ludwig Krippahl, Folha de cálculo Exemplo: raiz do polinómio x 3 +2

77 Ludwig Krippahl, Folha de cálculo Exemplo: raiz do polinómio x 3 +2

78 Ludwig Krippahl, Folha de cálculo Exemplo: raiz do polinómio x 3 +2 Fill right, fill down

79 Ludwig Krippahl, Folha de cálculo Exemplo: raiz do polinómio x 3 +2

80 Ludwig Krippahl, Folha de cálculo Exemplo: raiz do polinómio x 3 +2 Fill down

81 Ludwig Krippahl, Dúvidas


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