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DSOFT Amintas engenharia. Interpolação Polinomial Unidade 5.

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Apresentação em tema: "DSOFT Amintas engenharia. Interpolação Polinomial Unidade 5."— Transcrição da apresentação:

1 DSOFT Amintas engenharia

2 Interpolação Polinomial Unidade 5

3 DSOFT Interpolação Polinomial Ementa: 5.1 – Introdução 5.2 – Interpolação Linear e Quadrática 5.3 – Interpolação de Lagrange 5.4 – Interpolação com diferenças divididas (Newton) 5.5 – Interpolação com diferenças finitas (Gregory-Newton).

4 DSOFT Interpolação Polinomial 5.1 – Introdução Diversas vezes temos a necessidade de encontrar um valor intermediário em uma tabela de valores (por exemplo, a tabela de probabilidades de uma curva normal). Nesta unidade, estudaremos alguns métodos numéricos para resolver este tipo de problema.

5 DSOFT Interpolação Polinomial Polinômios Interpoladores: Polinômios interpoladores são polinômios construídos com o intuito de relacionar uma variável de entrada com uma variável de saída. Desta forma, eles podem ser usados para estimar os valores intermediários das tabelas. Mas a utilidade destes polinômios vai além: eles também serão necessários nas unidades 7, 8 e 9 deste curso.

6 DSOFT Interpolação Polinomial 5.2 – Interpolação linear e quadrática: 1 – Interpolação linear Dados dois pontos, (x 0, y 0 ) e (x 1, y 1 ), de uma função y=f(x), pode-se utilizar a interpolação linear para calcular o valor de y quando o valor de x assume valores entre x 0 e x 1. A forma do polinômio interpolador é: f(x) P 1 (x) = a 0 +a 1.x E ele pode ser calculado com a fórmula:

7 DSOFT Interpolação Polinomial Exemplo: Calcule P 1 (0,2) dados os pontos abaixo (retirados da equação f(x)=e 2x ): Através da fórmula: i01 xixi 0,10,6 yiyi 1,2213,320

8 DSOFT Interpolação Polinomial 2 – Interpolação Quadrática: Pode-se melhorar o resultado obtido com a interpolação linear aplicando um polinômio interpolador de grau maior. Por exemplo, digamos que temos três pontos (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ), de uma certa função y = f(x). Para realizar a aproximação, fazemos: f(x) P 2 (x) = a 0 +a 1.x+a 2.x 2 Onde P 2 (x) é um polinômio interpolador de grau 2.

9 DSOFT Interpolação Polinomial Se substituirmos os valores dos pontos no polinômio acima, teremos três equações distintas: Que podemos reescrever da seguinte forma:

10 DSOFT Interpolação Polinomial Este é um sistema de equações que pode ser facilmente resolvido por qualquer um dos métodos mostrados na unidade 4. Por este motivo, não será apresentado o algoritmo deste método.

11 DSOFT Interpolação Polinomial Exemplo: Dados os pontos (0,1; 1,221), (0,6; 3,320) e (0,8; 4,953), determine o valor de P 2 (0,2). Primeiro passo: Escrever o sistema de equações:

12 DSOFT Interpolação Polinomial Segundo passo: Resolver o sistema de equações (Neste exemplo, por Gauss):

13 DSOFT Interpolação Polinomial Solução do sistema de equações: a 0 =1,141 a 1 =0,231 a 2 =5,667 Terceiro Passo: Montar o polinômio: P 2 (x)=1,141+0,231.x+5,667.x 2 Quarto Passo: Encontrar o valor de P 2 (0,2): P 2 (0,2)=1,141+0,231.0,2+5,667.(0,2) 2 P 2 (0,2)=1,414

14 DSOFT Interpolação Polinomial 5.3 – Interpolação de Lagrange: As interpolações linear e quadrática mostradas até o momento são casos particulares da interpolação de Lagrange. Até o momento, vimos que para determinar uma interpolação linear, precisávamos de 2 pontos e para uma interpolação quadrática, precisávamos de 3. Agora veremos que sempre precisaremos de n+1 pontos para montar um polinômio interpolador de grau n.

15 DSOFT Interpolação Polinomial Portanto, se forem dados n+1 pontos distintos, podemos construir um polinômio L n (x) de grau menor ou igual a n, passando por todos os n+1 pontos dados. A fórmula do polinômio interpolador de Lagrange é:

16 DSOFT Interpolação Polinomial Algoritmo Polinomio_Lagrange {Objetivo: interpolar um valor na tabela usando Lagrange} Parâmetros de entrada: n, x, y, Valor Parâmetros de saída: Resultado Inteiro: i, j Real: c, d Leia n, x, y, Valor Resultado0 Para i 1 até n Passo 1 Faça c 1; d 1 Para j 1 até n Passo 1 Faça Se ij então c c*(Valor-x(j)); d d*(x(i)-x(j)) Fim se Fim Para Resultado Resultado+y(i)*c/d Fim Para Escreva Resultado Fim Algoritmo

17 DSOFT Interpolação Polinomial Exemplo: Calcule L 1 (0,2) dados os pontos abaixo (retirados da equação f(x)=e 2x ): Através da fórmula: i01 xixi 0,10,6 yiyi 1,2213,320

18 DSOFT Interpolação Polinomial Exemplo: Calcule L 2 (0,2) dados os pontos abaixo (retirados da equação f(x)=e 2x ): Utilizando a fórmula de Lagrange: i012 xixi 0,10,60,8 yiyi 1,2213,3204,953

19 DSOFT Interpolação Polinomial Resolvendo-a: Considerando que o valor real é f(x)=1,492, vemos que aumentar o grau do polinômio melhora a exatidão do resultado.

20 DSOFT Interpolação Polinomial 5.4 – Interpolação com diferenças divididas (Newton) Na seção anterior, vimos que não precisamos resolver um sistema de equações lineares para interpolar determinado valor. Uma das desvantagens da interpolação de Lagrange era a necessidade de se reconstruir todo o polinômio se o grau sofresse uma alteração. A interpolação de Newton resolve este problema.

21 DSOFT Interpolação Polinomial Operador de diferença dividida: Ele é representado por [x i,x j ], f[x i, x j ] ou Δy i e pode ser calculado da seguinte forma: Ordem 0: Δ 0 y i = y i Ordem 1: Ordem 2: Ordem n:

22 DSOFT Interpolação Polinomial O cálculo do operador de diferença dividida é melhor entendido em forma de tabela. Exemplo: Dado o conjunto de dados abaixo, determine a tabela de diferenças divididas: x0,00,20,30,40,70,9 y3,0002,7602,6552,6003,0354,125

23 DSOFT Interpolação Polinomial Primeiro Passo: Escrevemos a tabela na vertical, com uma coluna extra para o número do item: ixy 00,03,000 10,22,760 20,32,655 30,42,600 40,73,035 50,94,125

24 DSOFT Interpolação Polinomial Segundo passo: Criamos mais uma coluna, para as diferenças divididas de primeira ordem: ixyΔyiΔyi 00,03,000-1,20 10,22,760-1,05 20,32,655-0,55 30,42,6001,45 40,73,0355,45 50,94,125

25 DSOFT Interpolação Polinomial Terceiro passo: A próxima coluna difere da anterior apenas por buscar valores de x diferentes (saltando uma linha): ixyΔyiΔyi Δ2yiΔ2yi 00,03,000-1,200,5 10,22,760-1,052,5 20,32,655-0,555,0 30,42,6001,458,0 40,73,0355,45 50,94,125

26 DSOFT Interpolação Polinomial Quarto Passo: Completando a tabela até Δ 4 y i, temos (os valores finais foram zero porque o polinômio original era do 3º grau): ixyΔyiΔyi Δ2yiΔ2yi Δ3yiΔ3yi Δ4yiΔ4yi 00,03,000-1,200,550 10,22,760-1,052,550 20,32,655-0,555,05 30,42,6001,458,0 40,73,0355,45 50,94,125

27 DSOFT Interpolação Polinomial Fórmula de Newton: Agora que sabemos calcular as diferenças divididas, a fórmula de Newton para o polinômio interpolador pode ser empregada:

28 DSOFT Interpolação Polinomial Algoritmo Polinomio_Newton {Objetivo: interpolar um valor na tabela usando Newton} Parâmetros de entrada: n, x, y, Valor Parâmetros de saída: Resultado Inteiro: i, j Leia n, x, y, Valor Real: dely(n) Para i 1 até n Passo 1 Faça dely(i) y(i) Fim Para Para i 1 até n-1 Passo 1 Faça Para j n até i+1 Passo -1 Faça dely(j) (dely(j)-dely(j-1))/(x(j)-x(j-i)) Fim Para

29 DSOFT Interpolação Polinomial resultado dely(n) Para i n-1 até 1 passo -1 faça resultado resultado*(Valor-x(i))+dely(i) Fim Para Escreva Resultado Fim Algoritmo

30 DSOFT Interpolação Polinomial Exemplo: Dada a tabela de diferenças divididas abaixo, determine o valor de P 2 (1,2): ixyΔyiΔyi Δ2yiΔ2yi 00,93,211-2,0100,620 11,12,809-1,328 22,01,614

31 DSOFT Interpolação Polinomial Como n = 2, o polinômio de Newton será: Calculando:

32 DSOFT Interpolação Polinomial 5.5 – Interpolação com diferenças finitas (Gregory Newton): Este método é um caso especial do método de Newton, quando os valores dos x i estão igualmente espaçados. Neste caso, trabalhamos com um novo operador: O operador de diferença finita ascendente (Δ).

33 DSOFT Interpolação Polinomial Operador de diferença finita ascendente: Este operador é mais simples de calcular do que o operador de diferenças divididas, pois leva em conta somente os valores de y: Ordem 0: Δ 0 y i =y i Ordem 1: Δy i = Δ 0 y i+1 - Δ 0 y i Ordem 2: Δ 2 y i = Δy i+1 - Δy i Ordem n: Δ n y i = Δ n-1 y i+1 - Δ n-1 y i

34 DSOFT Interpolação Polinomial A relação entre os operadores de diferença dividida e de diferença finita ascendente é:

35 DSOFT Interpolação Polinomial Fórmula de Gregory Newton: O polinômio interpolador de Gregory-Newton é encontrado através da seguinte fórmula: Onde: h é o passo dos valores x i, ou seja h=x i+1 -x i u x é encontrado através da fórmula:

36 DSOFT Interpolação Polinomial Algoritmo Polinomio_Gregory_Newton {Objetivo: interpolar um valor na tabela usando Gregory-Newton} Parâmetros de entrada: n, x, y, Valor Parâmetros de saída: Resultado Inteiro: i, j Leia n, x, y, Valor Real: dely(n), u Para j1 até n-1 Passo 1 Faça Para i n até j+1 passo -1 faça Dely(i) Dely(i)-Dely(i-1) Fim Para u (Valor-x(1))/(x(2)-x(1)) Resultado Dely(n) Para i n-1 até 1 passo -1 faça Resultado=Resultado*(u-i+1)/i+Dely(i) Fim Para Escreva Resultado Fim Algoritmo

37 DSOFT Interpolação Polinomial Exemplo: Dados os pontos abaixo, encontre o valor de P 2 (115) através do método de Gregory Newton. ixy 01102, , ,114

38 DSOFT Interpolação Polinomial Usando os dados da tabela, calculamos: h= =10 Calculando a tabela de diferenças finitas: ixyΔyiΔyi Δ2yiΔ2yi 01102,0410,038-0, ,0790, ,114

39 DSOFT Interpolação Polinomial Aplicando a fórmula de Gregory Newton:

40 DSOFT engenharia


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