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Solução de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO): x(t) é uma função variante no tempo que depende da condição inicial x o (problema de valor inicial)

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1 Solução de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO): x(t) é uma função variante no tempo que depende da condição inicial x o (problema de valor inicial) Sistemas de equações diferenciais não-lineares, normalmente, não podem ser resolvidos analiticamente, assim são resolvidos numericamente. Métodos numéricos somente podem ser aplicados a EDOs de primeira ordem (onde a ordem corresponde a derivada de mais alta ordem da equação diferencial)

2 Métodos baseados na Série de Taylor:

3 0

4 p indica a ordem do método de integração A aplicação direta da Série de Taylor possui pouca precisão quando a ordem é baixa e grande complexidade e esforço computacional quando a ordem é elevada, por estas razões não é utilizada na prática. Série de Taylor para p=1: Série de Taylor para p=2: Método de Euler

5 Se a ordem da Série de Taylor aumenta também aumenta o número de derivadas e derivadas parciais, dificultando assim o uso de derivadas analíticas. A substituição de derivadas por aproximações deu origem aos métodos de Runge-Kutta. Método de Runge-Kutta de 4ª ordem: K i representam aproximações da função para is diferentes pontos entre t n e t n+1

6 Método derivados da Série de Taylor Estabilidade fraca são métodos de passo único, nenhuma informação de pontos anteriores a t n são requeridos são métodos explícitos, somente dependem da informação de t n para calcular t n+1. Métodos explícitos a presentam o problema de propagação do erro de truncamento, o que compromete a sua estabilidade numérica, para reduzir isso pequenos passos de integração h devem ser utilizados são de fácil implementação

7 Método Multipasso: usam informação de mais de um ponto para calcular x(t n+1 ) aproximação por um polinômio de grau k Uma função pode ser aproximada por um polinômio de grau adequado em um intervalo finito t n t n+1. Assim, x n+1 pode ser calculado como uma função polinomial de estimativas prévias x n, x n-1,... e funções f(x n,t n ), f (x n-1,t n-1 ),...

8 Método Explícitos (Adams-Bashford): obtem X n+1 a partir de x n, x n-1, x n-2,... X n-k Método de Euler São métodos explícitos, e como tal o erro de truncamento é cumulativo; São métodos não auto-iniciáveis.

9 Método Implícitos (Adams-Moulton): obtem x n+1 a partir de x n+1, x n, x n-1, x n-2,... x n-k+1 Método de Euler Reverso Método Trapezoidal Os métodos implícitos não acumulam erro de truncamento, porém podem apresentar oscilações numéricas se um passo de integração adequado não for utilizado; São resolvidos iterativamente.

10 Método de Previsão-Correção: utilizam um par de fórmulas, normalmente o previsor é um método explícito de baixa ordem e o corretor um método implícito de ordem mais elevada. 1. calcular x (o) n+1 por um método explícito 2.K=1 3.calcular f (x n+1,t n+1 ) 4.calcular x (k) n+1 usando um método implícito 5.se | x (k) n+1 - x (k-1) n+1 | / x (k-1) n+1 > incrementar k e voltar ao passo 3; senão calcular o próximo passo de integração Algoritmo:


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