Solução de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO):

Apresentação em tema: "Solução de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO):"— Transcrição da apresentação:

1 Solução de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO):
x(t) é uma função variante no tempo que depende da condição inicial xo (problema de valor inicial) Sistemas de equações diferenciais não-lineares, normalmente, não podem ser resolvidos analiticamente, assim são resolvidos numericamente. Métodos numéricos somente podem ser aplicados a EDO’s de primeira ordem (onde a ordem corresponde a derivada de mais alta ordem da equação diferencial)

2 Métodos baseados na Série de Taylor:

3  0

4 Série de Taylor para p=1:
“p” indica a ordem do método de integração A aplicação direta da Série de Taylor possui pouca precisão quando a ordem é baixa e grande complexidade e esforço computacional quando a ordem é elevada, por estas razões não é utilizada na prática. Série de Taylor para p=1: Método de Euler Série de Taylor para p=2:

5 Método de Runge-Kutta de 4ª ordem:
Se a ordem da Série de Taylor aumenta também aumenta o número de derivadas e derivadas parciais, dificultando assim o uso de derivadas analíticas. A substituição de derivadas por aproximações deu origem aos métodos de Runge-Kutta. Método de Runge-Kutta de 4ª ordem: Ki representam aproximações da função para “i’s” diferentes pontos entre tn e tn+1

6 Método derivados da Série de Taylor  Estabilidade fraca
são métodos de passo único, nenhuma informação de pontos anteriores a tn são requeridos são métodos explícitos, somente dependem da informação de tn para calcular tn+1. Métodos explícitos a presentam o problema de propagação do erro de truncamento, o que compromete a sua estabilidade numérica, para reduzir isso pequenos passos de integração “h” devem ser utilizados são de fácil implementação

7 Método Multipasso: usam informação de mais de um ponto para calcular
x(tn+1) aproximação por um polinômio de grau “k” Uma função pode ser aproximada por um polinômio de grau adequado em um intervalo finito tn  tn+1. Assim, xn+1 pode ser calculado como uma função polinomial de estimativas prévias xn, xn-1,... e funções f(xn,tn), f (xn-1,tn-1), ...

8 Método Explícitos (Adams-Bashford): obtem Xn+1 a partir de xn, xn-1,
xn-2, ... Xn-k São métodos explícitos, e como tal o erro de truncamento é cumulativo; São métodos não auto-iniciáveis. Método de Euler

9 Método Implícitos (Adams-Moulton): obtem xn+1 a partir de xn+1, xn,
xn-1, xn-2, ... xn-k+1 Os métodos implícitos não acumulam erro de truncamento, porém podem apresentar oscilações numéricas se um passo de integração adequado não for utilizado; São resolvidos iterativamente. Método de Euler Reverso Método Trapezoidal

10 Método de Previsão-Correção: utilizam um par de fórmulas, normalmente o previsor é um método explícito de baixa ordem e o corretor um método implícito de ordem mais elevada. Algoritmo: calcular x(o)n+1 por um método explícito K=1 calcular f (xn+1,tn+1) calcular x(k)n+1 usando um método implícito se | x(k)n+1 - x(k-1)n+1 | / x(k-1)n+1 >  incrementar k e voltar ao passo 3; senão calcular o próximo passo de integração