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8.EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Parte 1 8.1 – INTRODUÇÃO – PVIs 8.2 – MÉTODOS DE PASSO SIMPLES 8.2.1 – MÉTODO DE EULER 8.2.2 – MÉTODOS DE TAYLOR 8.2.3.

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1 8.EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Parte – INTRODUÇÃO – PVIs 8.2 – MÉTODOS DE PASSO SIMPLES – MÉTODO DE EULER – MÉTODOS DE TAYLOR – MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA 8.3 – MÉTODOS DE PASSO MÚLTIPLO 8.4 – MÉTODOS PREVISOR-CORRETOR 8.5 – EDOs DE ORDEM SUPERIOR E SISTEMAS DE EDOs PVCs E O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS hoje

2 8. EDOs 8.1 INTRODUÇÃO Problemas de Valores Iniciais (PVIs) Se dada uma EDO de ordem n, a função, assim como suas derivadas até ordem n-1, são especificadas em um único ponto, então temos um problema a valores iniciais. Exemplo:

3 8. EDOs 8.1 INTRODUÇÃO Problemas de Valores no Contorno (PVCs) Se para uma dada EDO de ordem n, as n condições forem dadas em diferentes pontos, então temos um problema a valores no contorno. Ao contrário dos PVIs, os PVCs podem não apresentar unicidade de solução.

4 8. EDOs 8.1 INTRODUÇÃO Exemplo de PVCs. 1- Seja um barra de comprimento L sujeita a uma carga uniforme q. Se em x=0 ela está fixada e em x=L ela está apoiada, então temos o problema

5 8. EDOs 8.1 INTRODUÇÃO PVCs sem unicidade na solução. 2- O problema tem como solução

6 8. EDOs 8.1 INTRODUÇÃO Nesta primeira parte do estudo de EDOs abordaremos métodos para resolução de PVIs de primeira ordem. Dado o PVI construiremos, para simplificar igualmente espaçados, ou seja, e calculamos as aproximações neste pontos.

7 8. EDOs 8.1 INTRODUÇÃO Se para calcular, usamos apenas, então dizemos que o Método é de Passo Um ou de Passo Simples. Porém se usarmos mais valores teremos um Método de Passo Múltiplo. Para PVIs de primeira ordem temos que é uma aproximação inicial para a solução. Problema auto-iniciante. Para Métodos de Passos Múltiplos deve- mos ter estratégias para as aprox. iniciais.

8 8. EDOs 8.1 INTRODUÇÃO Os Métodos de Passos Simples têm as seguintes características: 1)Deve-se calcular os valores de e de suas derivadas em muitos pontos. Fator negativo. 2) A estimativa dos erros não é trivial.

9 8. EDOs Método de Euler Considere o PVI Suponha que exista uma única solução do problema no intervalo de interesse. Reescrevendo (1) no ponto

10 8. EDOs Método de Euler Direto Aproximando a derivada em (2) pelo quociente de diferenças para frente (ou direto), obtemos Substituindo por seus valores aproximados,, temos a fórmula de Euler:

11 8. EDOs Método de Euler Direto Outra maneira para obter a fórmula de Euler é escrever o problema (1) como uma equação integral. Integrando (1) de

12 8. EDOs Método de Euler Direto Se aproximarmos a integral substituindo E como, então

13 8. EDOs Método de Euler Direto A integral em (5) é a área abaixo da curva ver- melha. No Método de Euler Direto é a área lilas.

14 8. EDOs Método de Euler Direto Note que quanto menor forem as partições, melhor será a convergência do Método de Euler. O Erro da fórmula de Euler pode ser majorado através da fórmula de Taylor. Seja ERRO

15 8. EDOs Método de Euler Direto Note que sendo então o erro devido ao truncamento de Euler é majorado por

16 8. EDOs Método de Euler Direto Exemplo 1: Considere o problema de valor inicial A solução exata é dada por Utilizando a fórmula de Euler (direta) e passos determine a solução do problema no intervalo

17 8. EDOs Método de Euler Direto Solução por Euler direta de th=0.05h=0.025h=0.01h=0.001Exata

18 8. EDOs Método de Euler Direto Note que os erros gerados em t=2.0 são grandes! Para h=0.001, ou seja, 2000 subinterva- los, temos um erro acumulado de 1.6% Como

19 8. EDOs Método de Euler Direto O erro devido ao truncamento local é Para ir de t=1.95 a t=2.0, quando h=0.05, Para obter um erro local de truncamento de 0.01 neste problema necessitamos de h= em torno de t=2 e h=0.03 em torno de t=0. Tais métodos com erros constante são chamados ADAPTATIVOS.

20 8. EDOs Método de Euler Inverso Uma variante do método de Euler, chamado Método de Euler Inverso, consiste em aproximar a derivada em pelo quociente de diferenças para trás (ou inverso)

21 8. EDOs Método de Euler Inverso Substituindo por seus valores aproximados, e fazendo temos a fórmula de Euler inversa Note que a fórmula de Euler inversa fornece o valor de de forma implícita.

22 8. EDOs Método de Euler Inverso A integral em (5) é a área abaixo da curva verme- lha. No Método de Euler Inverso é a área verde.

23 8. EDOs Método de Euler Inverso Exemplo 2: Considere o problema de valor inicial A solução exata é dada por Utilizando a fórmula de Euler (inversa) e passos determine a solução do problema no intervalo

24 8. EDOs Método de Euler Inverso Solução por Euler inversa de é dada pela fórmula de Euler inversa O primeiro passo gera: Continuando, temos a tabela:

25 8. EDOs Método de Euler Inverso Solução por Euler inversa de th=0.05h=0.025h=0.01h=0.001Exata

26 8. EDOs Método de Euler Aprimorado Note que tanto o método de Euler direto quanto o inverso geram erros acumulativos quando t cresce. No exemplo o erro foi da ordem de 1.2%. Os Métodos adaptativos de Euler são uma solução, contudo teremos uma sub-rotina para calcular o tamanho do passo para cada n. Fórmula de Euler Aprimorada ou centrada aproxima a função f na integral por uma média.

27 8. EDOs Método de Euler Aprimorado A fórmula de Euler Aprimorada escreve- se como: Os erros são menores e convergência é mais rápida neste caso.

28 8. EDOs Método de Euler Aprimorado A integral em (5) é a área abaixo da curva vermelha. No Método de Euler Aprimorado é a área amarela.

29 8. EDOs Método de Euler Aprimorado A solução por Euler Aprimorado de é dada pela fórmula também conhecida como fórmula de Heun. Calculando temos a tabela:

30 8. EDOs Método de Euler Aprimorado Solução por Euler aprimorado de th=0.05h=0.025h=0.01h=0.001Exata

31 8. EDOs Método de Euler Aprimorado O Método de Euler Aprimorado fornece resultados muito melhores do que aqueles de Euler Direto e Inverso. O Método de Euler Aprimorado Adapta- tivo fornece melhores resultados através da variação no tamanho dos passos. Neste procedimento, variando o tamanho dos passos, mantemos constante o erro de truncamento local da aproximação


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