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4 2 5 1 0011 0010 UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA PROJETO PIBEG Unidade V Integração Numérica.

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA PROJETO PIBEG Unidade V Integração Numérica

2 Sumário: 1 – Introdução 2 – Fórmulas de Newton - Cotes 3 – Regra dos Trapézios 3.1 – Erro de Truncamento 4 – Regra dos Trapézios Repetida 4.1 – Erro de Truncamento 5 – Regra 1/3 de Simpson 5.1 – Erro de Truncamento 6 – Regra 1/3 de Simpson Repetida 6.1 – Erro de Truncamento

3 – Introdução

4 Seja f(x) uma função contínua em [a, b]. O problema da integração numérica consiste em calcular um valor aproximado para: A idéia básica da integração numérica é a substituição de f(x) por um polinômio p n (x), que aproxime a função no intervalo [a, b]. Desta forma, a solução é obtida pela integração trivial de polinômios, ou seja: onde, I é a integral aproximada e E i o erro da integração numérica.

5 – Fórmulas de Newton - Cotes

6 Quando os pontos usados na determinação do polinômio interpolador são igualmente espaçados e, no caso particular onde x 0 = a e x n = b, tem-se o processo conhecido como fórmulas fechadas de Newton-Cotes. Assim, tem-se: f(x1)f(x1) f(x0)f(x0) a b || x0x0 x1x1 f(x)f(x) p(x)p(x)

7 Considerando uma variável auxiliar u, pode-se escrever: Portanto, a integral é dada por: Nesta unidade desenvolveremos as seguintes fórmulas de Newton-Cotes: Regra dos Trapézios Regra 1/3 de Simpson

8 – Regra dos Trapézios

9 Desenvolvimento por Newton - Gregory Desenvolvimento por Lagrange

10 Seja p n (x) um polinômio que interpole a função y = f(x) sobre n + 1 pontos. Pela fórmula de Lagrange, temos que: Consideremos o intervalo [a, b] tal que x 0 = a e x n = b. Portando a integral aproximada é dada por:

11 Pela Regra dos Trapézios considera-se o polinômio p n (x) de grau máximo n = 1, assim temos: Para fazer a integração consideremos os pontos igualmente espaçados de h e a variável auxiliar u:

12 f(x1)f(x1) f(x0)f(x0) a = x 0 b = x 1 f(x)f(x) p(x)p(x) h Esta equação representa a área do trapézio de altura h e bases f(x 0 ) e f(x 1 ).

13 Consideremos o intervalo [a, b] tal que x 0 = a e x n = b. O polinômio interpolador que passa por estes dois pontos terá grau máximo n = 1.

14 A integral aproximada é dada por: mas, logo, Esta equação representa a área do trapézio de altura h e bases f i e f i+1. f i+1 fifi a = x i b = x i+1 f(x)f(x) p(x)p(x) h

15 – Erro de Truncamento na Regra dos Trapézios Sabe-se que : Considerando a variável auxiliar u, o erro da interpolação polinomial, obtido na unidade anterior, é dado por: Substituindo na equação anterior resulta:

16 O teorema do valor médio para integral, permite escrever: Desta forma, a equação do erro pode ser reescrita como: desde que n (u) não mude de sinal no intervalo e n impar. No caso da Regra dos trapézios, faz-se n = 1 e obtém-se:

17 – Regra dos Trapézios Repetida

18 Com a finalidade de minimizar o erro cometido, seja a regra dos trapézios aplicada repetidas vezes. Considere pontos distintos (x i, y i ) i = 0,..., m igualmente espaçados com passo h, tais que x i+1 - x i = h. f(x)f(x) x f(x)f(x) x0x0 x1x1 x2x2 x3x3 x m-2 x m-1 xmxm...

19 Segundo a propriedade das integrais, tem-se: Utilizando a equação da regra dos trapézios, resulta:

20 – Interpretação Geométrica I TR = A 1 + A 2 + A 3 + A A m f(x)f(x) x A1A1 A2A2 A3A3 A4A4

21 – Erro de Truncamento na Regra dos Trapézios Repetida Considerando que f (x) seja contínua no intervalo [a, b], pode-se escrever que: Desta forma, o erro cometido na aplicação da regra dos trapézios repetida é dado por: E a cota superior (ou limitante) do erro absoluto vale:

22 Exemplo 1: Seja a) Aproximar I, usando a regra do Trapézios Repetida sobre 7 pontos. b) Estime o erro cometido. xixi yiyi a)a)

23 b)b)

24

25 – Regra 1/3 de Simpson

26 Desenvolvimento por Newton - Gregory Desenvolvimento por Lagrange

27 Utilizando novamente o polinômio de Lagrange para estabelecer a fórmula de integração de f(x) tem-se: Consideremos o intervalo [a, b] tal que x 0 = a, x 1 = x 0 + h e x 2 = x 0 + 2h = b. f(x)f(x) x x0x0 x1x1 x2x2

28 Pela Regra 1/3 de Simpson considera-se o polinômio p n (x) de grau máximo n = 2, assim temos: A integral aproximada é dada por:

29 Para fazer a integração consideremos a variável auxiliar u:

30 portanto,

31 Seja o intervalo [a, b] dividido em três pontos, portanto dois sub-intervalos: f(x)f(x) x xixi x i+1 x i+2 A integral aproximada, utilizando um polinômio de segundo grau, de acordo com a equação acima, vale:

32 mas, portanto,

33 – Erro de Truncamento na Regra 1/3 de Simpson O erro cometido ao se utilizar a regra 1/3 de Simpson não pode ser obtido através da equação abaixo: pois n (u) muda de sinal no intervalo. Demonstra-se que, para f (IV) (x) contínua em [x 0, x n ], o erro pode ser calculado por:

34 – Regra 1/3 de Simpson Repetida

35 Seja m +1 pontos igualmente espaçados, tal que o intervalo [a, b] seja subdividido em m intervalos pares. Segundo a propriedade das integrais, tem-se: Utilizando a equação da regra 1/3 de Simpson, resulta:

36 – Erro de Truncamento na Regra 1/3 de Simpson Repetida Considerando que f (IV) (x) seja contínua no intervalo [a, b], o erro pode ser calculador por: Desta forma, o erro cometido pela aplicação da Regra 1/3 de Simpson Repetida vale:

37 Assim, a cota superior do erro absoluto vale:

38 Exemplo 2: Seja a) Aproximar I, usando a regra 1/3 de Simpson Repetida sobre 7 pontos. b) Estime o erro cometido. xixi yiyi a)a)

39 b)b)

40 Do exemplo 1 temos que


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