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8.EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Parte 4 8.1–INTRODUÇÃO – PVIs 8.2–MÉTODOS DE PASSO SIMPLES 8.3–MÉTODOS DE PASSO MÚLTIPLO 8.4–MÉTODOS PREVISOR-CORRETOR.

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1 8.EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Parte 4 8.1–INTRODUÇÃO – PVIs 8.2–MÉTODOS DE PASSO SIMPLES 8.3–MÉTODOS DE PASSO MÚLTIPLO 8.4–MÉTODOS PREVISOR-CORRETOR 8.5–EDOs DE ORDEM SUPERIOR E SISTEMAS DE EDOs 8.6-PVCs E O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS hoje

2 8. EDOs INTRODUÇÃO Se para calcular, usamos apenas, então dizemos que o Método é de Passo Um ou de Passo Simples. Porém se usarmos mais valores teremos um Método de Passo Múltiplo. Para PVIs de primeira ordem temos que é uma aproximação inicial para a solução. Problema auto-iniciante. Para Métodos de Passos Múltiplos deve- mos ter estratégias para as aprox. iniciais.

3 8. EDOs Métodos de Adams-Bashforth Considere a EDO Suponha que exista uma única solução do problema no intervalo de interesse. Suponha que conhecemos aproximações para em e que

4 8. EDOs Métodos de Adams-Bashforth Os procedimentos do tipo Adams-Bashforth consistem em integrar a EDO de, ou seja, e resolver a integral por quadratura numérica.

5 8. EDOs Métodos de Adams-Bashforth Explícitos Se aproximarmos a integral utilizando então temos um método explícito. Vamos aproximar por um polinômio de grau, que interpola em

6 8. EDOs Métodos de Adams-Bashforth Explícitos Se escolhermos a função será aproximada por. Chamando onde as formas de Lagrange são dadas por

7 8. EDOs Métodos de Adams-Bashforth Explícitos Então:

8 8. EDOs Métodos de Adams-Bashforth Explícitos Fazendo a mudança de variáveis temos que Segue que:

9 8. EDOs Métodos de Adams-Bashforth Explícitos Através da mudança de variáveis

10 8. EDOs Métodos de Adams-Bashforth Explícitos Enfim,

11 8. EDOs Métodos de Adams-Bashforth Explícitos Enfim, Neste ponto fica claro que temos um método de passos múltiplos explícito, pois para calcular

12 8. EDOs Métodos de Adams-Bashforth Explícitos Sobre os erros do Método de Adams- Bashforth Explícito Da teoria de interpolação, quando interpola- mos f por um polinômio de grau m=3, o erro cometido é localmente de grau 5.

13 8. EDOs Métodos de Adams-Bashforth Implícitos Se aproximarmos a integral utilizando então temos um método implícito. Vamos aproximar por um polinômio, onde, que interpola em

14 8. EDOs Métodos de Adams-Bashforth Implícitos onde:

15 8. EDOs Métodos de Adams-Bashforth Implícitos De modo análogo, fazendo temos que Segue que:

16 8. EDOs Métodos de Adams-Bashforth Implícitos Através da mudança de variáveis Enfim, que é um método de passos múltiplos implícito.

17 8. EDOs Métodos de Adams-Bashforth Implícitos Sobre os erros do Método de Adams- Bashforth Implícito Da teoria de interpolação, quando interpola- mos f por um polinômio de grau m=3, o erro cometido é localmente de grau 5.

18 8. EDOs Métodos de Adams-Bashforth -Exemplo Exemplo 1: Para o PVI dado, estime. PVI: Pelo Método de Runge-Kutta com: 1ª ordem 2ª ordem 3ª ordem 4ª ordem Com h=1 Com h=0.25

19 8. EDOs Métodos de Adams-Bashforth -Exemplo Exemplo 1: Para o PVI dado, estime. PVI: Utilizando e os quatro dados iniciais

20 8. EDOs Métodos de Adams-Bashforth -Exemplo Roxo: 4 dados iniciais Laranja: Valores calculados


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