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8.EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Parte 2 8.1 – INTRODUÇÃO – PVIs 8.2 – MÉTODOS DE PASSO SIMPLES 8.2.1 – MÉTODO DE EULER 8.2.2 – MÉTODOS DE TAYLOR 8.2.3.

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1 8.EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Parte – INTRODUÇÃO – PVIs 8.2 – MÉTODOS DE PASSO SIMPLES – MÉTODO DE EULER – MÉTODOS DE TAYLOR – MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA 8.3 – MÉTODOS DE PASSO MÚLTIPLO 8.4 – MÉTODOS PREVISOR-CORRETOR 8.5 – EDOs DE ORDEM SUPERIOR E SISTEMAS DE EDOs PVCs E O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS hoje

2 8. EDOs – Métodos de Taylor Dado o PVI construiremos, para simplificar igualmente espaça- dos, ou seja, e calculamos neste pontos através de resultados já obtidos.

3 8. EDOs – Métodos de Taylor Os métodos que utilizam o desenvolvimento de Taylor são considerados de alto custo computacional, conforme aumenta- se a ordem da aproximação, pois em tais situações devemos calcular não somente o valor da função f, mas de suas derivadas também.

4 8. EDOs – Métodos de Taylor A série de Taylor de y(x) em torno de x=x n é dada por:

5 8. EDOs – Métodos de Taylor A série de Taylor de y(x) em x=x n+1 é O Método de Taylor é dito de ordem k

6 8. EDOs – Método de Taylor de 2ª Ordem Calculemos a fórmula de Taylor de 2ª ordem. Note que

7 8. EDOs – Método de Taylor de 3ª Ordem Analogamente, a fórmula de Taylor de 3ª ordem é dada por

8 8. EDOs – Método de Taylor de nª Ordem Note o aumento do gasto computa- cional em calcular os valores de f e suas derivadas em vários pontos. O cálculo da fórmula de Taylor de ordem n é muito trabalhoso. O Método de Euler é o Método de Taylor de ordem 1

9 8. EDOs Métodos de Taylor - Aplicação Exemplo 1: Considere o problema de valor inicial Utilizando a fórmula de Taylor de 2ª ordem calcule. Solução: Temos que

10 8. EDOs Métodos de Taylor - Aplicação Da fórmula de Taylor, em torno de Quanto ao erro cometido:

11 8. EDOs Métodos de Taylor - Aplicação Exemplo 2: Considere o problema de valor inicial Utilizando a fórmula de Taylor de 1ª ordem (Método de Euler) calcule Solução: Escolhendo uma partição em 5 subintervalos, segue e

12 8. EDOs Métodos de Taylor - Aplicação Exemplo 3: Considere o problema de valor inicial Utilizando a fórmula de Taylor de 2ª ordem calcule Solução: Escolhendo uma partição em 5 subintervalos, segue e

13 8. EDOs Métodos de Taylor - Aplicação Substituindo

14 8. EDOs Métodos de Taylor - Aplicação Exemplo 2: Para o problema de valor inicial xixi EulerTaylor p=2Exato

15 8. EDOs Métodos de Taylor Exercícios: Resolva o problema de valor inicial considerando Calcule por meio do a)Método de Euler Aprimorado b)Taylor de 2ª ordem c)Compare os resultados


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