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PROGRESSÃO ARITMÉTICA P.A. Matemática Discreta Observe as seqüências numéricas: 2 4 6 8... 12 9 6 3... 5 5 5 5...

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Apresentação em tema: "PROGRESSÃO ARITMÉTICA P.A. Matemática Discreta Observe as seqüências numéricas: 2 4 6 8... 12 9 6 3... 5 5 5 5..."— Transcrição da apresentação:

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2 PROGRESSÃO ARITMÉTICA P.A. Matemática Discreta

3 Observe as seqüências numéricas:

4 Essas seqüências foram construídas de forma que cada termo (número), a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante.

5 Observe a construção da primeira seqüência: Escolhemos um número para ser o primeiro termo da seqüência: 2 Adicionamos a ele um número qualquer e obtemos o segundo termo: Para obter os demais termos, vamos adicionando algebricamente sempre o mesmo valor ao número anterior:

6 Progressões Aritméticas Seqüências desse tipo, nas quais cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante, são chamadas de Progressões Aritméticas. P.A. Essa constante, que indicaremos por r, é denominada razão da P.A.

7 Assim na progressão aritmética, (2,4,6,8,...) temos r = 2 e a P.A. é dita crescente. (12,9,6,3,...) temos r = -3 e a P.A. é dita decrescente. (5,5,5,5,...) temos r = 0 e a P.A. é dita constante.

8 Vamos agora encontrar uma expressão que nos permita obter um termo qualquer de uma Progressão Aritmética (PA), conhecendo apenas o primeiro e a razão. a 2 = a 1 + r O valor do terceiro termo é igual ao segundo mais a razão: a 3 = a 2 + r Seja a 1 o primeiro termo e r a razão da P.A. O valor do segundo termo é igual ao primeiro mais a razão : Como: a 2 = a 1 + r tem-se que : Termo Geral da Progressão Aritmética a 3 = a 1 + r + r logo, a 3 = a 1 + 2r

9 O valor do quarto termo será o terceiro mais a razão: a 4 = a 3 + r Como a 3 = a 1 + 2r temos que : a 4 = a 1 + 2r + r logo a 4 = a 1 + 3r Continuando assim podemos perceber que qualquer termo de uma PA pode ser expresso da seguinte forma: a n = a 1 + (n – 1). r onde n indica a qual termo estamos nos referindo.

10 Essa fórmula poderá ser usada sempre que quisermos encontrar a n, a 1, n ou r. Veja alguns exemplos: 1) Sendo a 1 = 3 e r = -2, calcule o décimo termo. Como queremos o décimo termo temos que n = 10. Substituindo na fórmula do termo geral teremos: a 10 =3 + (10–1).(-2) a 10 = (-2) a 10 = a 10 = - 15

11 Aplicando na fórmula temos: 30 = a 1 + (20–1).3 30 = a = a a 1 = ) Determine o primeiro termo de uma P.A. de razão 3 e 20 0 termo igual a 30.

12 Substituindo os valores na fórmula temos: - 21 = 5 + (14 – 1). r - 21 = r - 21 – 5 = 13. r - 26 = 13. r r = - 2 3) Calcule a razão da P.A. sabendo que a 1 = 5 e a 14 = - 21.

13 Primeiro calculamos a razão:r = 47– 50 r = -3 Substituindo na fórmula: 14 = 50 + (n – 1).(-3) 14 – 50 = (n -1).(-3) -36 = (n – 1).(-3) n - 1 = -36 / (-3) 12 = n - 1 Logo, n = 13 4) Calcule o número de termos da P.A. finita: (50,47,44,......,14).

14 SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA FINITA Observe a P.A. finita: Notamos que a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

15 Portanto, S n = (a 1 + a n ) + ( a 1 + a n ) ( a 1 + a n) ) n/2 parcelas iguais a (a 1 + a n ) A soma dos seus termos pode ser escrita por: Consideremos a P.A. finita de razão r: (a 1,a 2,a 3,...,a n-2,a n-1,a n )

16 em que: * a 1 é o primeiro termo; * a n é o enésimo termo; * n é o número de termos; * S n é a soma dos n termos. Então:

17 Devemos calcular a n ou seja a 50: a 50 = = = 198 Aplicando a fórmula da soma temos: Logo, S 50 = 5000 Nessa P.A. infinita, os 50 primeiros termos formam uma P.A. finita, na qual a 1 = 2, r = 4 e n= 50 Veja alguns exemplos de utilização da fórmula da soma dos termos de uma P.A. 1) Calcule a soma dos 50 primeiros termos da P.A. (2,6,....).

18 2) Em relação a seqüência dos números naturais ímpares, vamos calcular a soma dos 20 primeiros termos. A seqüência é (1,3,5,7,......) com r = 2. Calculando a 20 temos: a 20 = = Então, a 20 = 39 Assim: Logo, S 20 = 400


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