A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

Técnicas de Processamento Imagens Fourier 1D e 2D.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "Técnicas de Processamento Imagens Fourier 1D e 2D."— Transcrição da apresentação:

1 Técnicas de Processamento Imagens Fourier 1D e 2D

2 Transformada de Fourier n A Transformada de Fourier –Toda função pode ser escrita como um somatório de senos e cosenos –A TF consiste em converter uma função em componentes senos e cosenos –Seja f(t) uma função no tempo, aplicando a FT, temos F(s) que corresponde a função no espectro (espaço de Fourier).

3 n Uma onda quadrada pode ser expressa como uma série de senos: n A 1 *sin(x) + A 2 *sin(3x) + A 3 *sin(5x) + …

4 Transformada de Fourier (sinal contínuo) –Onde s é a função no espectro e t no tempo n Inversa Observe que estamos trabalhando com números complexos!!!

5 Exemplos:

6

7 Onda quadrada - Pulso

8

9

10

11 Algumas propriedades da FT n Linearidade x(t) + y(t) X(f) + Y(f)

12

13

14 Simetria H(t) h(-f) Seja h(t) e H(f) pares da transformada de Fourier então:

15 Escala no tempo e na freqüência n Escala no tempo n Escala na freqüência h(kt) 1/|k|*H(f/k) 1/|k|*h(t/k) H(kf)

16 Deslocamentos no tempo e na freqüência n Deslocamentos no tempo (fase) h(t-t 0 ) H( f )e -j2 ft 0

17

18 Deslocamento na freqüência h(t) e j2 f 0 H( f -f 0 )

19

20 Convolução n A propriedade mais importante da FT h(t) H( f ) e g(t) G( f ) (h*g)(t) H( f )G( f ) h(t)g(t) (H * G)( f )

21

22 Conservação da energia n Teorema de Parseval

23 Amplitude e fase

24 Fase e amplitude n O espaço FT pode ser visualizado diretamente através das suas componentes (real e imaginária) n Ou através da fase e amplitude do spectro

25 Calculando a fase e a amplitude n Amplitude é determinada pelo módulo: –seja z um número complexo definido como: z = x + yi – z = |z| = x 2 + y 2 –| H(f) | = Re[H(f)] 2 + Im[H(f)] 2 n Fase é dada por:

26 Transformada Discreta de Fourier DFT

27 Transformada Discreta de Fourier n Para uma função definida como uma amostragem constante de pontos no espaço (ou tempo) pode ser utilizada a transformada de Fourier Discreta (DFT) n Seja f[] uma função (vetor) definido por N pontos sua DFT é F[]: F(u) = (1/N) (x=0:N-1)[f(x) e -j 2 ux /N ] f(x) = (u=0:N-1)[F(u) e j2 ux /N ]

28 DFT - shifting n Quando realizado a DFT de uma onda quadrada obtemos: Observe houve um deslocamento

29 DFT - shifting n A FT é centralizada na origem, mas n a DFT é centralizada em N/2 n É necessário realizar um deslocamento para corrigir o resultado.

30 Sub-amostragem n Time sampling too far apart n Looks like sine wave of different freq Over-sampled -- faithful representation Under-sampled (solid lines)

31 Outro exemplo de sub- amostragem

32 Transformada Rápida de Fourier FFT - Fast Fourier Transform n A DFT apresenta N 2 operações n Para reduzir o custo da DFT foi desenvolvido o algoritmo da FFT. n FFT apresenta NlogN operações –É muito importante, quando N é grande –Muitas aplicações de processamento de sinais (ou imagens) em tempo real seriam impraticáveis utilizando a DFT

33 Transformada de Fourier 2D n Contínua n Discreta

34 Algoritmo 2D de 1D FFT 1D para cada linha Matriz A Separar em linhas Compor linhas em matriz Separar em colunas Matriz FFT 1D para cada coluna FFT 2D de A

35 Exemplos de DFT/FFT 2D

36 Pulso / Sync 2D x y f(x,y)

37 A 2D Discrete Fourier Transform

38 Amplitude e Fase original amplitude fase |F(u,v)| F(u,v)

39 1D Spatial Frequencies

40 2D Spatial Frequencies

41 Propriedades DFT/FFT 2D

42 Rotação

43 Combinação Linear (soma) + + = =

44 Translação |F(u,v)| F(u,v)

45 Expansão

46 Relação de freqüência espaço/espectro

47 Alguns pares...

48 Combinando Amplitude e Fase As funções complexas podem ser decompostas em suas magnitudes e fases. f(t) pode ser escrita: f(t) = Mag{ f(t) } exp[ i Phase{ f(t) }] Do mesmo modo, F( ) = Mag{ F( ) } exp[ i Phase{ F( ) }] Com estas propriedades podemos combinar a amplitude e a fases em imagens.

49 Pictures reconstructed using the Fourier phase of another picture The phase of the Fourier transform is much more important than the magnitude in reconstructing an image. RickLinda Mag{Linda} Phase{Rick} Mag{Rick} Phase{Linda} Combinando Amplitude e Fase


Carregar ppt "Técnicas de Processamento Imagens Fourier 1D e 2D."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google