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Fotônica4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção Por que acontecem efeitos não lineares? Na óptica, uma onda de luz incide sobre uma molécula,

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1 Fotônica4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção Por que acontecem efeitos não lineares? Na óptica, uma onda de luz incide sobre uma molécula, a qual oscila. Esta emite sua própria onda que interfere com a onda original. Esquematizando este processo em termo dos níveis de energia das moléculas:

2 Fotônica4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção Por que acontecem efeitos não lineares? Agora, suponha que intensidade é alta o bastante para excitar as moléculas para um estado de alta energia. Esse estado pode se tornar o nível inferior de uma excitação. Esta gera vibrações em todas as freqüências correspondentes a todas diferenças de energia entre estados ocupados.

3 Fotônica4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção Óptica não linear é análoga à eletrônica não linear Enviando um único sinal harmônico (freqüência pura) para um alto-falante barato, resulta em um sinal de saída truncado, mais parecido com uma onda quadrada. Observando o espectro de freqüencias, observamos um novo conjunto dessas. O que ouvimos é distorção.

4 Fotônica4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção Óptica não linear e osciladores não harmônicos Para campos fracos, o movimento é harmônico, prevalecendo o regime e fenômenos de óptica linear. Para campos fortes (lasers), ocorre o movimento não harmônico, e outros harmônicos surgem, tanto no movimento, quanto na emissão de luz. Olhando para o dipolo gerador da nova onda, a não linearidade óptica é visualizada através do potencial eletrônico, quando esse deixa de ser um simples potencial harmônico. Exemplo: o movimento vibracional em uma molécula:

5 Fotônica4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção Equações de Maxwell em um Meio Material A polarização induzida, P, contém o efeito do meio: Soluções harmônicas; a polarização impõe a freqüência de oscilação (a fonte). Estas equações podem ser reduzidas à equação de onda escalar: Equação de Onda não homogênea

6 Fotônica4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção Polarização Linear Para baixas intensidades escrevemos: Desta forma, obtemos: Com a seguinte solução: A polarização induzida apenas modifica o índice de refração. onde = ck and c = c 0 /n and n = (1+ ) 1/2 Utilizando o fato que: Simplificando:

7 Fotônica4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção A óptica não linear surge quando a polarização é resultante de termos de alta ordem (não lineares!) no campo: P Quais são os efeitos dos termos não-lineares? Considere o segundo termo: 2 = 2 o harmônico! Equações de Maxwell em um Meio Não Linear

8 Fotônica4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção Geração de soma e de diferença de freqüências Suponha que dois feixes de cores estão presentes: Então: SHG SFG DFG dc retificação

9 Fotônica4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção Efeitos não-lineares complicados podem ocorrer Quanto mais fótons (i.e., maior a ordem) porém mais fraco o efeito. Efeitos de ordem muito alta podem ser observados, mas esses requerem alta intensidade. Ainda, se as energias dos fótons coincidem com uma ressonância do meio, o efeito é amplificado. Processos ópticos não lineares são usualmente denominados: Processos de mistura de N-ondas" onde N é o número de fótons envolvido (inclusive o emitido). Freqüência da luz emitida

10 Fotônica4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção Polarização Induzida para efeitos não lineares Setas apontando para cima correspondem a absorção de fótons e contribuem com um fator de campo, E i ; Setas apontando para baixo correspondem à emissão de fótons e contribuem com um fator de complexo conjugado do campo:

11 Fotônica4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção Resolvendo a equação de onda para ONL Levando em conta a polarização linear e trocando c 0 por c. O campo total E contém muitas freqüências discretas, 1, 2, etc. Escrevendo separadamente as equações de onda para cada freqüência, considerando apenas a polarização induzida nesta freqüência: E 1 e P 1 são os campos elétrico e polarização na freqüência 1. e E 2 e P 2 são os campos elétrico e polarização na freqüência 2.

12 Fotônica4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção Escrevendo o pulso do campo elétrico como o produto de um envelope e uma exponencial complexa: E (z,t) = E (z,t) exp[i( t – k z)] Neste caso, consideramos ainda que o envelope do novo pulso não se altera rapidamente. Esta é a Aproximação de Envelope Lentamente Variável. Se d é a escala de comprimento de variçào do envelope, esta aproximação resulta na condição: d >> Aproximação de Envelope Lentamente Variável Comparndo E 0 e suas derivadas:

13 Fotônica4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção Fazendo o mesmo no tempo: Se é a escala de tempo da variação do envelope : >> onde correponde ao período de um ciclo óptico, Aproximação de Envelope Lentamente Variável Comparando E 0 e suas derivadas temporais:

14 Fotônica4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção Repetindo todo o procedimento para a polarização: P (z,t) = P (z,t) exp[i( t – k z)] Se é a escala de tempo da variação do envelope : >> onde T 0 correponde ao período de um ciclo óptico,. Aproximação de Envelope Lentamente Variável Comparando P 0 e suas derivadas temporais:

15 Fotônica4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção Calculando as derivadas: Aproximação de Envelope Lentamente Variável x x x x

16 Fotônica4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção Como k 0 = 0 / c, os dois útimos termos entre colchetes cancelam-se. Aproximação de Envelope Lentamente Variável Substituindo os sobreviventes na equação para 0 : Aproximação de Envelope Lentamente Variável Dividindo por 2ik 0 : xx

17 Fotônica4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção Incluindo dispersão Realizando a tranformada de Fourier, expandindo k ( ) em primeira ordem em, substitui-se c por v g : Dispersão de velodidade de grupo GVD em segunda ordem:

18 Fotônica4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção No referencial do envelope (surfando) No sistema de coordenadas: z v = z t v = t – z / v g Transformando as derivadas: SVEA torna-se: Canceling terms, the SVEA becomes: Well drop the sub- script ( v ) to simplify our equations. Cancelam-se as derivadas temporais! x x

19 Fotônica4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção Escolhemos 0 como soma das incidentes s: O vetor-k da luz nesta freqüência é: O vetor-k da polarização induzida é: Infelizmente, k p pode diferir de k 0 ! Nem sempre cancela-se exp(-ikz) s… Vetores de onda de campos elétricos e polarizações não são necessariamente iguais

20 Fotônica4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção Casamento de fase k p não ser o mesmo que k 0 é efeito importante de casamento de fase. Ele deve ser considera em todos os problemas de óptica não linear. Se os k s não casam, a polarização induzida e o campo elétrico gerado se moverão dentro e fora de fase. onde: Integrando a SVEA ao longo do comprimento do meio ( L ) : SVEA:

21 Fotônica4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção Casamento de fase Portanto: L I k large k small

22 Fotônica4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção Dependência espacial senoidal da intensidade de SHG Grande kPequeno k Se k não é zero, a luz gerada em uma região está fora de fase com a gerada em uma região posterior, causando cancelamento.

23 Fotônica4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção Sinc 2 ( kL/2) Lembrando: Multiplicando e dividindo por L/2 :

24 Fotônica4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção I k Sinc 2 ( kL/2) A intensidade Para maximizar a intensidade, Temos que fazer k = 0. O casamento de fase. k E0E0 O campo:

25 Fotônica4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção Casamento de fase = Lei da conservação de fótons Adicionando as freqüências: É o mesmo que a conservação de energia multiplicando-se por h cortado: Somando os k s conserva-se momentum: Casamento de fase é equivalente às leis de conservação de energia e momentum


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