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Lista 3!!!. 3. Um oscilador criticamente amortecido,partindo da posição de equilíbrio, recebe um impulso que lhe comunica uma velocidade inicial v 0.

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1 Lista 3!!!

2 3. Um oscilador criticamente amortecido,partindo da posição de equilíbrio, recebe um impulso que lhe comunica uma velocidade inicial v 0. Verifica-se que ele passa por seu deslocamento máximo, igual a 3,68 m, após 1 segundo. (a)Qual é o valor de v 0 ? (b) Se o oscilador tivesse um deslocamento inicial x 0 = 2 m com a mesma velocidade inicial v 0, qual seria o valor de x no instante t? R: (a) v 0 = 10 m/s (b) x(t) = e t (2+12t) Vamos construir as equações básicas e impor as condições iniciais propostas.

3 O caso crítico O caso super crítico O caso amortecido

4 Em t = 0 : x(0) = 0 a = 0

5 Item a: A velocidade inicial será: Item b: Para uma condição inicial de partida em Xo = 2m temos: A condição inicial de partida resulta que a = 2m A velocidade inicial é dada sendo 10m/s, então obtemos o valor de b:

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7 4. (Poli 2006) O Gráfico de x(t), mostrado na figura abaixo, representa a equação horária de um oscilador criticamente amortecido, para um sistema composto de um corpo de massa m = 1, 0 Kg preso a uma mola de constante elástica k e imerso em um líquido viscoso, de coeficiente de resistência viscosa. (a) Em que instante de tempo a velocidade do corpo será nula, no intervalo de tempo mostrado no gráfico? V = 0 A velocidade é zero quando a tangente da curva for zero. Isso corresponde em t = 3 s t = 3s

8 (b) A equação horária x(t) pode ser escrita como: x(t) = e /2t (a + bt) Podemos derivar x(t) duas vezes e montar a equação diferencial. E em seguida mostramos que a identidade vale: Determine os valores de a e b. (c) Determine a constante de decaimento e a constante elástica k da mola. (d) Determine o valor da velocidade inicial do oscilador. R: (a) t=3s; (b) a = 0, 5 m e b = 0, 5 m/s; (c) = 1 s 1 ; (d) v 0 = 0.75 m/s.

9 Oscilações livres com amortecimento viscoso proporcional a velocidade. Freqüência angular com dissipação viscosa. é o atrito viscoso.

10 Vamos testar uma solução com a função: As suas respectivas derivadas são: Que, substituídas na equação resulta: Item b: Solução da Equação do Movimento com Atrito Viscoso a solução para x será:

11 A solução fica na forma: Mas!então o termo da raiz é complexo! Escrevendo a raiz na forma: Uma solução parcial será: Observe que temos duas soluções possíveis! e fazendo:

12 A solução final tem a forma: O termo de atrito viscoso é: Usando-se a relação de Euler: A freqüência angular desta oscilação será: A oscilação esta em estado crítico quando: Também chamado caso degenerado:

13 A outra solução é procurar a forma : e repetindo o processo anterior de derivação sucessiva. Concluiremos que a segunda solução : E assim a solução geral do caso degenerado será: Uma equação dif. de seg. grau tem 2 soluções que no caso degenerado já sabemos uma. Como será a forma da segunda solução?

14 Item b: Para t = 0 temos x = 0.5 t = 0 x = 0 Para t = 1s temos x = 0

15 Item c: Se v(3) = 0 EXTRAIR O VALOR DE GAMA e o k da mola : A VELOCIDADE SERÁ:

16 A equação de d´Alembert A solução da equação de d´Alembert tem a forma y(x,t) = f(x±vt) onde o sinal (–) significa que a propagação será progressiva ( ) e (+) regressiva ( ) e v é a velocidade de propagação da onda. A busca da sua solução implica em se impor condições de contorno. A solução y(x,t) = f(x±vt) pode ser simples ou muito complexa!

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18 20. (Poli 2006) Uma corda uniforme, de comprimento 20 m e massa 2 Kg, está esticada sob uma tensão de 10 N. Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, com amplitude 3 cm e frequencia de 5 oscilações por segundo. O deslocamento inicial da extremidade é de 1,5 cm para cima. (a) Ache a velocidade de propagação v e o comprimento de onda da onda transversal progressiva que é produzida na corda. (b) Escreva, como função do tempo, o deslocamento transversal y de um ponto da corda situado a uma distância x da extremidade que se faz oscilar, após ser atingido pela onda e antes que ela chegue à outra extremidade. (c) Calcule a intensidade I da onda progressiva gerada.

19 Se a massa é 2Kg e o comprimento 20m a densidade linear da corda é : A velocidade é dada por: O comprimento de onda é dado por: Onde :

20 Uma solução geral da equação de d´Alembert é: A amplitude A é 3cm 0,03m e a fase se obtém impondo y(0,0) = 0,015m( 3cm 2m

21 A potência média é :

22 Você sabe o que é superheterodinagem? Neste caso multiplicamos dois sinais:

23 Dr. Sebastião Simionatto FEP

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32 Para tratar de oscilações em meios continuos temos que usar a equação de d´Alembert

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