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Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Marco Antonio Montebello Júnior

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Apresentação em tema: "Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Marco Antonio Montebello Júnior"— Transcrição da apresentação:

1 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Marco Antonio Montebello Júnior

2 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Interpolação Polinomial Consiste em determinar, de forma aproximada, uma função que descreve o comportamento de outra função que não se conhece, mas que tem valores tabelados do tipo (x, f(x)).

3 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Interpolação Polinomial Através dos pontos: (x 0, f(x 0 )), (x 1, f(x 1 )),..., (x n, f(x n )) (n+1 pontos) Deseja-se aproximar f(x) por um polinômio p(x) de grau menor ou igual a n, tal que: f(x i ) = p n (x i )i = 0, 1, 2,..., n Onde: p n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n

4 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Interpolação Polinomial Portanto, interpolar um ponto x a um conjunto de n+1 dados {x i,f(x i )}, significa: Calcular o valor de f(x), sem conhecer a forma analítica de f(x); Ajustar uma função analítica aos dados Podemos concluir que: A interpolação polinomial consiste em obter um polinômio p(x) que passe por todos os pontos do conjunto n+1 de dados {x i,f(x i )}

5 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Interpolação Polinomial De maneira que: p(x 0 ) = f(x 0 ) p(x 1 ) = f(x 1 )... p(x n ) = f(x n ) Detalhe importante: o índice se inicia em 0 (zero) portanto temos n+1 pontos. O polinômio p(x) é chamado de polinômio interpolador

6 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Interpolação Polinomial Conforme demonstrado podemos escrever:...

7 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Interpolação Polinomial Considere o conjunto de dados {x i,f(x i )} Como obter o valor de f(x) para um determinado valor de x que não foi medido A função f(x) não é conhecida xixi 01,53,04,56,0 f(x i )0,0010,0160,0280,0460,057

8 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Interpolação Polinomial

9 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Forma de Lagrange Considere o conjunto de n+1 dados {x i,f(x i )} Deseja-se obter o polinômio p n (x) de grau menor ou igual a n, que interpola f(x) em x 0, x 1, x 2,..., x n

10 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Forma de Lagrange Podemos representar p n (x) como: Onde os polinômios L k (x) são de grau n Para cada i a condição p n (x i ) = f(x i ) deve ser satisfeita

11 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Forma de Lagrange Para satisfazer a condição imposta, devemos considerar:

12 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Forma de Lagrange Portanto, vamos provar a condição imposta: e

13 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Forma de Lagrange Ou seja, p(x) passa exatamente sobre {x i,f(x i )} E, podemos verificar isso facilmente, pois:

14 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Forma de Lagrange Uma das maneiras de definir L k (x) seria:

15 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Forma de Lagrange Podemos definir o polinômio interpolador na Forma de Lagrange, como: e

16 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Forma de Lagrange Interpolação para 2 pontos Considere o conjunto de dados {x i,f(x i )} Passo 1 – Montar a estrutura do polinômio xixi x0x0 x1x1 f(x i )f(x 0 )f(x 1 )

17 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Forma de Lagrange Interpolação para 2 pontos Passo 2 – L i (x) devem satisfazer as condições L 0 (x 0 ) = 1L 1 (x 0 ) = 0 L 0 (x 1 ) = 0L 1 (x 1 ) = 1 Passo 3 – Montar os L i (x), conforme:

18 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Forma de Lagrange Interpolação para 2 pontos Passo 3 (continuação)... Passo 4 – Substituir os L i (x) no polinômio p(x)

19 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Forma de Lagrange Interpolação para 3 pontos Considere o conjunto de dados {x i,f(x i )} Passo 1 – Montar a estrutura do polinômio xixi x0x0 x1x1 x2x2 f(x i )f(x 0 )f(x 1 )f(x 2 )

20 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Forma de Lagrange Interpolação para 3 pontos Passo 2 – L i (x) devem satisfazer as condições L 0 (x 0 ) = 1L 1 (x 0 ) = 0 L 2 (x 0 ) = 0 L 0 (x 1 ) = 0L 1 (x 1 ) = 1 L 2 (x 1 ) = 0 L 0 (x 2 ) = 0L 1 (x 2 ) = 0 L 2 (x 2 ) = 1 Passo 3 – Montar os L i (x), conforme:

21 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Forma de Lagrange Interpolação para 3 pontos Passo 3 (continuação)... Passo 4 – Substituir os L i (x) no polinômio p(x)

22 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Forma de Lagrange Exemplo Ajustar uma reta aos seguintes pontos: Passo 1 X24 f(x)3,15,6

23 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Forma de Lagrange Exemplo Passo 2 – L i (x) devem satisfazer as condições L 0 (x 0 ) = 1L 1 (x 0 ) = 0 L 0 (x 1 ) = 0L 1 (x 1 ) = 1 Passo 3 – Montar os L i (x), conforme:

24 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Forma de Lagrange Exemplo Passo 3 (continuação)...

25 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Forma de Lagrange Exemplo Passo 4

26 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Estudo do Erro na Interpolação (Teorema 2) Ao se aproximar uma função f(x) por um polinômio interpolador de grau n, comete-se um erro: Erro absoluto: E n (x) = f(x) – p n (x), para todo x no intervalo [x 0, X n ] Estudar o erro é importante para sabermos quão próximo f(x) está de p n (x)

27 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Estudo do Erro na Interpolação (Teorema 2) Sejam x 0 < x 1 < x 2 <... < x n (n pontos) Seja f(x) com derivadas até a ordem n para todo x pertencente ao intervalo [x 0, x n ] Seja p n (x) o polinômio interpolador de f(x) nos pontos x 0, x 1,..., x n Então, em qualquer ponto x pertencente ao intervalo [x 0, x n ], o erro é dado por:

28 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Limitante para o Erro A fórmula para o erro mostrada anteriormente tem seu uso limitado na prática, pois são raras as situações que conhecemos f (n) (x) e o ponto x nunca é conhecido. Agora estudaremos 2 corolários do Estudo do Erro na Interpolação (Teorema 2), que relacionam o erro com um limitante de f (n) (x)

29 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Limitante para o Erro Corolário 1 Baseados no que foi dito anteriormente, se f (n) (x) for contínua em I=[x 0,x n ], podemos escrever a relação:

30 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Limitante para o Erro Corolário 2 Se além das hipóteses anteriores os pontos forem igualmente espaçados, ou seja: x 1 - x 0 = x 2 – x 1 =... = x n – x n-1 = h, Então: Observe que o majorante acima independe do ponto x considerando, x [x 0, x n ]

31 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Forma de Lagrange Exercícios 1. Interpolar o ponto x = 1,5 na tabela abaixo, empregando o polinômio interpolador de Lagrange x012 f(x)1311

32 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Forma de Lagrange Exercícios A tabela seguinte relaciona a velocidade de queda de um pára-quedista em função do tempo. Determine a velocidade de queda do pára-quedista ao fim de 10s usando polinômio interpolador de Lagrange de grau menor igual a 3 Tempo(s) Vel(cm/s)

33 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Forma de Lagrange Exercícios Dada a tabela da função f(x) = ln(x), calcule uma aproximação para o valor f(12,3), usando a interpolação parabólica baseada no método de Lagrange. x f(x)2, , , , ,708050


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