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OBJETIVO Dado um conjunto de pontos, determinar uma função g(x) que melhor se ajusta ao conjunto. x0x0 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 f(x) g(x) Pontos conhecidos:

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3 OBJETIVO Dado um conjunto de pontos, determinar uma função g(x) que melhor se ajusta ao conjunto. x0x0 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 f(x) g(x) Pontos conhecidos: (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), (x 3, y 3 ), (x 4, y 4 ), (x 5, y 5 ). A função f(x) pode ser ou não conhecida. Nesse estudo procuraremos ajustar uma função polinomial g(x) = a n x n + a n-1 x n a 0 ao conjunto de pontos.

4 INTERPOLAÇÃO POR SISTEMAS LINEARES Conhecidos n + 1 pontos (x 0, f(x 0 )), (x 1, f(x 1 )), (x 2, f(x 2 )),...., (x n, f(x n )), g(x) será um polinômio de grau menor ou igual a n, tal que: g n (x k ) = f(x k ), k = 0, 1, 2,..., n, ou seja: g n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n. g n (x 0 ) = a 0 + a 1 x 0 + a 2 x a n x 0 n = f(x 0 ) g n (x 1 ) = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x a n x 1 n = f(x 1 ) g n (x 2 ) = a 0 + a 1 x 2 + a 2 x a n x 2 n = f(x 2 ) g n (x n ) = a 0 + a 1 x 2 + a 2 x a n x n n = f(x n ) A definição permite construir um sistema linear Onde: x i k, i = 0, 1, 2,.... n e k = 0, 1, 2,... n, são os coeficientes das variáveis a i, i = 0, 1, 2,... n. Um aplicativo referente a este processo está disponível no curso. Vejamos como utilizá-lo.

5 Determinar a função polinomial que melhor se ajusta ao conjunto de pontos: {(0, -17), (1, -14), (2, -5), (3, 28), (4, 127), (5, 358)} Sendo conhecidos seis pontos o grau da função é cinco ou menor que 5, ou seja g 5 (x) = a 5.x 5 + a 4.x 4 + a 3.x 3 + a 2.x 2 + a 1.x 1 + a 0 Formando o sistema: g 5 (0) = a a a a a a 0 = - 17 g 5 (1) = a a a a a a 0 = - 14 g 5 (2) = a a a a a a 0 = - 5 g 5 (3) = a a a a a a 0 = 28 g 5 (4) = a a a a a a 0 = 127 g 5 (5) = a a a a a a 0 = a a a a a a X = O sistema pode ser transformado na equação matricial:

6 Representando a equação por AX = B, teríamos X = A -1.B Deste modo: = X a 5 = 0, a 4 = 1, a 3 = -3, a 2 = 5, a 1 = 0, a 0 = -17. Portanto, g(x) = 0x 5 + x 4 – 3x 3 + 5x 2 + 0x – 17 ou g(x) = x 4 – 3x 3 + 5x 2 – 17.

7 USANDO O APLICATIVO Digite as coordenadas nestas células. RESULTADO g(x) = x 2 – 3x 3 + x 4 Se o número de coordenadas for menor que as células, repita as últimas coordenadas até completar as células.

8 MÉTODO DE LAGRANGE O polinômio interpolador tem a forma g n (x) = f(x 0 ).L 0 (x) + f(x 1 ).L 1 (x) + f(x 2 )L 2 (x) + … f(x n ).L n (x) sendo L k (x) = (x – x 0 ).(x – x 1 )...(x – x k-1 ).(x – x k+1 )....(x – x n ) (x k – x 0 ).(x k – x 1 )...(x k – x k-1 ).(x k – x k+1 )....(x k – x n ) Observe a ausência de (x – x k ) no numerador e (x k – x k ) no denominador. EXEMPLO: Determinar o polinômio que melhor se ajusta aos pontos (1, 2), (2, 2) e (3, 4). Como são três pontos, devemos ter um polinômio de grau 2. g 2 (x) = f(x 0 ).L 0 (x) + f(x 1 ).L 1 (x) + f(x 2 )L 2 (x) Calculando os polinômios de Lagrange: L 0 (x) = (x – x 1 ).(x – x 2 )/(x 0 – x 1 ).(x 0 – x 2 ) = (x – 2).(x – 3)/(1–2).(1–3) = (x 2 – 5x + 6)/2. L 1 (x) = (x – x 0 ).(x – x 2 )/(x 1 – x 0 ).(x 1 – x 2 ) = (x – 1).(x – 3)/(2–1).(2–3) = (x 2 – 4x + 3)/(-1). L 2 (x) = (x – x 0 ).(x – x 1 )/(x 2 – x 0 ).(x 2 – x 1 ) =(x – 1).(x – 2)/(3–1).(3–2) = (x 2 – 3x + 2)/2. g(x) = 2.[(x 2 – 5x + 6)/2] + 2.[(x 2 – 4x + 3)/(-1)] + 4.[(x 2 – 3x + 2)/2] = x 2 – 3x + 4

9 O APLICATIVO INSIRA AS COORDENADAS NESTAS CÉLULAS Resposta: f(x) = x 2 – 3x + 4

10 MÉTODO DE NEWTON Polinômio interpolador p n (x) = D 0 + D 1.(x – x 0 ) + D 2.(x – x 0 )(x – x 1 ) + D 3.(x – x 0 )(x – x 1 )(x – x 2 ) D n.(x – x 0 )(x – x 1 )(x – x 2 )…(x – x n-1 ). (D 0, D 1, D 2, …, D n ) são chamados de operadores diferenças divididas (ODD) pois os coeficientes D i, i = 0, 1, 2,...,n, são obtidos por uma razão entre diferenças. D 0 = pode ser simbolizado por f[x 0 ] = f(x 0 ) (ODD de ordem zero). D 1 = simbolizado por f[x 0, x 1 ] = (f[x 1 ] – f[x 0 ])/(x 1 – x 0 ) = (f(x 1 ) – f(x 0 ))/(x 1 – x 0 ) D 2 = f[x 0, x 1, x 2 ] = (f[x 1, x 2 ] – f[x 0, x 1 ])/(x 2 – x 0 ) = = {[(f(x 2 ) – f(x 1 ))/(x 2 – x 1 )] – [(f(x 1 ) – f(x 0 ))/(x 1 – x 0 )]}/(x 2 – x 0 ) = = [(f(x 2 ) – f(x 1 )).(x 1 – x 0 ) – (f(x 1 ) – f(x 0 )).(x 2 – x 1 )]/(x 2 – x 1 ).(x 2 – x 0 ).(x 1 – x 0 ). D 3 = f[x 0, x 1, x 2, x 3 ] = (f[x 1, x 2, x 3 ] – f[x 0, x 1, x 2 ])/(x 3 – x 0 ) D n = f[x 0, x 1, x 2, x 3, …, x n ] = (f[x 1, x 2, x 3, …, x n ] – f[x 0, x 1, x 2, … x n-1 ])/(x n – x 0 )

11 Devido à complexidade das fórmulas é comum apresentar os cálculos em uma tabela: xiOrdem 0Ordem 1Ordem 2Ordem 3 X 0 (1a)f(x 0 ) (1b) (D0) (2b–1b) (D1) (2a-1a) (1c) X 1 (2a)f(x 1 ) (2b)(2c – 1c) (D2) (3a – 1a) (1d) (3b–2b) (3a-2a) (2c) (2d – 1d) (D3) (4a – 2a) X 2 (3a)f(x 2 ) (3b)(3c – 2c) (4a – 2a) (2d) (4b–3b) (4a-3a) (3c) X 3 (4a)f(x 3 ) (4b)

12 O APLICATIVO Digite os valores de x nesta coluna Digite os valores de f(x) nesta coluna

13 MÉTODO DE NEWTON-GREGORY Usado quando o espaçamento entre os valores de x são igualmente espaçados. O procedimento é semelhante ao usado no processo de Newton. Somente não se faz a divisão das diferenças dos D i pelas diferenças dos x i. EXEMPLO: determinar o polinômio interpolador para a tabela: x(x)

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15 O polinômio interpolador, com g(x) = (x – 3) + 0.(x – 3).(x – 4) –1.(x – 3)(x – 4).(x – 5) – -1. (x – 3)(x – 4).(x – 5)(x – 6) + 6.(x – 3)(x – 4).(x – 5)(x – 6)(x – 7), 0 = -1, 1 = 6, 2 = 0, 3 = -1, 4 = -1 e 5 = 6 que desenvolvido resulta em: é g(x) = 6x 5 – 151x x 3 – 7157x x

16 UM PROBLEMA Suponhamos que se conheça a tabela: x0123 y e que se deseja determinar o valor de x, quando y = 13,75. A função y = f(x) exigiria a resolução de uma equação, enquanto uma Relação do tipo x = f(y), levaria a uma simples substituição, do valor de y. Neste caso, podemos usar qualquer um dos processos já descrito, trocando apenas os valores de x por y e vice-versa. Optando pelo método de Newton: Obs: O método de Newton-Gregory não é adequado pois na troca de x por y, a diferença entre as abscissas não é constante. Usando o aplicativo

17 f(y) = 0,0006y 3 – 0,0149y 2 + 0,3012y f(13,75) = 0,0006.(13,75) 3 – 0,0149.(13,75) 2 + 0,3012.(13,75) = 2,8842


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