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Ensino Médio Disciplina: Matemática Tema: Trigonometria.

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1 Ensino Médio Disciplina: Matemática Tema: Trigonometria

2 Matemática 1.Introdução A B Arco AB O Ângulo central Equivalência: rd = 180 o ARCOS e ÂNGULOS

3 Matemática São arcos que têm mesma origem e mesma extremidade. A diferença entre dois arcos côngruos é sempre um múltiplo de 2. Forma geral: São arcos que têm mesma origem e mesma extremidade. A diferença entre dois arcos côngruos é sempre um múltiplo de 2. Forma geral: 2. Arcos côngruos A B x = + 2k

4 Matemática 3. Circunferência trigonométrica O x A y B B 1 1 P + -

5 Matemática 4. Seno e Cosseno O x A y B B P M N sen cos

6 Matemática Seno: marcado no eixo Y varia de –1 até 1 -1 sen 1 sinal do seno: Seno: marcado no eixo Y varia de –1 até 1 -1 sen 1 sinal do seno: O x A y B B 1 4. Seno e Cosseno

7 Matemática Cosseno: marcado no eixo X varia de –1 até 1 -1 cos 1 sinal do cosseno: Cosseno: marcado no eixo X varia de –1 até 1 -1 cos 1 sinal do cosseno: O x A y B B Seno e Cosseno

8 Matemática 5. Tangente O x A y B B P t t // y M tg

9 Matemática O x A y B B 5. Tangente Sinal

10 Matemática 6. Redução ao 1º quadrante a) 2 o quadrante cos ( - x) = - cos x tg ( - x) = - tg x a = ( - x) O x y /2 0 x a 3 /2 2 sen ( - x) = sen x

11 Matemática b) 3 o quadrante sen ( + x) = - sen x a = ( + x) O x y /2 0 x a 3 / Redução ao 1º quadrante cos ( + x) = - cos x tg ( + x) = tg x

12 Matemática c) 4 o quadrante sen (2 - x) = - sen x a = (2 - x) O x y /2 0 x a 3 / Redução ao 1º quadrante cos (2 - x) = cos x tg (2 - x) = - tg x

13 Matemática 7. Relações entre arcos complementares y = /2 - x sen x = cos y sen y = cos x sen x = cos y sen y = cos x O x y /2 0 x 3 /2 2 y x

14 Matemática 8. Relações fundamentais I. sen 2 x + cos 2 x = 1 III. cotg x = xsen xcos x tg 1 II. tg x = xcos xsen

15 Matemática 8. Relações fundamentais VI. sec 2 x = 1 + tg 2 x VII. csc 2 x = 1 + cotg 2 x V. csc x = xsen 1 IV. sec x = xcos 1 continuação...

16 Matemática 9. Aplicações práticas 1. Sabendo-se que cos x = ½, determine o valor de 2. Se x é um arco do 1 º quadrante e tg x = 2, calcule o valor de A = sen x + cos x. 3. Demonstrar a identidade tg x + cotg x = tg x. csc 2 x x gcot1 xcscxsec y - - =

17 Matemática 10. Soma e diferença de arcos a) cos (a + b) = cos a.cos b – sen a.sen b b) cos (a - b) = cos a.cos b + sen a.sen b c) sen (a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a d) sen (a - b) = sen a.cos b - sen b.cos a

18 Matemática 10. Soma e diferença de arcos e) b a.tg tg1 b a - + b)tg(a=+ f) b)-tg(a b a.tg tg1 b -a + =

19 Matemática 11. Arcos duplos a) cos(2a) = cos 2 a – sen 2 a b) sen(2a) = 2.sen a.cos a c) tg(2a) = xtg 2 1 x 2.tg 2 -

20 Matemática 12. Arcos metade 2 cosx1 2 x cos a) + ±= 2 cosx-1 2 x sen b) ±= cosx x tg c) + ±=

21 Matemática 13. Transformação de soma em produto 2 qp.cos 2 qp 2sensenqsenp a) -+ =+ 2 qp.cos 2 q-p 2sensenq-senp b) + = 2 qp.cos 2 qp 2coscosqcosp c) -+ =+ 2 qp.sen 2 qp 2sencosqcosp d) -+ -=-

22 Matemática a) sen x = a ; O x y /2 0 y 3 /2 2 a sen x = sen y x = y + 2k sen x = sen ( - y) x = ( - y) + 2k 14. Equações trigonométricas

23 Matemática ex. Resolva as equações: b) sen (2x - ) = a) sen x = Equações trigonométricas

24 Matemática O x y /2 0 y 3 /2 2 a cos x = cos y x = y + 2k cos x = cos (2 - y) x = - y + 2k b) cos x = a ; 1a1 14. Equações trigonométricas

25 Matemática ex. Resolva as equações: b) cos 2x = 0 a) cos x = Equações trigonométricas

26 Matemática c) tg x = b ; b IR O x y /2 0 y 3 /2 2 b tg x = tg y x = y + k t 14. Equações trigonométricas

27 Matemática ex. Resolva as equações: a) tg 3x = b) tg (2x - ) = Equações trigonométricas

28 Matemática d) Outras equações: 1) sen 2 x + 4cos x = - 4 2) cos (2x) + cos x = 0 3) 2sec x = cotg x + tg x ; x [ 0, 2 ] 4) tg 2 x - 3tg x + 2 = 0 ; x [ 0, /4 ] 5) 1 + cos x + cos(2x) = 0 ; x [-, ] 14. Equações trigonométricas

29 Matemática a) Função seno : f : IR IR f(x) = sen x f : IR IR f(x) = sen x A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = sen x. x IR -1 sen x 1 ; logo: Im(f) = [ -1, 1 ] 15. Funções trigonométricas

30 Matemática a) gráfico : 15. Funções trigonométricas - - y x

31 Matemática a) Função seno : Periodicidade : sen x = sen ( x + 2 ) Paridade : sen x = - sen (- x) A função y = sen x é ímpar. A função y = sen x é periódica e tem período igual a 2 radianos. Se f(x) = a + b.sen(cx + d) período de f = c Funções trigonométricas

32 Matemática b) Função cosseno : f : IR IR f(x) = cos x f : IR IR f(x) = cos x A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = cos x. x IR -1 cos x 1 ; logo: Im(f) = [ -1, 1 ] 15. Funções trigonométricas

33 Matemática b) gráfico : 15. Funções trigonométricas - - y x

34 Matemática b) Função cosseno : Periodicidade : cos x = cos ( x + 2 ) Paridade : cos x = cos (- x) A função y = cos x é par. A função y = cos x é periódica e tem período igual a 2 radianos. Se f(x) = a + b. cos(cx + d) período de f = c Funções trigonométricas

35 Matemática ex. Seja f(x) = a + b.sen(cx), com a, b e c números reais positivos, uma função periódica de período 3 / 2. c)Determine os valores de x onde f assume o seu valor máximo. b)Sabendo-se que a imagem de f é o intervalo [ 3, 5 ], determine a e b. a)Determine c. 15. Funções trigonométricas

36 Matemática c) Função tangente : f : D IR f(x) = tg x f : D IR f(x) = tg x A função associa cada arco x, x / 2 + k, da circunferência trigonométrica a um número real y = tg x. Im(f) = IR D = { x IR / x / 2 + k } 15. Funções trigonométricas

37 Matemática Funções trigonométricas c) gráfico : y x

38 Matemática c) Função tangente : Periodicidade : tg x = tg ( x + ) Paridade : tg x = - tg (- x) A função y = tg x é ímpar. A função y = tg x é periódica e tem período igual a radianos. Se f(x) = a + b. tg(cx + d) período de f = c 15. Funções trigonométricas

39 Matemática ex. Determine o domínio e o período da função f(x) = tg (4x). 15. Funções trigonométricas


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