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Revisão Matemática Prof. Luciano Stropper UFRGS 2013.

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1 Revisão Matemática Prof. Luciano Stropper UFRGS 2013

2 Distribuição das questões 26E.FUNDAMENTAL 27E.FUNDAMENTAL 28E.FUNDAMENTAL 29FUNÇÕES 30EQUAÇÕES 31GRÁFICOS (INTERPRETAÇÃO) 32PA e LOG 33GEO. ANALÍTICA e PA 34PG e GEO. PLANA 35FUNÇÕES 36LOG 37POLINOMIOS 38TRIGONOMETRIA 39GEO. PLANA 40GEO. PLANA (TALES) 41GEO. ESPACIAL 42GEO. PLANA+TRIGONOMETRIA+GEO. ANALÍTICA 43GEO. PLANA 44GEO. PLANA 45GEO. ESPACIAL 46GEO. ANALÍTICA 47GEO. ANALÍTICA 48SISTEMAS LINEARES 49PROBABILIDADE 50PROBABILIDADE

3 GEOMETRIA PLANA Polígonos convexos Polígonos não-convexos Os lados AB, AC, CD, DE, EF e FA. Os vértices A, B, C, D, E e F. Os ângulos internos A, B, C, D, E e F. é ângulo externo relativo ao vértice A. A diagonal BD. A B C D E F

4 Polígono regular Chama-se polígono regular qualquer polígono que tem todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes. B A C D E F

5 Soma dos ângulos internos A soma dos ângulos internos de um polígono convexo com n lados é dado por Si = (n – 2).180º. Si = (n – 2).180º A2A2 A3A3 A4A4 A5A5 AnAn A1A1

6 TEOREMA DE PITÁGORAS TEOREMA DE TALES c² = a² + b²

7 Apótema Polígonos Regulares E F D C BA O M R m O A B m θ R L/2

8 O A B m θ R

9 Área de polígonos Área do quadrado L L A = L 2

10 Exemplo Calcular a medida de cada lado e de cada uma das diagonais de um quadrado, cuja área mede 18 cm 2. L L D A = L 2 L 2 = 18 L = 3 2 D 2 = L 2 + L 2 D = L 2 D = D = 6 cm

11 Área do retângulo Base (b) Altura (h) A = b. h

12 Exemplo Calcular o perímetro de um retângulo de 18 m 2 de área, sabendo que um de seus lados é o dobro do outro. 2x x A = 18 x.2x = 18 2 x 2 = 18 x 2 = 9 x = 3 Os lados medem 3 m e 6 m. P = = 18 m

13 Área do Paralelogramo h A = b. h base (b)

14 6 4 60º Exemplo Os lados de um paralelogramo medem 4 cm e 6 cm e formam, entre si, ângulo de 60º. Obter a sua área. h sen 60º = h 4 h = 4. sen 60º= h = 2 3 A = b. h= A = 12 3

15 Área do Losango d 1 d 2 A = d 1. d 2 2 L L L L

16 Área do Triângulo A = b. h 2 h base (b) b. c. sen α 2 A = A=p.(p-a).(p-b).(p-c)

17 Área do Triângulo Eqüilátero L L L h h = L3 2 A = L23L23 4

18 Área do Hexágono regular L L L L L L A = 6L 2 3 4

19 CÍRCULO ou CIRCUNFERENCIA?? A = π R² C = 2. π. R

20 UFRGS /2+1/4+1/8 = 15/8

21 C= 2.pi.r = 2. 3,14. 1 C=6,28 (1 volta) Como serão 10 voltas C= 62,8 (letra B)

22 x x+6

23

24

25 Elementos de um poliedro Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais. Face de poliedro é cada um dos polígonos que o delimitam. GEOMETRIA ESPACIAL

26 Elementos de um poliedro Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais. Aresta de poliedro é cada um dos lados das faces. É cada quina do poliedro.

27 Elementos de um poliedro A B C D E F G H Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais. Vértice de poliedro é cada um dos vértices das faces. É cada ponta do poliedro.

28 O PRISMA e suas formas Observe os objetos abaixo. Todos têm forma de poliedro, mas apresentam algumas características comuns. Eles estão associados a um tipo de poliedro muito especial: o prisma.

29 Definição Observe a animação. r O conjunto de todos esses segmentos é um sólido poliédrico chamado prisma.

30 Elementos principais do prisma O prisma tem dois tipos de faces A B C D E F A B C D EF bases (polígonos congruentes). faces laterais (paralelogramos). Superfície total do prisma é a união da superfície lateral com as duas bases do prisma.

31 O prisma tem dois tipos de arestas A B C D E F A B C D EF arestas das bases (AB, AB,..., FA, FA). arestas laterais (AA, BB, CC,...,FF ).

32 Elementos principais do prisma h A B C D E F A B C D EF A distância h entre as duas bases do prisma é a altura do prima.

33 Classificação dos prismas Um prisma é classificado pelo tipo de polígono que constitui suas bases. P. hexagonalhexágono P. pentagonalpentágono P. quadrangularquadrado P. triangulartriângulo PrismaPolígonos das bases

34 Veja alguns desses prismas Prisma triangular Prisma Pentagonal

35 Classificação dos prismas Prisma triangular reto Prisma Pentagonal oblíquo h h

36 Prisma regular Todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares é chamado de prisma regular. O prisma é reto e ABC é triângulo eqüilátero A B C Prisma triangular regular O prisma é reto e a Base é hexágono regular Prisma hexagonal regular

37 Prismas quadrangulares Se as bases de um paralelepípedo reto são retângulos, ele é chamado paralelepípedo reto- retângulo ou paralelepípedo retângulo. Paralelepípedo retângulo ou ortoedro

38 Prismas quadrangulares Se todas as arestas de um paralelepípedo retângulo são congruentes entre si, ele é chamado cubo ou hexaedro regular. Cubo ou hexaedro regular

39 Estudo do cubo O cubo é o mais simples dos prismas. Ele é um prisma quadrangular regular, cujas faces são quadrados congruentes. Por isso qualquer de suas faces pode ser considerada como base. a medida de cada uma das arestas a a a

40 a a a Diagonais no cubo Num cubo, distinguimos dos tipos de diagonais. a medida de cada uma das arestas d D d diagonal da face D diagonal do cubo

41 Diagonais no cubo Obtendo os valores d e D em função da medida a da aresta. a a a d D a d 2 = a 2 + a 2 d = 2a 2 d = a 2

42 Diagonais no cubo Obtendo os valores d e D em função da medida a da aresta. a a a d D a D 2 = a 2 + d 2 D = a 2 + 2a 2 D = 3a 2 D = a 3

43 Área da superfície total do cubo Planificando a superfície total de um cubo de aresta a, obtemos a figura. a a a a a a a A T = 6a 2

44 Volume do cubo a a a a a a a V = a ³

45 Estudo do paralelepípedo retângulo O paralelepípedo retângulo é um prisma quadrangular. Suas faces são duas a duas congruentes. a, b e c As dimensões do paralelepípedo. a c b Suas doze arestas são quatro a quatro congruentes. As medidas dessas arestas são as dimensões do paralelepípedo.

46 b a Diagonal do paralelepípedo Diagonal de um paralelepípedo é todo segmento cujos extremos são dois vértices não-pertencentes a uma mesma face. d diagonal da face inferior D diagonal do paralelepípedo c d D

47 b a Cálculo da diagonal do paralelepípedo Obtendo o valor de D em função das dimensões a, b e c do paralelepípedo. c D d 2 = a 2 + b 2 e D 2 = d 2 + c 2 d D 2 = a 2 + b 2 + c 2 D = a 2 + b 2 + c 2

48 Exemplo O comprimento e a largura de um paralelepípedo medem 12 cm e 4 cm. Uma de suas diagonais mede 13. Obter a medida de sua altura? D = a 2 + b 2 + c = c = c 2 c 2 = 169 – 160 c 2 = 9 c = 3

49 Área da superfície total do paralelepípedo Planificando a superfície total de um paralelepípedo de dimensões a, b e c obtemos a figura. a c b a b c ab ac bc A T = 2ab + 2ac + 2bc A T = 2(ab + ac + bc)

50 Exemplo A área da superfície total de um paralelepípedo é 248 cm 2. suas dimensões são proporcionais a 2, 3 e 5. Calcular a medida da diagonal do paralelepípedo? As dimensões a, b e c são proporcionais a 2, 3 e 5 indica que a = 2k, b = 3k e c = 5k. A T = 248 2(ab + ac + bc) = 248 ab + ac + bc = 124 :(2) 2k.3k + 2k.5k + 3k.5k = 124 6k k k 2 = k 2 = 124 k 2 = 4 k = 2

51 Volume do paralelepípedo retângulo Analise as duas figuras a seguir. cubo unitário V = 1 u 3 V = = 60 u 3 5 u 3 u 4 u De modo geral, o volume de um paralelepípedo de dimensões a, b e c é dado por V = a.b.c

52 Exemplos Uma das dimensões de um paralelepípedo é aumentada em 20%; outra, aumentada em 30%; a terceira em 10%. O que ocorre com o volume do paralelepípedo? Suponhamos que as dimensões sejam x, y e z. Então, o volume original é V = xyz. Se x aumenta 20%, a nova dimensão passa para 1,2 x. Se y aumenta 30%, a nova dimensão passa para 1,3 y. Se z aumenta 10%, a nova dimensão passa para 1,1 z. V = 1,2x. 1,3 y. 1,1 z = 1,404.xyz = 1,404.V Concluímos que o volume aumenta 40,4%.

53 Estudo geral do prisma Vamos aprender a calcular áreas e volumes em prismas quaisquer. Em geral. Vamos considerar prismas retos em que As arestas laterais são alturas; As faces laterais são retângulos; A B C

54 Áreas no prisma No prisma as áreas. Área Lateral (A L ) – Soma das áreas dos retângulos; Área da base (A B ) – Área do polígono da base; Área total (A T ) – Soma da área lateral com as bases A T = A L + 2A B

55 Exemplo A figura a seguir mostra um prisma triangular reto, com as dimensões indicadas. Calcular a área lateral e a área total desse prisma A L = A L = = 72 A B = (3.4)/2= 6 A T = A L + 2.A B A T = = 84

56 Exemplo Num prisma hexagonal regular, a altura mede 6 m e a área de cada base é 243 m 2. Achar sua área lateral. x 6 A = x 2 3 = 24 3 x 2 = 16 x = 4 A f = b.h A f = 4.6 = 24 A L = 6.A f A L = 6.24 = 192 m 2

57 Princípio de Cavalieri Bonaventura Cavalieri nasceu na Itália, no final do século XVI. Discípulo de Galileu, ele deixou contribuições importantes nas áreas de óptica e geometria.

58 Princípio de Cavalieri Dados dois ou mais sólidos apoiados em um mesmo plano, se Todos têm a mesma altura; Todo plano paralelo a e que corte os sólidos determina, em todos eles, seções planas de mesma área; Então os sólidos têm o mesmo volume.

59 Volume do prisma Vamos deduzir uma fórmula para o cálculo do volume do prisma. Para isso, vamos aplicar o princípio de Cavalieri. V = A B.h

60 PIRÂMIDE A pirâmide tem dois tipos de faces A base (polígono ABCDEF). Faces laterais (triângulos). Superfície total da pirâmide é a união da base com a superfície lateral. V A B C D E F

61 Elementos principais da pirâmide A pirâmide tem dois tipos de arestas arestas da base (AB, BC, CD, DE, EF e FA). arestas laterais (VA, VB, VC, VD, VE e VF ). V A B C D E F

62 Elementos principais da pirâmide h A distância h do vértice ao plano da base é a altura da pirâmide. V A B C D E F

63 Classificação Uma pirâmide é classificado pelo tipo de polígono que constitui sua base. P. hexagonalhexágono P. pentagonalpentágono P. quadrangularquadrado P. triangulartriângulo PirâmidePolígono da base

64 Veja algumas dessas pirâmides Pirâmide triangular Pirâmide Pentagonal

65 Pirâmides regulares A base da pirâmide é um quadrado Pirâmide quadrangular regular A base da pirâmide é um hexágono regular Pirâmide hexagonal regular V h O V h O

66 V A B C D Apótema da pirâmide VM é o apótema (p) da pirâmide p M BM = MC

67 Segmentos notáveis na pirâmide regular VO = h, altura; V B A M O a h m r p b VA = a, aresta lateral; AB = b, aresta da base;

68 OM = m, apótema da base; V B A M O a h m r p b OA = r, raio da base; VM = p, apótema pirâmide;

69 A pirâmide e o teorema de Pitágoras p 2 = h 2 + m 2 V B A M O h m p

70 V A O a h r a 2 = h 2 + r 2

71 a 2 = p 2 + (b/2) 2 V B A M a p b/2

72 Volume da pirâmide Se um prisma e uma pirâmide têm alturas iguais e suas bases têm a mesma área, então o volume da pirâmide é a terça parte do volume do prisma. A B.h V =V = 3 1

73 Tronco de Pirâmide R C A h B D A B C D h C A h – h B D A B C D R A B C D h Tronco de pirâmide

74 Razão de semelhança - Comprimentos R C A h D R A B C D h B = RA AB =... = h h = k Razão de semelhança

75 Razão de semelhança - Áreas R C A h D R A B C D h B = ABAB ABAB ALAL ALAL = ATAT ATAT

76 CONES

77 ESFERAS Área: A = 4πr 2 Volume:

78 g g eixo 90º 90º Base O * O * R h A Fig. mostra um Cilindro Oblíquo. R é raio da base h é altura g é geratriz Cilindro

79 Cilindro Circular Reto O* gg h 1) o eixo é perpendicular aos planos das bases. R DC ou Cilindro de Revolução R BA O* 2) g = h

80 AB DC AB DC Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

81 AB DC Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

82 AB DC

83 AB DC

84 AB DC

85 AB DC

86 AB DC

87 AB DC

88 AB DC

89 AB DC

90 AB DC

91 AB DC

92 AB DC

93 AB DC

94 AB DC

95 AB DC

96 AB DC

97 AB DC

98 AB DC

99 AB DC

100 AB DC

101 AB DC

102 Retângulo ABCD é a seção meridiana do cilindro. 2R SeçãoMeridiana A B C D O* O* h Se ABCD é um quadrado cilindro eqüilátero Cilindro eqüilátero é o cilindro reto em que h = 2R Seção Meridiana

103 Planificação : R x h

104 R x h Planificação :

105 R x h Planificação :

106 R x h Planificação :

107 R h x Planificação :

108 R h x Planificação :

109 R h x Planificação :

110 R h x Planificação :

111 R h x Planificação :

112 R h x Planificação :

113 R h x Planificação :

114 R h x Planificação :

115 R h x Planificação :

116 R h x Planificação :

117 R h x Planificação :

118 R h x Planificação :

119 R h x Planificação :

120 R h x Planificação :

121 R h x Planificação :

122 R h x Planificação : Planificação :

123 R h x R R 2 R Planificação :

124 Áreas e Volumes A L = 2 Rh A t = A L + 2 A b R 2 V = R 2. h Área Lateral ( A L ) Área Total ( A t ) Volume ( V ) A b = R 2 Área Base ( A b )

125 UFRGS 2012 Tomando a aresta da base a e a altura h temos o volume V: Dobrando a aresta da base e reduzindo a altura a metade teremos o novo volume V 1:

126 Estudo da reta GEOMETRIA ANALÍTICA

127 x y O (0, 0) 1º quadrante 2º quadrante 3º quadrante 4º quadrante eixo das abscissas eixo das ordenadas Origem Plano cartesiano

128 P x y O 4 3 P(3, 4) Coordenadas no plano 3 é a abscissa de P; 4 é a ordenada de P; 3 e 4 são as coordenadas de P; P(x, y) Em geral:

129 Bissetrizes no plano x y y = x y = –x 1ª bissetriz 2ª bissetriz

130 Equação geral da reta A toda reta contida no sistema xOy de coordenadas cartesianas está associada uma equação de 1.º grau, nas variáveis x e y. Essa equação se verifica para todos os pontos da reta, e só eles. Retas paralelas aos eixos; Retas não-paralelas aos eixos;

131 Retas paralelas aos eixos A figura mostra duas retas r e s, contidas no plano cartesiano xOy. x y O 4 2 r s Equação da reta r: x = 4 Equação da reta s: y = 2

132 Retas não-paralelas aos eixos A figura mostra a reta r, contidas no plano cartesiano xOy, determinada pelos pontos A(2, 1) e B(3, 3). x y O 3 1 r 2 3 P(x, y) AB A, B e P estão alinhados xy = 0 x + 3y + 6 – 3 – 3x – 2y = 0 y – 2x + 3 = 0 A B P(x, y)

133 Exemplos Analisar se M(2, –1) e N(3, 5) são pontos da reta de equação geral 5x + y – 9 = (–1) – 9 = 0 Para que cada ponto pertença à reta, suas coordenadas devem satisfazer a equação. M(2, –1) 10 –1 – 9 = 0 0 = – 9 = 0N(3, 5) – 9 = Concluímos que M é ponto da reta dada, mas N não é.

134 40 m Inclinação de uma reta Imagine um carro subindo uma rampa reta, conforme figura. Suponha que para cada 40 m percorridos na horizontal, a pista se eleve 6 m. 40 m 6 m O ângulo α que a rampa forma com a horizontal é o ângulo de inclinação da rampa. O valor de tg α é a inclinação da rampa. 6 m Inclinação = tg α == 0,15

135 Inclinação de uma reta Vamos analisar agora duas situações extremas. Quando o carro percorre um trecho horizontal, dizemos que a rampa tem inclinação 0 e que o ângulo de inclinação é 0º. (tg 0 o = 0). α = 0 o I nclinação = tg α = tg 0 o = 0

136 Inclinação de uma reta Vamos analisar agora duas situações extremas. O auto não sobe uma rampa vertical. Nesse caso, não se define a inclinação da rampa e o ângulo de inclinação é 90º. (tg 90º = Não é definido). α = 90 o Inclinação não se define.

137 Q Inclinação de uma reta Considere uma reta r, não paralela aos eixos x e y, contida no plano cartesiano xOy. x y O yQyQ yPyP xQxQ xPxP P M x Q – x P y Q – y P Inclinação = tg α y Q – y P x Q – x P a = tg α = x y a = r

138 Inclinação de uma reta Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: a = tg 30º = x y O 30º M 3 3

139 Inclinação de uma reta Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: a = tg 45º = 1 x y O 45º M

140 Inclinação de uma reta Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: a = tg 60º = 3 x y O 60º M

141 Inclinação de uma reta Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: x y O 120º M a = tg 120º = – tg 60º = –3

142 Inclinação de uma reta Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: a = tg 135º = – tg 45º = – 1 x y O 135º M

143 Inclinação de uma reta Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: a = tg 150º = – tg 30º = x y O 150º M 3 –3

144 Exemplos Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de inclinação da reta MN. x y O α M N – x N – x M y N – y M a = tg α = 1 – (–2) 5 – 3 a = 3 2 a = a > 0 e α é agudo (α < 90º) a) M(–2, 3) e N(1, 5)

145 Inclinação de uma reta - resumo O ângulo de inclinação α de uma reta é tal que 0º α 180º. Sua inclinação a pode ser positiva, negativa ou nula, conforme a medida do ângulo α (α 90º). α = 0º a = 0. 0º < α < 90º a > 0. α = 90º a inclinação a não é definida. 90º < α < 180º a < 0.

146 Exemplos Achar as inclinações das retas r, s e t da figura abaixo. x y O 120º 45º r s t a r = tg 45º = 1 a s = tg 45º = 1 a t = tg 120º – 3 = – tg 60º =

147 Equação reduzida da reta Uma reta é determinada, quando são dados sua inclinação e um de seus pontos. Suponhamos no plano xOy, uma reta r que passa por A(2, 3) e têm ângulo de inclinação α = 135º. Vamos obter a equação da reta r. x y O 135º A 2 3 M(x, y) x M – x A y M – y A a = tg 135º = –1. x – 2 y – 3 –1 = a = y – 3 = –1(x – 2) y – 3 = –1x + 2 y = –1x + 5 y = –x + 5

148 Equação reduzida da reta – Caso Geral Suponhamos que uma reta r de inclinação a = tg α e que passe pelo ponto P(x P, y P ), como mostra a figura. x y O α P xPxP yPyP M (x, y) x M – x A y M – y A x – x P y – y P a = a = y – y P = a(x – x P ) y – y P = ax – ax P y = ax + (–ax P + y P ) y = ax + b Equação reduzida da reta

149 Equação reduzida da reta Na equação reduzida y = ax + b, temos: Significa que a reta passa pelo ponto (0, b) ponto do eixo y. x = 0 y = a.0 + b y = b O coeficiente a é a inclinação da reta; ele é também chamado, por isso, coeficiente angular da reta. O coeficiente b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y; ele é chamado de coeficiente linear da reta.

150 Exemplos Veja a representação da reta r: 2x – y + 4 = 0 no plano xOy. x y O r –2 4 y = 2x + 4

151 Exemplos O gráfico a seguir mostra uma reta s. Encontrar a equação reduzida e uma equação geral para essa reta. x y O s 45º 2 y = ax + b A reta corta o eixo y no ponto de ordenada 2, ponto (0, 2), logo b = 2. α = 180º – 45º = 135º a = tg 135º = –1. y = – x + 2 x + y – 2 = 0 α

152 Exemplos Achar a equação reduzida da reta r que passa pelos pontos A(–2, 6) e B(1, –3). x A – x B y A – y B –2 – 1 6 –(–3) a = x y == Primeiro vamos calcular a inclinação da reta. –3 9 = a = –3 Utilizando o ponto A(–2, 6), por exemplo, obtemos a equação fundamental, em seguida a equação reduzida da reta. y – y P = a(x – x P ) y – 6 = –3(x + 2) y – 6 = –3x – 6 y = –3x

153 Formulário Geometria Analítica

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157 UFRGS 2012

158 (0-2)²+(0-3)²=10 ????

159 Exemplo 1: Construa o gráfico da função f: dado por f(x) = 2x + 1 e determine o conjunto imagem. Análise de Gráficos 1º) Iremos montar uma tabela atribuindo os pontos para o plano cartesiano: xf (x) = 2.x + 1(x ; y) (-2) + 1 = -3(-2 ; -3) -12. (-1) + 1 = -1(-1 ; -1) 02. (0) + 1 = 1(0 ; 1) 12. (1) + 1 = 3(1 ; 3) 22. (2) + 1 = 5(2 ; 5) Como o domínio são todos os reais, podemos escolher qualquer valor para x

160 Análise de Gráficos xf (x) = 2.x + 1(x ; y) (-2) + 1 = -3(-2 ; -3) -12. (-1) + 1 = -1(-1 ; -1) 02. (0) + 1 = 1(0 ; 1) 12. (1) + 1 = 3(1 ; 3) 22. (2) + 1 = 5(2 ; 5) Domínio: R Contradomínio: R Imagem: R f (x) = 2x + 1 y x

161 Análise de Gráficos Exemplo 2: O gráfico abaixo representa uma função. Determine o que se pede. y x f (-2) = f (0) = f (2) = Domínio: Imagem: [-2 ; 3] [1 ; 3]

162 Análise de Gráficos Exemplo 3: Determine entre os gráficos abaixo quais deles representam uma função. y x y x y x Não é função É função Não é função

163 y x y x FUNÇÃO DO 1º GRAU CRESCENTE E DECRESCENTE – GRÁFICO FUNÇÃO CRESCENTE: a > 0FUNÇÃO DECRESCENTE: a < 0

164 FUNÇÃO DO 2º GRAU - GRÁFICO ponto c Reta decrescente b < 0 Reta crescente b > 0 E XEMPLOS :

165 EXEMPLO: (UFRGS – 2011) O gráfico do polinômio de coeficientes reais p(x) = ax 2 + bx + c está representado abaixo. FUNÇÃO DO 2º GRAU - GRÁFICO Com base nos dados desse gráfico, é correto afirmar que os coeficientes a, b e c satisfazem as desigualdades a) a > 0; b < 0; c < 0. b) a > 0; b 0. c) a > 0; b > 0; c > 0. d) a > 0; b > 0; c < 0. e) a < 0; b < 0; c < 0.

166 y = x 2 y = ( x + 1) 2 y = ( x – 3) 2 Translação Horizontal

167 y = x 2 y = x y = x Translação Vertical

168 y = x 2 y = (x + 1) 2 – 3y = (x – 2) Translação Horizontal + Vertical

169 y = x 2 y = – x 2

170 y = x 2 – 4 y = – x 2 + 4

171 y = x y = | x | Módulo de uma Função

172 y = x 2 – 4y = | x 2 – 4 |

173 y = (x + 2) 2 – 3y = | (x + 2) 2 – 3 |


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