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Equações do 2º Grau Ana Fraga Mota Carmen Salvado Elisa Mosquito M.ª Teresa Santos Didáctica da Álgebra 2004 / 2005.

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1 Equações do 2º Grau Ana Fraga Mota Carmen Salvado Elisa Mosquito M.ª Teresa Santos Didáctica da Álgebra 2004 / 2005

2 Elementos de Álgebra Augusto José da Cunha 1887 Escola Politécnica (4º e 5º anos de liceu) actual 10º ano 52 páginas Álgebra e Trigonometria Fernando Dias Agudo º, 5º e 6º anos do liceu actual 10º ano 21 páginas Apresentação dos Manuais Compêndio de Álgebra Eduardo Ismael dos Santos Andrea ª e 7ª classes actual 11º ano 26 páginas

3 Matemática 9 Maria Augusta F. Neves, Luís Guerreiro e Armando Neves º Ano de escolaridade 22 páginas Compêndio de Matemática António de Almeida Costa, Alfredo Osório dos Anjos e António Augusto Lopes º Ano de escolaridade 17 páginas Apresentação dos Manuais

4 A resolução de equações de 2º grau conduz à extracção da raiz quadrada de expressões literaes, ou numéricas, por isso, antes de expor o processo de resolução de equações, trataremos da teoria de radicaes do 2º grau. O tema está dividido em três capítulos: Capítulo I – Radicais do 2º grau (14 pág.) Capítulo II – Equação do 2º grau a uma incógnita ( 24 pág.) Capítulo III – Equações que se reduzem ao 2º grau ou ao 1º grau (14 pág.). Elementos de Álgebra Augusto José da Cunha (1887)

5 I. Duplo valor da raiz quadrada (quantidades imaginárias) visa esclarecer o que é a raiz quadrada I. Quadrado e raiz quadrada de monómios operações com monómios II. Quadrado e raiz quadrada de polinómios operações com polinómios I. Calculo dos radicaes do 2º grau simplificação de radicais operações com radicais No final são apresentados 10 exercícios: Acha a raiz quadrada do polinómio; Simplifica a expressão; Valor de…; Demonstra as seguintes igualdades; A resposta é apresentada junto ao exercício. Capítulo I – Radicais do 2.º Grau

6 Capítulo II – Equação do 2.º grau a uma incógnita I. Resolução da equação - definição da equação do 2º grau ax 2 + bx + c = 0, com a, b e c quantidades conhecidas; - Equações incompletas ax 2 + c = 0, ax 2 + bx = 0; - Resolução e discussão das soluções das equações incompletas; - Resolução da equação do 2º grau completa, quando a=1; - Resolução da equação ax 2 + bx + c = 0, com a, b e c quantidades conhecidas; - Dedução da fómula - a primeira equação resolvida com a fórmula anterior é II. Discussão da equação - discussão das soluções em função dos valores de a, b e c. III. Composição da equação - divisão de polinómios IV. Propriedades do trinómio do 2º grau - trinómio do 2º grau é a expressão algébrica ax 2 +bx+c, com a, b e c quantidades conhecidas; - decomposição do trinómio - aplicação às desigualdades do 2º grau. No final são apresentados 26 exercícios: Resolve as seguintes equações; Decompor o trinómio em dois factores do 1º grau;

7 Capítulo III – Equações que se reduzem ao 2º ou ao 1º grau I. Equações irracionaes - definição de equação irracional; II. Equações biquadradas - define equação biquadrada III. Transformações das expressões da forma No final são apresentados 12 exercícios: Resolve as seguintes equações; Transforma a expressão.

8 O tema está dividido em dois capítulos: - o capítulo VIII - Equações do 2º grau a uma incógnita (6 pág.) - Propriedades do Trinómio do 2º grau (13 pág.) - capítulo IX - Problemas do 2º Grau. Discussão (3pag.) O capítulo termina com exercícios e as respectivas soluções (quatro páginas). Compêndio de Álgebra Eduardo Ismael dos Santos Andrea (1924)

9 define a equação do 2º grau como sendo o trinómio ax 2 + bx + c = 0, com a, b e c finitos; Indica: - as raízes possíveis são reais ou complexas; - procede à dedução das raízes da equação admitindo a0, A 1ª equação a ser resolvida com pela fórmula anterior é 3x 2 – 5x + 2 = 0; Discute o número de raízes da equação em função do sinal de b 2 – 4ac ; Enuncia as propriedades do trinómio - sob a forma de teoremas seguidos da respectiva demonstração; - indica a regra para se obter a expressão da equação do 2º grau quando são conhecidas as duas raízes; - apresenta teoremas relativos à factorização do trinómio no produto de dois polinómios do 1º grau, quando as raízes são reais ou complexas ; Capítulo VIII – Equações do 2ºgrau a uma incógnita

10 Estuda os valores de x que tornam positivo ou negativo o trinómio; Discutir as raízes da equação (3γ – 1) 2 x 2 – (2γ + 1) x + γ=0 quando varia de - a + A representação gráfica de uma função do 2º grau chama-se parábola. Exemplos de problemas cuja resolução envolvem a discussão das raízes da equação do 2º grau. O capítulo termina com: - 36 exercícios - aplicação da fórmula; - Formar equações cujas as raízes são - discutir, a priori, as equações; - estudar as raízes em função de um parametro; - indicação das soluções; Capítulo VIII- Equações do 2.º grau a uma incógnita Capítulo IX- Problemas do 2.º grau. Discussão

11 O capítulo I Equações e Problemas do 2º grau Divide-se em 2 secções: - Equações (16 pág.) A.Nota histórica B.Resolução gráfica (2 pág.) C.Resolução algébrica (14 pág.) - Problemas do 2º grau (4 pág.) Termina com um quadro que resume os principais tópicos a fixar na resolução de uma equação do 2º grau; Listagem de exercícios de aplicação. Álgebra e Trigonometria Fernando Dias Agudo (1938)

12 Capítulo I- Resolução algébrica A transformação geométrica do polinómio (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 numa expressão com incógnitas; Define equação do 2º grau a uma incógnita, completa e incompleta. Inicia a resolução das equações do 2º grau com a questão: Por que razão é, necessariamente, a 0? Dedução da fórmula resolvente Indica os passos da resolução das equações do 2º grau A 1º equação que é resolvida segundo a fórmula resolvente é Simplificação da fórmula resolvente em função dos diferentes coeficientes Discussão do número de raízes da equação

13 Define raízes imaginárias usando a resolução da equação x = 0; define - números complexos; - a representação dos números complexos no plano de eixos. Capítulo I – Resolução algébrica Apresenta 4 exemplos de exercícios de aplicação da fórmula resolvente. Busquemos um número cujo quadrado de metade e do seu terço, e do seu quarto, todos juntos façam tanta soma como é o mesmo número (Extraído do livro de Álgebra de Pedro Nunes) Tópicos essenciais, na resolução de uma equação do 2º grau e de problemas que envolve as equações do 2º grau; Listagem de 31 exercícios de aplicação da fórmula resolvente. Capítulo I – Problemas do 2º Grau

14 O capítulo 5 Problemas e Equações do 2º grau Divide-se em 2 secções: - Equações (12pág.) Resolução algébrica - Problemas do 2º grau (3 pág.) Termina com uma listagem de exercícios de revisão. Compêndio de Matemática A. A. Costa, Afredo Osório dos A., António A. Lopes (1970)

15 Inicia com a resolução de problemas e exemplos de equações do 2.º grau incompletas. Reduz o polinómio do 1.º membro a um quadrado perfeito, aplica os casos notáveis, na resolução de equações do 2.º grau completas. Aplica a Lei do Anulamento do Produto, colocando o 1.º membro sob a forma de um produto de dois ou mais factores. Define equação do 2.º grau e foca os casos de c=0 e b= 0, dizendo que nestes casos são equações incompletas e mostra como proceder. Apresenta regras práticas para resolver as equações do tipo: A primeira equação que é resolvida segundo a fórmula resolvente é Caso O coeficiente b=2k. Capítulo 5- Resolução algébrica

16 apresenta 4 exemplos de problemas (2 ligados ao quotidiano e um envolvendo a Geometria), de aplicação da fórmula resolvente, no caso de serem equações do 2.º grau completas. Finaliza esta parte com a proposta de resolução de 5 problemas: - 2 numéricos; - 2 geométricos; - 1 quotidiano. Termina o Capítulo com uma listagem de exercícios e problemas a que denomina por Exercícios de revisão. Este dividem-se em: - inequações; - sistemas de inequações com parêntesis e denominadores; - decomposição de polinómios em factores; - resolução de equações; - resolução de problemas; - um exercício de simplificação de radicais. Capítulo 5 – Problemas do 2º Grau

17 Capítulo IV: Equações do 2º grau Divide-se em 4 sub-títulos: - Operações com polinómios. Casos notáveis da multiplicação de polinómios. Decomposição em factores (Revisão) (4 pág.); - Resolução de equações de 2.º grau incompletas. Lei do Anulamento do Produto. (Revisão) (4 pág.); - Resolução de equações do 2.º grau completas. Fórmula Resolvente (4 pág.); - Resolução de problemas do 2.º grau (4 pág.); Matemática 9 M.ª A. F. Neves,Luís Guerreiro e Armando Neves (2004)

18 Refere os conteúdos a serem estudados; Apresenta uma breve Nota Histórica; Aponta o que os alunos já devem saber: Operar com polinómios; Aplicar os casos notáveis da multiplicação de polinómios; Decompor em factores um polinómio; Resolver equações do 2.º grau incompletas. Apresenta exemplos, exercícios e problemas de revisão; Desenvolve o conceito através da resolução de um problema, apresentando dois processos de resolução; Refere que: existe uma fórmula resolvente de equações do 2.º grau que permite determinar as soluções de qualquer equação do 2.º grau. Capítulo V- Equações do 2.º grau

19 Apresenta a dedução da fórmula, sob a forma de nota; A primeira equação a ser resolvida é Refere que: na resolução de um problema, [deve-se] fazer um desenho ou um esquema que pode ajudar a formar uma equação que relacione os dados e a incógnita. Em seguida resolve-se a equação e interpreta-se as suas soluções; Apresenta a resolução de três problemas seguindo os passos sugeridos; Sugere a resolução de problemas; Palavras-chave/Conhecimentos e Capacidades Específicos Avaliação: Propõe exercícios de avaliação de dois tipos: Questões de escolha múltipla e Questões de desenvolvimento; Apresenta as soluções de todos os exercícios de todos os capítulos. Capítulo IV- Equações do 2.º grau

20 Os conteúdos a serem aprendidos pelos alunos e a abordagem dos mesmos sofreu grandes alterações com a evolução do currículo da Matemática; Livros analisados desde 1887 até 2004; Evolução na abordagem das equações do 2º grau: formalismo e abstracção excessivo abordagens simples e concretas A fórmula resolvente só aparece após uma primeira parte em que se trabalham equações do mesmo grau mas incompletas ou completas; Actualmente as equações do 2º grau incompletas são estudadas num ano lectivo (8º ano), no ano seguinte introduzem-se as equações do 2º grau completas (com o estudo da fórmula resolvente) e apenas no 10º ano é introduzida a discussão das soluções da equação completa (binómio discriminante), bem como o estudo dos radicais (Curriculo em espiral). Conclusões

21 A relação entre as equações do 2.º grau e a função quadrática só é abordada no livro de Ismael Andrea; As tarefas propostas aos alunos deixaram de ter um cunho estritamente matemático dando espaço a problemas contextualizados em situações do quotidiano; O grau de dificuldade dos exercícios diminui gradualmente; A natureza do texto muda com a época em que é escrito; Evolução gradual do aumento da letra e dos espaços utilizados entre parágrafos; deixam de existir parágrafos numerados e utilizam esquemas, desenhos e cores. Conclusões

22 Agudo, F. D. (1938). Álgebra e Trigonometria. Lisboa: Livraria Popular de Francisco Franco. Andrea, E. I. S. (1924). Compêndio de Álgebra. Lisboa: Imprensa Nacional de Lisboa. Calado, J. J. G. (1960). Compêndio de Álgebra. Lisboa: Livraria Popular de Francisco Franco. Costa, A. A., Anjos, A. O. & Lopes, A. A. (1970). Compêndio de Matemática. Porto: Porto Editora. Costa, A. A., Anjos, A. O. & Lopes, A. A. (1987). Matemática Jovem. Porto: Porto Editora. Cunha, A. J. (1887). Elementos de Álgebra. (5ª edição). Lisboa: Livraria de António Maria Pereira. Neves, M. A. F., Guerreiro, L. & Neves, A. (2004). Matemática 9.(1ª edição). Porto: Porto Editora. Ponte, J. P. (2004). As equações nos manuais escolares. Revista Brasileira de História da Matemática, 4(8), Referências Bibliográficas


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