Transformação de Imagens

Apresentação em tema: "Transformação de Imagens"— Transcrição da apresentação:

1 Transformação de Imagens
Paulo Sérgio Rodrigues PEL205

2 Introdução a Transformada de Fourier

3 Séries de Fourier Chama-se série trigonométrica, uma série da forma:

4 Séries de Fourier As constantes a0, ak e bk (1,2,...) são os coeficientes da série trigonométrica Se essa série trigonométrica convergir, a sua soma é uma função periódica f(x) de período 2π, dado que sen(kx) e cos(kx) são funções periódicas de período 2π. De modo que: f(x) = f(x + 2π)

5 Séries de Fourier Problema:
para uma função periódica f(x) de período 2π, quais as condições impostas a f(x) de modo que exista uma série trigonométrica convergente para f(x)? f(x)

6 Séries de Fourier A série acima pode ser então integrável de –π a π.

7 Séries de Fourier

8 Séries de Fourier Agora só falta de determinar ak e bk !!

9 Séries de Fourier Multipliquemos os dois membros da equação acima por cos(nx)

10 Séries de Fourier No entanto, sabemos que:
Integrando de –π a π termo a termo ambos os membros da equação acima No entanto, sabemos que:

11 Séries de Fourier Lembrando que:

12 Séries de Fourier De maneira análoga, multiplicando a equação acima por sen(nx) ao invés de cos(nx), chegamos a: que se junta a:

13 Séries de Fourier

14 Série de Fourier f(t) t T Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)
T Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) Paper de 1807 para o Institut de France: Joseph Louis Lagrange ( ), and Pierre Simon de Laplace ( ).

15 Coeficientes da Série f(t) t T

16 Série de Fourier com números complexos

17 Transformada de Fourier

18 Transformada de Fourier (outra notação)

19 Introdução a Transformada de Fourier

20 Introdução a Transformada de Fourier

21 Introdução a Transformada de Fourier

22 Introdução a Transformada de Fourier

23 Transformada Discreta de Fourier

24 Transformada Discreta de Fourier

25 Resultados da Transformada de Fourier

26 Exemplo 1: Função caixa (box)
f(x) a x b

27 Transformada da função box
f(x) a x b F(w)  1/b 2/b 3/b -1/b -2/b -3/b ab sinc(bw) w

28 Distribuição normal: Gaussiana

29 Exemplo 2: Gaussiana || F(w) || f(x) w x

30 Exemplos Considere a função mostrada abaixo: f(x)=f(x + dx) f(x) x 0.5
2 f(x0) f(x0 + dx) f(x0 + 2dx) f(x0 +3 dx) x 3 4 0.5 0.75 1.0 1.25 2 3 4 0.5 0.75 1.0 1.25 x

31 Exemplos f(x) = [2, 3, 4, 4]

32 Exemplos f(x) = [2, 3, 4, 4]

33 Exemplos f(x) = [2, 3, 4, 4]

34 Exemplos F(u) = [3.25, j0.25, , j]

35 Ainda há muita Teoria pra falar sobre a Transformada de Fourier
Ainda há muita Teoria pra falar sobre a Transformada de Fourier! Mas já dá para brincar com imagens utilizando o com o MatLab!